過(guò)振宇，楊杰

(江西理工大學(xué) 電氣學(xué)院，江西 贛州341000)

目前，世界上磁懸浮列車(chē)常用的懸浮方式是電磁懸浮[1]EMS以及超導(dǎo)磁浮[2]EDS，但至今磁懸浮列車(chē)無(wú)法大面積推廣，其很大原因是無(wú)論是電磁懸浮還是超導(dǎo)懸浮，都無(wú)法解決斷電情況下的列車(chē)安全性問(wèn)題。電磁懸浮是利用車(chē)載懸浮電磁鐵與車(chē)軌磁體的吸引力進(jìn)行懸浮，需電能供應(yīng)。而超導(dǎo)磁浮是通過(guò)運(yùn)動(dòng)的車(chē)載超導(dǎo)磁體(通有電流的線圈)的磁場(chǎng)與車(chē)軌兩側(cè)鋁環(huán)線圈相切，鋁環(huán)線圈感應(yīng)出磁場(chǎng)，超導(dǎo)磁體本身的磁場(chǎng)與感應(yīng)的磁場(chǎng)產(chǎn)生斥力進(jìn)行懸浮的。超導(dǎo)磁浮的懸浮高度與懸浮列車(chē)運(yùn)行速度有關(guān)，且停車(chē)時(shí)需利用單獨(dú)輔助支持輪支撐，因此，超導(dǎo)磁浮懸浮高度不穩(wěn)定并且也需要提供電能。與電磁懸浮以及超導(dǎo)磁浮的懸浮方式不同，永磁懸浮[3]軌道交通系統(tǒng)(又稱“虹軌”)是完全利用車(chē)載稀土永磁體與磁軌稀土永磁體之間的純磁性斥力進(jìn)行懸浮，懸浮過(guò)程無(wú)需提供電能，能實(shí)現(xiàn)“零功率”懸浮，懸浮高度只與永磁體本身和永磁體之間間隙有關(guān)，與懸浮列車(chē)運(yùn)行速度以及電能無(wú)關(guān)，無(wú)需裝設(shè)輔助支持輪裝置，不存在斷電情況下列車(chē)懸浮的安全性問(wèn)題。它是一種新型懸掛式軌道交通模式，具有無(wú)功耗、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、成本低等優(yōu)點(diǎn)，由江西理工大學(xué)于2014年首次提出，2019年初完成安裝、調(diào)試、系列實(shí)驗(yàn)。由于“虹軌”獨(dú)特的懸浮方式，其存在包含自身特點(diǎn)的列車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)永磁體偏移產(chǎn)生側(cè)向力問(wèn)題。當(dāng)懸浮列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)，由于離心力的作用，懸浮列車(chē)將向外偏移，導(dǎo)致車(chē)載磁體與軌道磁體不對(duì)中，進(jìn)而產(chǎn)生側(cè)向力，側(cè)向力的方向與離心方向一致，如果不加以控制，側(cè)向力將隨著偏移量增加而不斷增大，導(dǎo)致懸浮列車(chē)一直處于側(cè)偏狀態(tài)，對(duì)列車(chē)導(dǎo)向輪損壞較大，影響車(chē)輛安全，而如果控制效果不好，將使得永磁懸浮列車(chē)左右搖晃劇烈，平穩(wěn)性變差。針對(duì)以上永磁懸浮系統(tǒng)在轉(zhuǎn)彎處存在側(cè)向力較大的問(wèn)題，本文提出在懸浮架導(dǎo)向輪上增加液壓控制系統(tǒng)，通過(guò)控制兩邊導(dǎo)向輪上數(shù)字液壓缸的伸縮使得車(chē)載磁體與軌道磁體對(duì)中，側(cè)向力趨近于0，并提出了一種DMC-PID串級(jí)控制的針對(duì)永磁懸浮軌道側(cè)向力控制系統(tǒng)的控制策略，將傳統(tǒng)PID和動(dòng)態(tài)矩陣算法的優(yōu)勢(shì)結(jié)合在一起[4]，可以解決永磁懸浮軌道側(cè)向力系統(tǒng)大慣性、純滯后以及非自衡問(wèn)題。本文首先闡述永磁懸浮軌道彎道側(cè)向力控制系統(tǒng)的彎道側(cè)向力控制原理與策略以及建立被控對(duì)象模型，其次設(shè)計(jì)了基于DMC-PID串級(jí)永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)，最后通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證明了DMC-PID策略在永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)上的優(yōu)越性。

1 永磁懸浮軌道彎道側(cè)向力控制系統(tǒng)

