摘? ? 要：數(shù)學(xué)直覺是人腦對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題及其本質(zhì)屬性的直接感悟，具有或然性特征. 如果直覺依靠的經(jīng)驗(yàn)出現(xiàn)錯(cuò)誤，或是其背后所蘊(yùn)含的邏輯出現(xiàn)錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致直覺出現(xiàn)錯(cuò)誤.仔細(xì)研究錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，比如概念運(yùn)用不恰當(dāng)、不完全歸納、已有經(jīng)驗(yàn)局限性、模型運(yùn)用不當(dāng)、研究方法固化、負(fù)遷移、視覺圖像模糊隱蔽等，再巧妙地利用數(shù)學(xué)歷史發(fā)展進(jìn)程中的直覺錯(cuò)誤以及學(xué)生容易發(fā)生的直覺錯(cuò)誤等資源創(chuàng)設(shè)情境，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化，并學(xué)會(huì)用邏輯的方法來(lái)論證直覺.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)直覺;直覺思維;直覺錯(cuò)誤

一、數(shù)學(xué)直覺的內(nèi)涵及“或然性”特征

數(shù)學(xué)直覺是人腦對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題及其本質(zhì)屬性的直接感悟.它以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，不受固定邏輯規(guī)則約束，并以洞察、預(yù)見或者合情推理等直接推斷形式，對(duì)各種思想組合進(jìn)行敏銳的分析、鑒別并選擇，從整體上把握數(shù)學(xué)事物的規(guī)律.

數(shù)學(xué)直覺思維一般表現(xiàn)為直念、靈感和想象這三種具體的形式.它不是有意識(shí)地按照周密確定的邏輯程序加以思考和判斷，也不一定有可靠的依據(jù)，而是人腦基于數(shù)學(xué)對(duì)象的有限信息，以其高度省略、簡(jiǎn)化、濃縮的跳躍式方式，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的某種突然的領(lǐng)悟和洞察.它是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的未知量及其關(guān)系做出的一種似真判斷，因而其結(jié)論往往不完善，具有經(jīng)驗(yàn)性.如果直覺依靠的經(jīng)驗(yàn)出現(xiàn)錯(cuò)誤，或是其背后所蘊(yùn)含的邏輯出現(xiàn)錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致直覺出現(xiàn)錯(cuò)誤.因?yàn)橹庇X思維傾向于把信息以圖像形式進(jìn)行編碼，比較隨意、靈活、多變，它不依賴于嚴(yán)格的證明，只依據(jù)事實(shí)鏈條中的少數(shù)幾個(gè)環(huán)節(jié)，一旦視覺化出現(xiàn)偏離，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭加勒曾憑直覺斷言，不可能存在富克斯函數(shù)，結(jié)果證明他是錯(cuò)誤的.因此，由直覺思維得出的結(jié)論具有或然性特征，不總是具有嚴(yán)格意義上的精確性，最終還需要邏輯或?qū)嵺`加以檢驗(yàn).

二、數(shù)學(xué)直覺出錯(cuò)的來(lái)源分析及其教育價(jià)值

數(shù)學(xué)教育應(yīng)及時(shí)捕捉直覺錯(cuò)誤背后的邏輯錯(cuò)誤，研究其產(chǎn)生的原因，巧妙利用數(shù)學(xué)歷史發(fā)展進(jìn)程中的直覺錯(cuò)誤以及學(xué)生容易發(fā)生的直覺錯(cuò)誤等資源創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化，用邏輯的方法來(lái)論證某些直覺是錯(cuò)誤的.以下筆者從認(rèn)知視角探討數(shù)學(xué)直覺錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因及教育價(jià)值.

