魯家寶 魯正超

[摘要] 數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的主陣地，在教學(xué)設(shè)計(jì)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型，讓學(xué)生會(huì)學(xué);強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)，在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，從而提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)研究;教法設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)建模;潛能開(kāi)發(fā)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)的建模和用模問(wèn)題上升為模型思想。為落實(shí)這一核心理念，深化課堂教學(xué)改革，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，提升教學(xué)研究水平和實(shí)踐能力，以人教版三年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)幾分之一”為例，探討在教與學(xué)的設(shè)計(jì)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)踐問(wèn)題，從而強(qiáng)化模型思想培養(yǎng)。

一、重視模型建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生會(huì)學(xué)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提供建模信息

師：大家最喜歡看的動(dòng)畫(huà)片是哪部？現(xiàn)在請(qǐng)大家去看《熊出沒(méi)》，好嗎？（出示課件）

[設(shè)計(jì)意圖]根據(jù)教材編排和學(xué)生年齡特點(diǎn)，選擇小學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的《熊出沒(méi)》為情境，以熊大過(guò)生日為主線，讓學(xué)生在喜愛(ài)的動(dòng)畫(huà)片中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供信息，并奠定學(xué)習(xí)感情基礎(chǔ)。

（二）嘗試探索，經(jīng)歷建模過(guò)程

1.教學(xué)案例一

（1）認(rèn)識(shí)二分之一。

師：他的好兄弟熊二送上了自己親手做的生日蛋糕。（課件出示熊二及配音：把這個(gè)蛋糕分給我們兄弟倆，怎樣分最公平）

學(xué)生觀察后獨(dú)立思考。教師則根據(jù)學(xué)生回答講解：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫“平均分”;最后提出問(wèn)題：把一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每人分得多少？如何表示呢？學(xué)生思考后反饋，明白“一半”即整個(gè)蛋糕的1/2。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)“怎樣分最公平”奠定最原始的分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的依據(jù)——平均分，學(xué)生自主思考建立從“一半”即“二分之一”的數(shù)學(xué)模型1/2（數(shù)學(xué)概念），這樣設(shè)計(jì)既符合新課程理念的要求又體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。

學(xué)生小組合作、交流：誰(shuí)能根據(jù)分蛋糕的過(guò)程相互說(shuō)說(shuō)二分之一是怎樣產(chǎn)生的？教師根據(jù)學(xué)生反饋，板書(shū)二分之一的意義，經(jīng)過(guò)剖析，再引導(dǎo)學(xué)生讀、寫(xiě)1/2。

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生在小組合作交流中重新認(rèn)識(shí)二分之一是怎樣產(chǎn)生的，在完善概念的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力和表達(dá)能力。

（2）認(rèn)識(shí)四分之一。

師：將同樣的蛋糕分給四個(gè)小伙伴（多媒體播放并配音），該怎么樣分才公平？大家能按照我們認(rèn)識(shí)1/2的過(guò)程說(shuō)說(shuō)各自的結(jié)果嗎？

學(xué)生小組交流，然后進(jìn)行展示。最后，拓展延伸。（教師在點(diǎn)撥的基礎(chǔ)上舉例延伸：把一個(gè)蛋糕平均分成6份，每份是它的幾分之一？若是10份、50份呢）

（3）自學(xué)1/3、1/5。

師：我們認(rèn)識(shí)了1/2、1/4，那么能否依據(jù)圖形來(lái)認(rèn)識(shí)1/3、1/5呢？

學(xué)生自主學(xué)習(xí)，并展示學(xué)習(xí)成果。

（4）教師講解。介紹分?jǐn)?shù)概念、各部分名稱(chēng)及讀法。

[設(shè)計(jì)意圖]有了認(rèn)識(shí)二分之一的基礎(chǔ)，在認(rèn)識(shí)四分之一時(shí)給予學(xué)生充分的信任，放手讓學(xué)生通過(guò)小組間的討論與合作得出結(jié)論，不僅達(dá)到強(qiáng)調(diào)“平均分”的目的，而且在思考過(guò)程中，充分尊重和發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程的主體作用，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)實(shí)踐尋找例證的學(xué)習(xí)方法，并通過(guò)拓展延伸強(qiáng)化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。在此基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，建構(gòu)起1/3、1/5的模型，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