1.1 彎道側(cè)向力控制原理與策略

控制原理：永磁懸浮列車(chē)彎道運(yùn)行狀態(tài)示意圖如圖1所示。當(dāng)懸浮列車(chē)經(jīng)過(guò)彎道時(shí)，由于離心作用懸浮架會(huì)向遠(yuǎn)離圓心方向偏移，將產(chǎn)生懸浮側(cè)向力。懸浮列車(chē)向心力F向心由天梁給懸浮架的支持力F支與懸浮架發(fā)生偏移后懸浮側(cè)向力F側(cè)向的合力提供：

圖1 彎道運(yùn)行狀態(tài)示意圖Fig.1 Schematic diagram of curve running state

式中：m為懸浮列車(chē)質(zhì)量；r為彎道半徑；T為懸浮列車(chē)運(yùn)行周期(勻速運(yùn)動(dòng))。由于m，r，T都是已知量，因此F向心趨近于常數(shù)。

控制策略：永磁體對(duì)中具體控制策略框圖如圖2所示，給定的F向心與壓力傳感器反饋的兩側(cè)輪液壓缸壓力差值(指天梁給懸浮架的支持力)F支的偏差e作為控制器的輸入，經(jīng)過(guò)控制算法得出合適的輸出脈沖數(shù)u，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)數(shù)字液壓缸伸縮動(dòng)作來(lái)控制兩側(cè)懸浮架導(dǎo)向輪的伸縮，實(shí)時(shí)調(diào)整車(chē)載磁體和磁軌之間的橫向位移狀態(tài)，最終實(shí)現(xiàn)車(chē)載磁體和磁軌磁體兩者位置對(duì)中，此時(shí)懸浮側(cè)向力趨近于0。

圖2 永磁體對(duì)中具體控制策略框圖Fig.2 Block diagram of specific control strategy for permanent magnet alignment

1.2 被控對(duì)象模型建立與辨識(shí)

永磁懸浮軌道側(cè)向力系統(tǒng)被控對(duì)象由數(shù)字液壓缸和永磁懸浮模塊2部分組成，分別對(duì)2部分被控對(duì)象的模型進(jìn)行建立與辨識(shí)。

1.2.1 數(shù)字液壓缸對(duì)象模型建立

為解決永磁懸浮列車(chē)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中車(chē)載磁體與軌道磁體不對(duì)中側(cè)向力偏大問(wèn)題，永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)采用數(shù)字液壓缸作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)控制懸浮架導(dǎo)向輪的伸縮。該數(shù)字液壓缸主要由4部分構(gòu)成：步進(jìn)驅(qū)動(dòng)電機(jī)、四邊滑閥、液壓缸體以及信號(hào)反饋機(jī)構(gòu)。數(shù)字液壓缸數(shù)學(xué)模型表達(dá)形式[5?7]：

式中：kq為閥的流量增益；Ap為液壓缸活塞有效面積；wh為液壓固有頻率；ξh為液壓阻尼比；kf為齒條和齒輪的傳動(dòng)比。

已知一數(shù)字液壓缸的基本參數(shù)如下。

閥的流量增益：kq=0.012；

液壓缸活塞有效面積：Ap=0.01 m2；

液壓固有頻率：wh=9；

液壓阻尼比：ξh=0.3；

齒條和齒輪的傳動(dòng)比：kf=2π；

該數(shù)字液壓缸的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：Xs為液壓缸活塞伸縮量；N為步進(jìn)電機(jī)的輸入脈沖數(shù)。

1.2.2 懸浮模塊系統(tǒng)模型辨識(shí)

懸浮架在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中整體發(fā)生側(cè)偏，車(chē)載磁體與磁軌磁體不對(duì)中，示意圖如圖3所示，其中，磁體內(nèi)部箭頭方向—磁體磁化方向，X軸為懸浮列車(chē)橫向偏移方向，Z軸為懸浮列車(chē)上下浮動(dòng)方向。

圖3 車(chē)載磁體與磁軌磁體不對(duì)中示意圖Fig.3 Schematic diagram of misalignment of vehicle magnet and magnetic track magnet

縱向長(zhǎng)度皆為L(zhǎng)的車(chē)載磁體與磁軌磁體在X軸方向偏移c時(shí)所產(chǎn)生的側(cè)向力F側(cè)向的計(jì)算方法[8]如下：