（一）概念運(yùn)用不恰當(dāng)引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

1.定義概念時(shí)未抓住事物的本質(zhì)

有些概念的關(guān)鍵特征非常隱蔽，學(xué)生往往根據(jù)常見的一些事例，憑借直覺給出數(shù)學(xué)概念的定義，但經(jīng)不起仔細(xì)推敲.而通過(guò)反例教學(xué)，可加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和良好的思維品質(zhì).以棱柱的概念為例，教材中給出的棱柱概念包含三個(gè)要素：第一要素是“有兩個(gè)面互相平行”，這是學(xué)生非常認(rèn)可的一個(gè)條件;第二要素是“其余各面都是四邊形”;第三要素是其余各面“每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”.對(duì)于第二、第三要素，學(xué)生往往認(rèn)為可以壓縮成“其余各面都是平行四邊形”即可.如何才能讓學(xué)生明白“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體未必是棱柱”呢？這就需要設(shè)計(jì)出反例，來(lái)說(shuō)明確實(shí)有滿足這樣條件的非棱柱的幾何體.如圖1，該幾何體滿足面[MPNQ][?]面M′P′N′Q′，其余各面都是平行四邊形，但由這些面圍成的幾何體卻不是棱柱[1].

2.概念準(zhǔn)確但理解不到位

數(shù)學(xué)概念理解上出現(xiàn)的偏差，往往會(huì)導(dǎo)致在對(duì)事物的判斷上產(chǎn)生直覺錯(cuò)誤.學(xué)生只有準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，才能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，科學(xué)地分析、解釋大千世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.例如，連續(xù)5次擲一枚硬幣，認(rèn)為“如果前4次都正面朝上，那么第5次正面朝上的可能性不大”，就是對(duì)概念的理解不到位.事實(shí)上，概率刻畫的是事件發(fā)生的可能性大小，而不是實(shí)際一定要發(fā)生什么，這個(gè)問(wèn)題源于對(duì)概率概念的曲解.對(duì)于平均數(shù)問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)上常采用“掐頭去尾平均數(shù)”，從而減少極端值對(duì)平均數(shù)結(jié)果的影響.統(tǒng)計(jì)學(xué)不只用算術(shù)平均數(shù)，還常用眾數(shù)、中位數(shù)、方差、均方差、變異系數(shù)等指標(biāo)進(jìn)行測(cè)量.

（二）不完全歸納引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

對(duì)于操作性知識(shí)，人們基于已有的大量成功經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出貌似成功、“放之四海而皆準(zhǔn)”的程序步驟，而其直覺背后往往存在著瑕疵.教材也不例外.反例構(gòu)造能夠推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，在數(shù)學(xué)教材的發(fā)展和完善中具有同等重要的作用.教師要能引領(lǐng)學(xué)生，敢于挑戰(zhàn)教材權(quán)威，發(fā)現(xiàn)其紕漏，重建其科學(xué)性.例如，求函數(shù)零點(diǎn)近似解的一種計(jì)算方法——二分法，到底何時(shí)“終止計(jì)算”？從熟悉的大量事實(shí)出發(fā)，教材認(rèn)為，當(dāng)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)按照給定的小數(shù)“所取的近似值相同”時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)[y=f（x）]的近似零點(diǎn)，此時(shí)計(jì)算終止.筆者曾構(gòu)造了一個(gè)反例，即“求函數(shù)[f（x）=][x3-0.45x2-0.45x-1.45]的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)（要求零點(diǎn)精確到0.1）”，按照“所取的近似值相同”為結(jié)束運(yùn)算的條件，但根本終止不了計(jì)算.可見“所取的近似值相同時(shí)計(jì)算終止”這種說(shuō)法具有很大的局限性，不能保障每一個(gè)函數(shù)求近似零點(diǎn)都能取得成功.

（三）已有經(jīng)驗(yàn)局限性引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

1.已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的局限性

直覺以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，往往認(rèn)為反常規(guī)的結(jié)論是錯(cuò)的，因此相關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的局限性可能誘發(fā)錯(cuò)誤直覺.直覺出錯(cuò)既能引起學(xué)生的好奇心，使學(xué)生全神貫注地投入到數(shù)學(xué)探究當(dāng)中，也能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家敢于掙脫既有觀點(diǎn)的束縛、鍥而不舍地追求真理并不斷創(chuàng)新的精神.例如，古印度國(guó)王欣然同意國(guó)際象棋發(fā)明者的要求，在棋盤的第1～46個(gè)格子里依次放上[21～246]顆麥粒，經(jīng)計(jì)算這些麥?？傤w數(shù)高達(dá)[264-1]，其金口玉言難以兌現(xiàn).又如，把一張普通的紙對(duì)折30次，感覺其厚度不會(huì)超過(guò)喜馬拉雅山的高度，是因?yàn)閷W(xué)生只有線性增長(zhǎng)、二次函數(shù)增長(zhǎng)等數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而缺乏指數(shù)函數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).再如，沒有極限的思想，就會(huì)拒絕接受“0.9的循環(huán)小數(shù)等于1”，而拼命維護(hù)自己的“0.9的循環(huán)小數(shù)小于1”的錯(cuò)誤直覺.

