王 根

(廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361005)

1 廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào)與廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)

其中，結(jié)構(gòu)矩陣Jij(x)=-Jji(x)，廣義Hamilton系統(tǒng)的表達(dá)式為

定義1[6]r上兩個(gè)函數(shù)f,g∈C∞(M,)的廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào)

{f,g}={f,g}GPB+G(s,f,g),

其中,G(s,f,g)=-G(s,g,f)∈C∞(M,)為幾何括號(hào)，并且它的表達(dá)式為

G(s,f,g)=f{s,g}GPB-g{s,f}GPB.

幾何括號(hào)的引進(jìn)對(duì)于推廣后的廣義Poisson括號(hào)是必須的, 它成功地將流形結(jié)構(gòu)與函數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化連接了起來(lái), 極大地?cái)U(kuò)大了研究的范圍.因此，完整的廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào)可以寫為

{f,g}={f,g}GPB+f{s,g}GPB-g{s,f}GPB.

顯然，通過在流形上引入一個(gè)幾何標(biāo)量函數(shù)，一個(gè)結(jié)構(gòu)函數(shù)或勢(shì)函數(shù)s∈Ck(M)，它是一個(gè)由相應(yīng)的流形空間決定的實(shí)值光滑函數(shù).注意，s∈Ck(M)中的勢(shì)函數(shù)s只表示流形本身的屬性.換句話說(shuō)，它的具體公式由流形給出.這將適用于許多環(huán)境.

很顯然，根據(jù)廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào)立刻就可以給出廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)的表達(dá)式.

定理1[6]根據(jù)廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào),則有

定理2[6]流形上典則完備Hamilton方程與典則協(xié)變Hamilton方程分別為

式中{·,·}={·,·}GPB+G(s,·,·)為廣義結(jié)構(gòu)Poisson括號(hào),Di=?i+Ai為廣義導(dǎo)數(shù)算子.

正則協(xié)變哈密頓方程，由廣義協(xié)變哈密頓系統(tǒng)關(guān)于xk和pk給出，可以精確地寫成

式中，bk=JjkAj, 以及Ak=?ks為結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)，對(duì)于坐標(biāo)與動(dòng)量的完整廣義Hamilton系統(tǒng)分別為

{xj,pk}=δjk+xjAk-pkbj.

2 V-測(cè)地線方程

對(duì)于V-測(cè)地線方程，代入S-動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，很顯然，我們可以得到

3 算例

這是廣義Hamilton系統(tǒng)理論描述的.

下面我們考慮廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng).首先考慮完整的廣義Hamilton系統(tǒng)，

式中,Ak=?ks.此時(shí)的S-動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過計(jì)算表達(dá)式為

4 展望

研究廣義協(xié)變 Hamilton系統(tǒng)已經(jīng)取得了一些成果，由于它本身就是描述非線性系統(tǒng)，這一點(diǎn)可以從V-測(cè)地線方程看出，對(duì)于廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)的許多細(xì)節(jié)還有待于進(jìn)一步研究，例如廣義協(xié)變Hamilton系統(tǒng)的對(duì)稱性問題等.