馮碧瑩

【摘要】圖形與幾何作為初中數(shù)學(xué)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，是以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、推理的嚴(yán)密性和程序性、提高學(xué)生數(shù)學(xué)證明能力的主要載體。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從信息論的角度來(lái)看，就是信息的提取、存儲(chǔ)、處理、輸出，實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在初中幾何教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生建構(gòu)用信息論的方法探索幾何論證問(wèn)題的解決的思維模式。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);圖形與幾何;信息論;思維模式

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括十個(gè)方面：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。

圖形與幾何注重引導(dǎo)學(xué)生探索圖形性質(zhì)，注重探索與證明相結(jié)合，提高學(xué)生思維推理能力。圖形與幾何是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、推理的嚴(yán)密性和程序性、提高學(xué)生數(shù)學(xué)證明能力的主要載體，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中有著極為重要的作用，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。

初中學(xué)生的學(xué)習(xí)正經(jīng)歷從小學(xué)的直觀思維向論證思維的轉(zhuǎn)變，從形象思維向演繹思維過(guò)渡，思維方式的跳躍性不可避免地對(duì)初中學(xué)生帶來(lái)一定的認(rèn)知不適應(yīng)。因此，幫助學(xué)生克服困難，學(xué)習(xí)幾何是十分必要的。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從信息論角度來(lái)看，就是信息的提取、存儲(chǔ)、處理、輸出，實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)過(guò)程;是將問(wèn)題的有用信息與已存儲(chǔ)信息的相關(guān)信息相結(jié)合，然后進(jìn)行加工、重組與再生的過(guò)程。因此，在初中幾何教學(xué)過(guò)程中，教師要幫助學(xué)生建構(gòu)用信息論的方法探索幾何論證問(wèn)題的解決的思維模式。

筆者以八年級(jí)下冊(cè)第十七章第29 頁(yè)第13題為例，談?wù)勛约涸趹?yīng)用信息論提升初中學(xué)生幾何推理論證能力的做法和體會(huì)，敬請(qǐng)同行指正。

例：如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，求證：所得兩個(gè)“月”形圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于Rt△ACD的面積。

分析與思考：

（1）從圖形認(rèn)知層面分析：本題是一個(gè)圖形復(fù)合型問(wèn)題，學(xué)生的圖形認(rèn)知方面存在一定的困難，特別是“月”形的認(rèn)知和理解。

（2）從知識(shí)層面分析：本題的核心在于解決“三個(gè)面積”問(wèn)題中，從知識(shí)層面上，直角三角形的面積和半圓面積屬于學(xué)生已知范疇，但“月”形面積的求解是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵。

（3）從問(wèn)題解決方法層面分析：由于沒(méi)有直接求解“月”形面積的計(jì)算公式，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生探求題目下的直角三角形、半圓和“月”形之間的面積關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

（4）在教學(xué)中，從信息論的角度，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，師生互動(dòng)、克服圖形的認(rèn)知和識(shí)別的難度，把握兩個(gè)關(guān)鍵信息（等腰直角三角形和半圓面積），通過(guò)對(duì)題目的已知信息、結(jié)論信息和存儲(chǔ)信息的提取、加工、重組和加工，啟發(fā)學(xué)生間接法求解“月”形面積，逐步探求問(wèn)題解決的途徑和思路。

教學(xué)過(guò)程在應(yīng)用信息論指導(dǎo)下，形成信息組織構(gòu)圖（問(wèn)題鏈形式展開(kāi)）：

1.已知和結(jié)論信息的提取

（1）已知信息

文字符號(hào)：等腰Rt△ACD，半圓

圖形信息：△ACD，小半圓1，小半圓2，大半圓

從而有圖形分解組合：三角形=大半圓-①-②;小半圓1=月形1+①;小半圓2=月形2+②

（2）結(jié)論信息

從已知信息中，學(xué)生很容易由S△ACD=

或S△ACD=解決直角三角形面積，但對(duì)“月”形的認(rèn)知和面積解決仍存在困難。

2.儲(chǔ)存信息的提取

從學(xué)生現(xiàn)有存儲(chǔ)知識(shí)中，學(xué)生易提到圓（半圓）面積公式、三角形面積公式和直角三角形勾股定理等相關(guān)知識(shí)。

3.信息加工整合

要求S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD，就必須求出“月”形面積和三角形面積。三角形面積可以直接運(yùn)用公式求出，但“月形”面積求解沒(méi)有公式，說(shuō)明用直接法行不通。

引導(dǎo)學(xué)生利用從圖形分解組合信息中探尋面積求解的途徑：

由三角形=大半圓-①-②，結(jié)合小半圓1=月形1+①，小半圓2=月形2+②。一步一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出：

S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+S半圓ACE+

S半圓CFD-S半圓ACD

對(duì)比題目所求證的S月形AGCE+S月形DHCF=

S△ACD，鼓勵(lì)學(xué)生再找出實(shí)證S半圓ACE+S半圓CFD-

S半圓ACD=0，即。此時(shí)，未知結(jié)論轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)。接下來(lái)，只要利用圓的面積公式，分別求出半圓的面積：

由于出現(xiàn)直角三角形三邊邊長(zhǎng)的平方，引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理，即可解決問(wèn)題。

引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范寫出解答過(guò)程：

根據(jù)圓的面積公式，有

因?yàn)榈妊苯侨切?，所以根?jù)勾股定理，得AC 2+CD 2=AD 2

于是有，

即S半圓ACE+S半圓CFD=S半圓ACD

又因?yàn)镾月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+

S半圓ACE+S半圓CFD-S半圓ACD

所以S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

4.回顧拓展

（1）此題的解決主要是通過(guò)對(duì)已知、結(jié)論和存儲(chǔ)信息的提取，然后分析、加工、類比等手段探尋方案和信息系統(tǒng)。

同時(shí)，我們可能得到：

結(jié)論1：S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

結(jié)論2：S半圓AEC+S半圓CFD=S半圓ACD

（2）問(wèn)題的拓展探究

通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：把等腰直角三角形換成直角三角形，結(jié)論是否仍成立，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由特殊到一般的猜想。

教師總結(jié)：

此題拓展結(jié)論稱為月牙定理（希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底），體現(xiàn)了古代數(shù)學(xué)家的一種化圓為方的探究過(guò)程（此題結(jié)論在2018年全國(guó)理科高考第10題中直接考查應(yīng)用）

“信息論”的教學(xué)目的是讓學(xué)生從信息提取、分析、加工、重組以實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，達(dá)到問(wèn)題解決的目的。

筆者在教學(xué)實(shí)踐中指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用信息論，學(xué)生較好地解決了以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：（八年級(jí)下冊(cè)第十七章 ?第29頁(yè)第14題）

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，求證AE 2+AD 2=2AC 2.（提示：連接BD）

問(wèn)題2：如圖，正三角形ABC，E是關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，以E為圓心畫弧，點(diǎn)D在弧上，求證：AD 2+BD 2=CD 2 .

筆者認(rèn)為，運(yùn)用信息論提高學(xué)生的論證能力，要注意以下幾方面：

1.通過(guò)對(duì)已知和結(jié)論信息的提取，培養(yǎng)學(xué)生的信息意識(shí)。

2.通過(guò)對(duì)信息的整合過(guò)程，幫助學(xué)生體會(huì)信息加工的方法。

3.在信息的輸出過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

4.在信息的拓展階段，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革[OL].https：//wenku.baidu.com/view/490fd19231d4b14e852458fb770bf78a65293a96？bfetype=new.

[3]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].廣西教育出版社，2008.

責(zé)任編輯 ?吳華娣