2.已有生活經(jīng)驗(yàn)的局限性

人們的日常生活經(jīng)驗(yàn)，往往使人產(chǎn)生潛在的假設(shè)，引發(fā)直覺的錯(cuò)誤.與“重的物體下降速度快” 類似，“將兩個(gè)圓的半徑延長(zhǎng)同一個(gè)數(shù)值，半徑大的圓的周長(zhǎng)增加量大”這樣的結(jié)論也是錯(cuò)誤的.這類違反生活常識(shí)的出乎意料的問(wèn)題，恰好能夠誘發(fā)學(xué)生的好奇心，激發(fā)其探究興趣，成就邏輯的魅力，讓學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化.運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)的精髓，可以超越人的直覺和感覺經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確掌握事物，它能夠辨別真?zhèn)危屓嗣馐苊沈_.

例如，良鄉(xiāng)塔始建于隋代，唐代重修，高44.5米.北京市房山區(qū)昊天學(xué)校就坐落在古老的良鄉(xiāng)塔下.該校學(xué)生對(duì)良鄉(xiāng)塔早已司空見慣，而將其編成一道數(shù)學(xué)題，卻可以引起學(xué)生強(qiáng)烈的反響：

設(shè)想地球是一個(gè)表面光滑的球，有一條很長(zhǎng)的繩子，恰好繞良鄉(xiāng)塔基座所在經(jīng)線的地球一周.把這根繩子再接長(zhǎng)400米，圍成一個(gè)和上述圓共面且同心的大圓，問(wèn)這個(gè)大圓是穿過(guò)良鄉(xiāng)塔還是越過(guò)良鄉(xiāng)塔的頂端（圖略）？

想象往往是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的“思想實(shí)驗(yàn)室”.在日常生活中，對(duì)于400米的長(zhǎng)短，學(xué)生有著豐富的經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)檫@就是400米標(biāo)準(zhǔn)操場(chǎng)一圈的距離.憑直覺想象，只接長(zhǎng)400米的繩子，其形成的圓與地球之間的空隙應(yīng)該是極小的.可事實(shí)并非如此，“空隙”處容納一座高44.5米的良鄉(xiāng)塔綽綽有余.這超越了人的直覺經(jīng)驗(yàn)，甚至是對(duì)人的直覺的反叛.學(xué)生眼望著良鄉(xiāng)塔，第一時(shí)間的感觸是“這怎么可能呢”？教師不妨讓學(xué)生計(jì)算、驗(yàn)證.

邏輯是數(shù)學(xué)這座“高樓大廈”堅(jiān)不可摧的可靠保證，是數(shù)學(xué)神奇力量的源泉.扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是邏輯思維的前提，也是直覺判斷的源泉.事實(shí)上，設(shè)地球半徑、繩子接長(zhǎng)后圍成的圓的半徑分別為[r]，[R]，則地球這個(gè)圓、繩子接長(zhǎng)后圍成的大圓周長(zhǎng)分別為[2πr]，[2πR].設(shè)這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的差[2πR-2πr=l]，則[R-r=l2π].取[l=400]，則[R-r=4002π≈63.66>44.5]，可見繩子能夠越過(guò)良鄉(xiāng)塔的頂端.當(dāng)然，還可以口算繩子恰好過(guò)塔尖時(shí)，繩子需增加的長(zhǎng)度為[2πR-2πr=2π（R-r）=2π×44.5<2π×50=100π≈314<400]，可見繩子能夠越過(guò)良鄉(xiāng)塔的頂端.盡管無(wú)法實(shí)際操作驗(yàn)證，但通過(guò)推理，能夠幫助人們突破感官、經(jīng)驗(yàn)、常識(shí)的局限性.“總而言之在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中，既需要邏輯思維，也需要直覺思維和靈感思維，而且只有三者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能引導(dǎo)出成功的數(shù)學(xué)發(fā)明.”[2]