式(4)~(10)中，a為磁軌磁體寬度；b為磁軌磁體高度；c為磁軌與車(chē)載磁體偏移量；d為車(chē)載磁體高度；e為車(chē)載磁體寬度；h為永磁懸浮高度；L為車(chē)載以及磁軌磁體長(zhǎng)度；u0=4π×10-7H/m為空氣磁導(dǎo)率；Br1為車(chē)載永磁體剩磁感應(yīng)強(qiáng)度；Br2為磁軌永磁體剩磁感應(yīng)強(qiáng)度。

為了增強(qiáng)工作氣隙的磁場(chǎng)及磁能，本永磁懸浮軌道系統(tǒng)的懸浮模塊采用Halbach永磁陣列排布方式。車(chē)載永磁體與軌道永磁體都采用釹鐵硼(N45)材料。其性能及其尺寸參數(shù)如下：

將以上相關(guān)參數(shù)代入式(4)～(10)，采用Matlab繪制列車(chē)側(cè)向力隨車(chē)載與磁軌磁體偏移量變化的趨勢(shì)圖，并利用Matlab專用辨識(shí)工具對(duì)此永磁懸浮模塊系統(tǒng)模型進(jìn)行傳遞函數(shù)辨識(shí)，該永磁懸浮模塊辨識(shí)對(duì)比結(jié)果如圖4所示，X軸為磁軌與車(chē)載磁體偏移量c，在實(shí)際應(yīng)用情況下，磁軌與車(chē)載磁體的最大偏移量在35 mm左右，因此該辨識(shí)系統(tǒng)偏移量c取[0,35]，單位mm；Y軸為側(cè)向力F側(cè)向，單位N。

圖4 永磁懸浮模塊系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果Fig.4 Identification result of permanent magnetic levitation module system

由圖4可知，永磁懸浮列車(chē)側(cè)向力F側(cè)向與車(chē)載磁體與磁軌磁體的偏移量c成正比，隨著偏移量增大，永磁懸浮列車(chē)側(cè)向力一直增大[9?10]，最終無(wú)法趨近于某個(gè)常數(shù)。因此，整個(gè)永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)屬于非漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng)(非自衡系統(tǒng))。永磁懸浮模塊系統(tǒng)辨識(shí)精度為98.74%。由此可知，永磁懸浮模塊系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

式中：F為車(chē)載磁體與磁軌磁體側(cè)偏產(chǎn)生的側(cè)向力；Xp為車(chē)載磁體與磁軌磁體偏移量。

1.2.3 控制對(duì)象傳遞函數(shù)模型建立

永磁懸浮軌道側(cè)向力控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖5所示。

圖5 控制對(duì)象傳遞函數(shù)方框圖Fig.5 Block diagram of control object transfer function

當(dāng)前時(shí)刻KT的車(chē)載磁體與磁軌磁體偏移量Xp(k)與當(dāng)前時(shí)刻KT的液壓缸活塞伸縮量Xs(k)以及上個(gè)時(shí)刻(K-1)T的車(chē)載磁體與磁軌磁體偏移量Xp(k-1)的關(guān)系：

將式(12)轉(zhuǎn)換成Z域，再轉(zhuǎn)換成S域：

永磁懸浮軌道側(cè)向力系統(tǒng)被控對(duì)象傳遞函數(shù)：

2 基于DMC-PID串級(jí)永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)框圖設(shè)計(jì)

本系統(tǒng)控制部分由內(nèi)環(huán)PID和外環(huán)DMC雙控制器組成。由于永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)不是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此先選擇PID控制器使得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，將PID控制系統(tǒng)當(dāng)成一個(gè)廣義對(duì)象，再采用先進(jìn)DMC控制算法進(jìn)行控制，形成了基于永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)DMC-PID串級(jí)控制策略。本系統(tǒng)框圖如圖6所示。

圖6 永磁懸浮軌道側(cè)向力控制系統(tǒng)方框圖Fig.6 Block diagram of lateral force control system for permanent magnetic levitation track

DMC控制策略與PID策略不同，它不僅與目前和過(guò)去偏差值有關(guān)，還與預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)出來(lái)的未來(lái)偏差值有關(guān)聯(lián)，利用滾動(dòng)優(yōu)化給出目前最優(yōu)控制策略[11]，使得未來(lái)一段時(shí)間實(shí)際側(cè)向力值與目標(biāo)側(cè)向力值偏差最小。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

2.2.1 PID控制器設(shè)計(jì)

永磁懸浮側(cè)向力系統(tǒng)采用臨界比例度法對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行整定，詳細(xì)整定步驟如下：