2.教學(xué)案例二

（1）出示自學(xué)提綱：折一折，把一張正方形紙折出它的1/4;涂一涂，用你喜歡的方法涂出其中的一份;比一比，看大家的折法是否相同?，F(xiàn)在就請(qǐng)大家動(dòng)手折一折，看看能有什么有趣的發(fā)現(xiàn)。

（2）學(xué)生動(dòng)手折、畫(huà)，教師要求學(xué)生上臺(tái)展示作品，并說(shuō)明折的過(guò)程，然后相互評(píng)價(jià)。

（3）小結(jié)：不管怎么折，只要把正方形平均分成四份，每份就是它的1/4。

[設(shè)計(jì)意圖]基于導(dǎo)學(xué)，實(shí)際操作，促進(jìn)內(nèi)化，呈現(xiàn)活動(dòng)中“放”的過(guò)程。由于操作實(shí)踐目的明確、方法清楚，把學(xué)生的認(rèn)識(shí)推向深入，不同的學(xué)生有不同的折法，每種折法各請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)演示和說(shuō)明，并將學(xué)生作品展示在黑板上。教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相互評(píng)價(jià)，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的情感，又突出分?jǐn)?shù)概念中的“平均分”“每份”等重要屬性。

3.教學(xué)案例三

師：同學(xué)們折紙折得興高采烈，熊二卻有點(diǎn)兒悶悶不樂(lè)。這是什么原因呢？我們一起看看吧?。ǔ鍪菊n件，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較分?jǐn)?shù)的大?。?/p>

學(xué)生分小組觀察、交流討論，隨后教師提出質(zhì)疑：在比較分?jǐn)?shù)大小時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么？

[設(shè)計(jì)意圖]在大量感知材料基礎(chǔ)上，學(xué)生能輕而易舉地發(fā)現(xiàn)，對(duì)同樣大的物體進(jìn)行比較時(shí)，平均分的份數(shù)越多，其中一份的數(shù)反而越小。經(jīng)過(guò)試講，發(fā)現(xiàn)學(xué)生由圖與數(shù)的結(jié)合確實(shí)一眼就能看出兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，但卻不能很好利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生盡量運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，但不作統(tǒng)一要求。另外，此環(huán)節(jié)尤其注重生生互評(píng)，讓學(xué)生在評(píng)價(jià)中提升自己的學(xué)好數(shù)學(xué)能力。

4.小結(jié)

師：我們通過(guò)平均分認(rèn)識(shí)了像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的分?jǐn)?shù)，還知道了分?jǐn)?shù)各部分名稱(chēng)，會(huì)比較分?jǐn)?shù)的大小?，F(xiàn)在大家能否用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題呢？

（三）解決問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

1.教材第91頁(yè)“做一做”（出示課件）

第1題是配合例1和例2的練習(xí)，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示圖形中涂色部分，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解幾分之一的含義，使學(xué)生直觀看到：不論一個(gè)圖形形狀如何，只要是把它平均分，其中的一份就是它的幾分之一。

第2題安排了兩組幾分之一的分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的直觀圖比較抽象，分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的線段圖呈上下排列，便于學(xué)生觀察比較。

2.教材第94頁(yè)第1、2、3題（出示課件）

這三道題以“闖關(guān)”形式串聯(lián)出現(xiàn)，目的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上得到個(gè)性發(fā)展，受到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教育。

3.拓展作業(yè)

讓學(xué)生用圓形折出自己喜歡的分?jǐn)?shù)，并將其中的一份或幾份涂上自己喜歡的顏色，說(shuō)說(shuō)這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少。