（四）模型運(yùn)用不當(dāng)引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

對(duì)于可能性大小的問(wèn)題，概率模型選擇不當(dāng)，可導(dǎo)致直覺預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確.教師要善于提出具有吸引力、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，在教給學(xué)生更傳統(tǒng)、更正式的演繹和證明方式之前，培養(yǎng)他們對(duì)材料的直覺理解才是首要任務(wù)[3].通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可使抽象的概念和復(fù)雜的計(jì)算形象化、具體化，引起學(xué)生的興趣，顛覆學(xué)生的認(rèn)識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生選擇正確的模型解決問(wèn)題.例如，一年按365天來(lái)計(jì)，若某學(xué)校同年級(jí)同年出生的學(xué)生有366人，根據(jù)鴿籠原理，至少有兩個(gè)人在同一天出生，這是一個(gè)確定性的必然事件.又如，若某班有50名學(xué)生，至少有2人生日相同的可能性很大，大到幾乎是百分之百。學(xué)生直觀上很難認(rèn)同這一觀點(diǎn)，因此課上可以當(dāng)場(chǎng)做“生日實(shí)驗(yàn)”：按照1～12月出生的先后順序分成12組，同一個(gè)月出生的學(xué)生自報(bào)出生具體日期.只要很短的時(shí)間，往往就可證實(shí)有兩個(gè)及其以上學(xué)生生日相同.當(dāng)然，也可以提前將學(xué)生出生的月日形成4位數(shù)，在課堂上用計(jì)算機(jī)按照升序或降序來(lái)排列，瞬間就可能發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的出生日期相同.本題不能用鴿籠原理這個(gè)模型解決問(wèn)題，而應(yīng)該用對(duì)立事件的概率模型進(jìn)行計(jì)算.可以推出在[n]個(gè)人中，至少兩人生日相同的概率計(jì)算公式為：[Pn=1-An365365n]，進(jìn)而[P50≈0.97].

（五）研究方法固化引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

1.數(shù)學(xué)手段選用不當(dāng)

命題人本著多想一點(diǎn)、少算一點(diǎn)等理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于“大數(shù)據(jù)”處理，主觀上認(rèn)為善于借助運(yùn)算工具，可以使問(wèn)題迎刃而解.但此想法往往存在隱患，極易誘發(fā)直覺上的錯(cuò)誤.教師要引導(dǎo)學(xué)生，讓他們明白既要“善假于物”，也要對(duì)所借助的工具進(jìn)行審慎思考，知其個(gè)性，不盲目運(yùn)用.例如：

根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與[MN]最接近的是（? ? ）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）

[8.26×1092，MN-1073]= [33611080-1073]≈1.74·1092，則[1093-MN>MN-1073].該結(jié)論還可以通過(guò)嚴(yán)格推理論證而得（此處略），從中可以看出應(yīng)選C而不是D.

為什么會(huì)出現(xiàn)選項(xiàng)上的歧義呢？問(wèn)題出在題目所給的對(duì)數(shù)參考數(shù)據(jù)精度太低，導(dǎo)致對(duì)數(shù)值“失之毫厘”，還原成的真實(shí)值時(shí)“謬以千里”，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的直覺.對(duì)數(shù)實(shí)現(xiàn)了由乘、除、冪到加、減、乘的驚人轉(zhuǎn)換，使人們從大量繁復(fù)的乘除冪運(yùn)算中解放了出來(lái)，顯示了數(shù)學(xué)文化的威力，但對(duì)數(shù)使用不當(dāng)，也可能引來(lái)致命性的直覺上的錯(cuò)誤.

2.機(jī)械地?cái)?shù)學(xué)化生活問(wèn)題

凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、解決經(jīng)濟(jì)生活中真實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖情境新穎別致，但稍有不慎，就有可能直覺出錯(cuò)，背離命題的初衷.“學(xué)習(xí)過(guò)程必須以學(xué)生為主體，讓學(xué)習(xí)者‘在場(chǎng)，以學(xué)習(xí)者的現(xiàn)實(shí)生活為基礎(chǔ)，通過(guò)體驗(yàn)真實(shí)，允許學(xué)習(xí)者自由暢想.”[4]可以把封閉問(wèn)題按照開放性問(wèn)題來(lái)處理.