首先，將積分系數(shù)Ki和Kd微分系數(shù)置0，比例系數(shù)Kp選取偏大一些的值。

其次，不斷減小Kp值，直到曲線出現(xiàn)等幅振蕩，記錄當(dāng)時(shí)的比例系數(shù)Ku和等幅振蕩周期Tu。

最后，通過(guò)參考表1的臨界比例度法整定公式，計(jì)算得到Kp，Ti和Td的值。

表1 臨界比例度法參數(shù)整定公式Table 1 Parameter tuning formula of critical proportionality method

最終通過(guò)不斷調(diào)整，得出最終PID整定參數(shù)：

2.2.2 DMC控制器設(shè)計(jì)

DMC控制器由預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和在線校正3部分構(gòu)成[12?14]。

1)預(yù)測(cè)模型采用系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸入輸出數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型[15]?；赑ID控制的永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，如圖7所示。當(dāng)在k時(shí)刻對(duì)對(duì)象施加一個(gè)控制增量Δu(k)時(shí)，僅Δu(k)起作用的情況下能得到未來(lái)時(shí)刻對(duì)象的N個(gè)輸出值。假設(shè)對(duì)象基于階躍響應(yīng)下的模型預(yù)測(cè)向量為a=[a1,a2,…,aN]T，則對(duì)象未來(lái)時(shí)刻的P個(gè)預(yù)測(cè)輸出值向量可表示為：

圖7 基于PID控制的永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線Fig.7 Unit step response curve of a permanent magnet levitation lateral force control system based on PID control

式(15)～(18)中：y0(k)為模型輸出初始值；ym(k)為k時(shí)刻在控制增量Δu(k)作用下的模型預(yù)測(cè)值；P為預(yù)測(cè)時(shí)域長(zhǎng)度；M為控制時(shí)域長(zhǎng)度；N為模型時(shí)域長(zhǎng)度；(k+1,k)為在k時(shí)刻對(duì)k+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)。

DMC參數(shù)的選擇：

a)采樣周期T：取值需滿足香農(nóng)采樣定理，對(duì)于滯后系統(tǒng)，在0.25Ti左右，不能取值太大，Ti=2.9—純滯后時(shí)間；

b)模型長(zhǎng)度N：取值盡可能使得模型預(yù)測(cè)向量a=[a1,a2,…,aN]T包含整個(gè)動(dòng)態(tài)響應(yīng)信息。T取值越大，N取值越小，系統(tǒng)抗干擾能力變?nèi)酰?/p>

c)優(yōu)化時(shí)域P：P取值越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性好但響應(yīng)速度慢；P取值越小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，但穩(wěn)定性差。

d)控制時(shí)域M：M取值越小，系統(tǒng)穩(wěn)定性好但響應(yīng)速度慢；M取值越大，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，但穩(wěn)定性差。

根據(jù)上述DMC參數(shù)選定方法不斷仿真實(shí)驗(yàn)調(diào)整得出最優(yōu)的DMC參數(shù)：采樣周期T=1，N=350，P=100，M=1。

2)滾動(dòng)優(yōu)化滾動(dòng)優(yōu)化[16]的目的是使系統(tǒng)未來(lái)p個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)輸出值y?(k+p)盡可能接近期望值ω(k+p)，需要確定M個(gè)控制增量Δu(k+m-1)，且控制增量的變化需受約束。而k時(shí)刻優(yōu)化性能指標(biāo)：

式中：qi和rj為加權(quán)系數(shù)，用來(lái)約束預(yù)測(cè)偏差和控制增量的改變。

qi參數(shù)優(yōu)化整定方法：

a)先設(shè)定qi=0(i=1,…,P)，再選擇合適的P值，盡可能包含系統(tǒng)主要?jiǎng)討B(tài)特性；

b)觀察系統(tǒng)動(dòng)態(tài)曲線，如果動(dòng)態(tài)響應(yīng)太慢，則適當(dāng)減少P值；如果穩(wěn)定性差，則適當(dāng)增大P值；

c)若系統(tǒng)靜態(tài)誤差偏大，則適當(dāng)增大qi值。

rj參數(shù)優(yōu)化整定方法：

a)先置rj=0(j=1,…,M)，如果系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定但控制量變化幅度太大，則可適當(dāng)增加rj值；

b)在仿真過(guò)程中，rj取值很小就可以讓控制量變化趨于穩(wěn)定。

最終調(diào)整得最優(yōu)加權(quán)系數(shù)：qi=0(i=1,…,P)；rj=0.1(j=1,…,M)。

3)在線校正

在線校正目的是實(shí)時(shí)校正未來(lái)時(shí)刻預(yù)測(cè)值。實(shí)時(shí)校正是在下一時(shí)刻將對(duì)象的實(shí)際輸出y(k)與式(15)得出的未來(lái)時(shí)刻預(yù)測(cè)值y m(k)進(jìn)行差值運(yùn)算：

