脫倩娟 呂紀(jì)榮

【摘要】二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)與邊緣概率密度，能夠全面地描述二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布規(guī)律，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重要組成部分.若不理解相關(guān)概念和性質(zhì)就盲目求解邊緣概率密度與邊緣分布函數(shù)，對于學(xué)習(xí)者而言具有一定的難度.因此，本文按照題型，從求解邊緣概率密度與邊緣分布函數(shù)兩個方面，分別歸納和總結(jié)了不同條件下的解題思路和方法.

【關(guān)鍵詞】二維連續(xù)型隨機(jī)變量;邊緣分布函數(shù);邊緣概率密度

二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）作為一個整體，比一維的情況更復(fù)雜一些，它不僅與兩個隨機(jī)變量有關(guān)，還依賴于它們之間的相互關(guān)系[1].求解邊緣分布函數(shù)與邊緣概率密度的題目時，總是預(yù)先給定聯(lián)合概率度f（X，Y）或者聯(lián)合分布函數(shù)F（X，Y）.其中，聯(lián)合分布函數(shù)F（X，Y）有三種不同的含義：概率中，表示聯(lián)合概率密度為f（X，Y）的二維隨機(jī)變量在區(qū)域Dxy=（-∞，x]·（-∞，y]上的概率;幾何中，表示以曲面f（X，Y）為頂，以Dxy為底的曲頂柱體的體積;物理中，表示面密度為f（X，Y）的平面薄片在區(qū)域Dxy上的質(zhì)量.總之，邊緣分布函數(shù)與邊緣概率密度均是函數(shù)，它們是高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計之間的橋梁，可以利用積分和導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)工具研究二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布規(guī)律.

1 求解邊緣分布函數(shù)問題

1.1 已知聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分布函數(shù)

一般地，當(dāng)聯(lián)合分布函數(shù)或者聯(lián)合概率密度已知求邊緣概率密度時，涉及固定二元函數(shù)中的一個變量，對另外一個變量積分.此時，視固定的變量為常量，二元函數(shù)積分為特殊的一元函數(shù).若已知條件以分段函數(shù)的形式給定，則應(yīng)先確定積分區(qū)間，再分段積分，最終給出綜合表達(dá)式.

小 結(jié)

一般地，求解二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)和邊緣概率密度的相關(guān)題目時，會預(yù)先給定聯(lián)合分布函數(shù)或者聯(lián)合概率密度，涉及二元函數(shù)固定其中一個變量求另外一個變量的極限、二元函數(shù)固定其中一個變量對另外一個變量積分、二階偏導(dǎo)數(shù)、二重積分等相關(guān)知識，要求學(xué)習(xí)者具有扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和計算能力.尤其是已知條件以分段函數(shù)給定時，應(yīng)先畫出其相應(yīng)的非零區(qū)域，這對于正確計算是非常重要的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第4版）[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[2]張國華.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].陜西： 西安交通大學(xué)出版社，2014.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京： 人民郵電出版社，2017.