例如，北京市某中學(xué)的一道基于真實(shí)情境的考題為：

某網(wǎng)店在2015年元旦開展慶新年網(wǎng)購(gòu)促銷活動(dòng)，規(guī)定“全場(chǎng)6折（原價(jià)的百分之六十）”，在元旦當(dāng)天購(gòu)物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時(shí)可減免100元”.某單位在元旦當(dāng)天欲購(gòu)入原價(jià)48元（單價(jià)）的商品42件，為使花錢總數(shù)最少，他需要下的訂單張數(shù)為（? ? ）

A.1? B.2? C.3? D.4

乍一看題目，推算方法無(wú)非是用有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算.提供的參考答案為C.猜測(cè)其思路如下：

打6折后的單價(jià)為[48×0.6=28.8]（元），10件打6折后花錢數(shù)為288元，11件打6折后的錢數(shù)為288+28.8=316.8（元）.因?yàn)榇藭r(shí)已滿300元，可減免100元，所以實(shí)際上花錢316.8-100=216.8（元）.因?yàn)閇42=3×11+9]，故他需要下3張訂單，這3張訂單購(gòu)買的件數(shù)分別為11，11，20，故選C，單位實(shí)際付費(fèi)[48×0.6×42-3×100=1209.6-300=909.6]（元）.

然而在講評(píng)該題時(shí)，卻出現(xiàn)了很多意想不到的問(wèn)題.有學(xué)生認(rèn)為答案D也對(duì)，可以下4張訂單，購(gòu)買的件數(shù)分別為11，11，11，9.學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，認(rèn)為將“他需要下的訂單張數(shù)”改為“他需要下的最少訂單張數(shù)”，就能避免歧義問(wèn)題的出現(xiàn)，唯一答案就是C了.但有一位“智者”學(xué)生認(rèn)為，要是購(gòu)入商品44件（比原計(jì)劃多購(gòu)入2件），這4張訂單購(gòu)買的件數(shù)都為[11]，事實(shí)上花費(fèi)的錢數(shù)為[48×0.6×44-4×100=867.2]（元）.花錢少，還多得2件商品，此法需要下4張訂單，答案就只能選D，就不是提供的答案C了.

教育家顧明遠(yuǎn)先生指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不是單純地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)的定理和公式，不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生做題，而是傳播人生觀、世界觀、價(jià)值觀，傳播中華優(yōu)秀文化的重要途徑.” [5]教師面對(duì)此種教學(xué)情境，要怎樣實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)理念呢？這給了人無(wú)限的遐想！

（六）負(fù)遷移引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

1.類比產(chǎn)生負(fù)遷移

一些表面特征相似的問(wèn)題也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的類比和范疇化，這時(shí)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就成為問(wèn)題解決的障礙.如類比實(shí)數(shù)乘法對(duì)加法的分配律，將對(duì)數(shù)、三角運(yùn)算也實(shí)施分配率，得到[sin（α+β）=sinα+sinβ]，[loga（M+N）=][logaM+]

[logaN].其“潛邏輯”是錯(cuò)誤的，認(rèn)為[sin]與[α+β]、[loga]與[M+N]中存在乘法關(guān)系.向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的相似性很強(qiáng)，類比實(shí)數(shù)運(yùn)算的結(jié)論可能得出錯(cuò)誤的向量結(jié)論.對(duì)此，教師可以通過(guò)特例檢驗(yàn)法，來(lái)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

2.從具體到抽象負(fù)遷移

觀察具體數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系結(jié)構(gòu)特征，往往可以將其拓展升華為適用范圍更廣的一般結(jié)論，有時(shí)直覺上該結(jié)論似乎對(duì)，但經(jīng)不起推敲.教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真辨析拓展后的結(jié)論是否成立，不能人云亦云.例如，將具體的方程求解問(wèn)題的結(jié)論“方程[（x2-4）（x2-1）=0]的解集，可以從求方程[x2-4=0]的解集與方程[x2-1=0]的解集的并集而得到”，遷移到抽象的方程求解問(wèn)題的結(jié)論，得到“若方程[f1（x）=0]與[f2（x）=0]的解集分別是[F1]、[F2]，[f（x）=f1（x）f2（x）]，方程[f（x）=0]的解集是[F]，那么[F=F1?F2]”.但這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)的，舉例為證：如[f1（x）=x2-1]，[f2（x）=lgx]，則[f（x）=（x2-1）lgx]，[F1=-1， 1]，[F2=1]，請(qǐng)注意[f（x）]的定義域?yàn)閇（0， +∞）]，因此[F=1]，并沒有得到[F=F1?F2].因而該直覺的結(jié)論是錯(cuò)誤的.