采用增加校正向量h的方式不斷修正未來(lái)時(shí)刻預(yù)測(cè)值：

式中：h=[h1,h2,…,h350]T—校正向量，本系統(tǒng)中h1=h2=…=h350=0.9；yp(k+1)—修正后的輸出預(yù)測(cè)值，通過(guò)s矩陣柔化后又重新成為下一個(gè)時(shí)刻的輸出預(yù)測(cè)初始值，可表示為向量形式：

式中：s為柔化系數(shù)矩陣[17]，

3 仿真與結(jié)果分析

根據(jù)DMC-PID串級(jí)控制原理采用MATLAB SIMULINK工具建立控制系統(tǒng)仿真框圖，如圖8～9所示。DMC控制器的預(yù)測(cè)模型、在線校正以及滾動(dòng)優(yōu)化模塊均使用MATLAB Function方式來(lái)自定義函數(shù)。建立永磁懸浮軌道側(cè)向力控制系統(tǒng)仿真框圖是為了對(duì)比傳統(tǒng)PID控制策略與DMC-PID串級(jí)控制策略的控制效果。

圖8 2種控制方案仿真Fig.8 Simulation diagram of two control schemes

圖9 永磁懸浮側(cè)向力控制系統(tǒng)內(nèi)部封裝Fig.9 Internal package diagram of permanent magnetic levitation lateral force control system

仿真結(jié)果如圖10和圖11所示，橫坐標(biāo)為時(shí)間(s)，縱坐標(biāo)為側(cè)向力(N)，其中，系統(tǒng)側(cè)向力初始值是1 000 N(相當(dāng)于車(chē)載磁體與磁軌磁體初始偏移量約15 mm)，目標(biāo)值設(shè)定為0 N，側(cè)向力為負(fù)值表示側(cè)向力是相反方向的。

圖10 未加擾動(dòng)信號(hào)的仿真對(duì)比Fig.10 Simulation comparison chart of undisturbed signal

圖10 是系統(tǒng)未加入擾動(dòng)時(shí)2種控制方案的對(duì)應(yīng)效果曲線圖。由圖10可知：當(dāng)選用PID控制策略時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量約為58%，調(diào)節(jié)時(shí)間約為370 s。而選用DMC-PID串級(jí)控制策略時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量約為28%，調(diào)節(jié)時(shí)間約為210 s。因此，與傳統(tǒng)PID控制策略對(duì)比，采用DMC-PID串級(jí)控制策略系統(tǒng)側(cè)向力波動(dòng)能夠更快更穩(wěn)得趨近于目標(biāo)值0 N。

圖11 是當(dāng)系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)(在600 s時(shí)刻加入車(chē)載磁體與磁軌磁體偏移量5 mm的擾動(dòng)信號(hào)，相當(dāng)于側(cè)向力400 N)2種控制方案的對(duì)應(yīng)效果曲線圖。由圖11可知：在抗干擾能力方面，DMC-PID控制策略明顯優(yōu)于PID控制策略。系統(tǒng)采用DMCPID控制策略側(cè)向力曲線波動(dòng)更小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，系統(tǒng)能夠更快趨近于目標(biāo)值0 N，系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力更強(qiáng)。

圖11 加擾動(dòng)信號(hào)的仿真對(duì)比Fig.11 Simulation comparison chart of disturbance signal

4 結(jié)論

1)為解決永磁懸浮軌道側(cè)向力控制系統(tǒng)在彎道運(yùn)行階段非自衡、純滯后、不易控制等問(wèn)題，設(shè)計(jì)了針對(duì)本系統(tǒng)的DMC-PID串級(jí)控制器，結(jié)合了傳統(tǒng)PID控制策略快速響應(yīng)能力和DMC預(yù)測(cè)控制策略抗干擾能力強(qiáng)優(yōu)勢(shì)。

2)對(duì)比傳統(tǒng)PID控制策略，永磁懸浮列車(chē)在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中采用DMC-PID串級(jí)控制策略，系統(tǒng)車(chē)載磁體與軌道磁體能夠更快更平穩(wěn)得控制居中，此時(shí)永磁懸浮系統(tǒng)側(cè)向力接近目標(biāo)值0 N，列車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)左右晃動(dòng)較小，平穩(wěn)性更好，乘車(chē)舒適性將大大提升。