[設(shè)計(jì)意圖]作業(yè)的內(nèi)容包羅了整節(jié)課所學(xué)知識(shí)，或許在學(xué)生的創(chuàng)作中還會(huì)出現(xiàn)后面學(xué)習(xí)的幾分之幾的知識(shí)，既鞏固了新知，又拓展了知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)奠定了基礎(chǔ)，達(dá)到了“課雖盡而趣無(wú)窮”的效果。

（四）總結(jié)收獲，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

師：同學(xué)們通過(guò)“學(xué)”認(rèn)識(shí)了1/2，通過(guò)“想”知道了1/4、1/3、1/5等分?jǐn)?shù)，通過(guò)“折”理解了分?jǐn)?shù)的基本含義，通過(guò)“比”知道了分?jǐn)?shù)的大小。大家對(duì)自己在這節(jié)課的表現(xiàn)滿意嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，反思自己數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)方法，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和愉悅的情感體驗(yàn)。

二、強(qiáng)化模型思想培養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

建模思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。在本節(jié)課設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師以《熊出沒(méi)》熊大過(guò)生日的生活情境為線索，從數(shù)學(xué)的角度思考，抓住了生活數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)生活化的有機(jī)聯(lián)系，充分體現(xiàn)了從“講”（教師講解）到“學(xué)”（自主學(xué)習(xí)）到“動(dòng)”（動(dòng)手操作）到“評(píng)價(jià)”（多元評(píng)價(jià)）再到“撥”（教師點(diǎn)撥）的循環(huán)過(guò)程。讓學(xué)生經(jīng)歷感悟知識(shí)、體驗(yàn)過(guò)程、理解概念，形成建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型解決實(shí)踐問(wèn)題。

（一）在體驗(yàn)中經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程

就許多小學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，本身就是一種數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)意義上，我們每堂課都在建立數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是起始概念，是學(xué)生在認(rèn)識(shí)整數(shù)后認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)的認(rèn)識(shí)的一次重要擴(kuò)展，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的概念的一次質(zhì)的飛躍?！皫追种弧边@節(jié)課的內(nèi)容是本單元知識(shí)最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，教師基于三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，巧妙而靈活地設(shè)計(jì)教與學(xué)的全過(guò)程，讓學(xué)生在體驗(yàn)中經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（分?jǐn)?shù)）的全過(guò)程。

（二）在活動(dòng)中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題是在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所必需的。在新課程理念下，解決問(wèn)題的練習(xí)設(shè)計(jì)也要注入新的內(nèi)涵，在進(jìn)行基本訓(xùn)練的同時(shí)，努力讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，受到不同的數(shù)學(xué)教育。教師的練習(xí)設(shè)計(jì)分三個(gè)層次：第一個(gè)層次是面向全體練習(xí)的基本題。第二個(gè)層次是通過(guò)三道題以“闖關(guān)”形式串聯(lián)出現(xiàn)，目的是讓學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。第三個(gè)層次是拓展練習(xí)，目的讓學(xué)生在活動(dòng)中，愉快地理解、掌握知識(shí)，達(dá)到課雖盡而趣無(wú)窮的效果。三個(gè)層次的練習(xí)，面向全體，使學(xué)生人人品嘗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的快樂(lè)。

（三）在總結(jié)中積累建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)

在“總結(jié)收獲，積累經(jīng)驗(yàn)”環(huán)節(jié)，教師借助板書(shū)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并進(jìn)行總結(jié)提升。學(xué)生經(jīng)歷感知數(shù)學(xué)模型建構(gòu)表象，感悟建構(gòu)數(shù)學(xué)模型過(guò)程，體驗(yàn)建構(gòu)模型經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化了模型思想培養(yǎng)。這樣，學(xué)生在梳理知識(shí)、反思學(xué)習(xí)中，領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)方法、積累建構(gòu)數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)起到“導(dǎo)學(xué)”的作用。

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的核心問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模與用模問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)教學(xué)有著相互制約、相互促進(jìn)的關(guān)系。而數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模促進(jìn)了教學(xué)觀念更新、教學(xué)方法改革。所以，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是應(yīng)用建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，關(guān)系到學(xué)生的終身發(fā)展。