（七）視覺圖像模糊隱蔽引發(fā)的直覺錯(cuò)誤

1.難以觀察到的函數(shù)圖象

利用高科技軟件，作出來(lái)的函數(shù)圖象似乎千真萬(wàn)確，但它們也可能欺騙人們的視覺，真相可能隱藏得非常深，稍不留神，就可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論.教師應(yīng)該首先引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行邏輯上的思考，然后做出大膽猜測(cè)，最后再借助軟件觀察結(jié)果，而不能以軟件代替思考.例如，在幾何畫板中作出[y=2x]與[y=x10]的圖象，容易發(fā)現(xiàn)它們共有兩個(gè)交點(diǎn)A、C（如圖2）.但事實(shí)上，在第一象限還有1個(gè)交點(diǎn)B，它在比較“遙遠(yuǎn)”處，幾何畫板都難以看到.通過(guò)Desmos軟件，花費(fèi)大量的時(shí)間后，可以找到這個(gè)交點(diǎn)B（如圖3，注意為了能夠表示出這個(gè)交點(diǎn)，圖中橫、縱坐標(biāo)單位長(zhǎng)是不一致的），可觀察到B的橫坐標(biāo)接近60，縱坐標(biāo)高約[5×1017].事實(shí)上，交點(diǎn)B的存在性是可以進(jìn)行邏輯證明的（此處略）.

2.視覺難以辨認(rèn)出來(lái)的細(xì)微區(qū)別

人們似乎認(rèn)為，看到的東西應(yīng)該是千真萬(wàn)確的.但這種直覺也可能是錯(cuò)誤的，看到的東西未必為真，也可能被欺騙.教師要引導(dǎo)學(xué)生，既能直觀感知數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，還能進(jìn)行深入的邏輯分析，辨別真?zhèn)危衣冻霰硐嗪竺娴恼嫦?例如，圖5的“長(zhǎng)方形”是由圖4的正方形剪、拼得到的，兩者的面積應(yīng)該相等，但是“長(zhǎng)方形”的面積是65.比正方形多1.實(shí)際上，圖5并不是長(zhǎng)方形，拼得的“對(duì)角線”附近其實(shí)是“有縫”的，請(qǐng)看筆者從幾何畫板中按真實(shí)尺寸作出的圖（見圖6），其實(shí)中間的縫隙，是因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在給定的3，5，8數(shù)據(jù)下不共線， M、N、P三點(diǎn)同樣不共線.也就是說(shuō)∠ABC是一個(gè)非常接近平角的鈍角，∠PNM也是.對(duì)此，我們可以結(jié)合相似三角形的性質(zhì)用反證法邏輯推理給出證明.

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)直覺出現(xiàn)的錯(cuò)誤并不可怕，深挖直覺錯(cuò)誤背后的邏輯錯(cuò)誤，反而能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性.而由于數(shù)學(xué)工具運(yùn)用不當(dāng)出現(xiàn)的偏差，恰好能啟示學(xué)生，要準(zhǔn)確運(yùn)用已知的先進(jìn)工具，并且要在已有工具的基礎(chǔ)上，不斷推陳出新.教師要不斷挖掘數(shù)學(xué)直覺錯(cuò)誤方面的典型案例，引領(lǐng)學(xué)生在直覺中發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，在邏輯中形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.[□][◢]

參考文獻(xiàn)：

[1]王淑香，宋勁松，李春雷.一個(gè)“美輪美奐”的棱柱概念反例圖[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2009（8）：50-51.

[2]佟健華.數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的魅力[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（3）：39.

[3]杰羅姆·布魯納.布魯納教育文化觀[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2011：63.

[4]殷世東.課堂教學(xué)活動(dòng)邏輯：詩(shī)性邏輯[J].教育研究，2017，38（10）：103.

[5]顧明遠(yuǎn).數(shù)學(xué)很有趣[J].人民教育，2016（10）：73.