李兆龍, 朱士信

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

文獻[1]提出量子碼,其在量子計算中有良好的糾錯能力;文獻[2]提出基于經(jīng)典碼構(gòu)造量子碼的方法,即CSS構(gòu)造方法。后來量子碼的構(gòu)造被推廣到非二元情形[3-4]。此后,編碼理論界通過有限域上各種經(jīng)典碼,如RS碼[5]、BCH碼[6]、常循環(huán)碼[7-9]等,構(gòu)造了一系列量子碼。

隨著編碼理論的發(fā)展,基于有限環(huán)上經(jīng)典碼構(gòu)造量子碼的方法受到廣泛關(guān)注。文獻[10]基于環(huán)F2[u]/(u2)上循環(huán)碼構(gòu)造了量子碼;文獻[11]基于環(huán)F4[u]/(u2)上循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較優(yōu)的二元量子碼;文獻[12]基于環(huán)F2m[u]/(uk+1)上循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較優(yōu)的2m元的量子碼;文獻[13]基于環(huán)Fp2m[u]/(u2)上循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較優(yōu)的pm元量子碼。此后,基于有限非鏈環(huán)上經(jīng)典碼的量子碼構(gòu)造方法同樣受到廣泛的關(guān)注。文獻[14]基于非鏈環(huán)F2[v]/(v2-v)上循環(huán)碼構(gòu)造了二元量子碼;文獻[15]基于非鏈環(huán)Fp[v]/(v2-v)上的循環(huán)碼構(gòu)造了p元量子碼;文獻[16]基于非鏈環(huán)Fp[v]/(v3-v)構(gòu)造了p元量子碼;文獻[17-18]基于非鏈環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上經(jīng)典碼,通過選取不同的Gray映射,分別構(gòu)造了p元量子碼。最近,文獻[19]基于非鏈環(huán)F2+uF2+vF2上循環(huán)碼構(gòu)造了二元量子碼,其中u2=u,v2=v且uv=vu=0。以上結(jié)果表明,基于非鏈環(huán)上經(jīng)典碼可以構(gòu)造參數(shù)較優(yōu)的量子碼。受此啟發(fā),本文將基于環(huán)R=Fq+uFq+vFq上常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼,其中q是一個奇素數(shù)冪,u2=u,v2=v且uv=vu=0。

環(huán)R是一個主理想環(huán),它有3個極大理想(1-u)、(1-v)和(u+v)。文獻[20]利用代數(shù)的方法分別研究了環(huán)R上的線性碼和斜循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)。本文基于環(huán)R的直和分解研究該環(huán)上(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,并將其應(yīng)用于量子碼的構(gòu)造。

1 預(yù)備知識

設(shè)p>3是一個素數(shù),m是一個正整數(shù)且q=pm。設(shè)R=Fq+uFq+vFq,Fq表示q階有限域,u和v滿足關(guān)系u2=u,v2=v且uv=vu=0,則環(huán)R是一個階為q3的有限非鏈環(huán)。設(shè)e1=1-u-v,e2=u和e3=v,則e1、e2和e3是環(huán)R上一組本原冪等元。由中國剩余定理得:

R=e1Fq?e2Fq?e3Fq,

其中,?表示環(huán)R的直和。

環(huán)R中的每個元素r可唯一分解為:

r=e1r1+e2r2+e3r3,

其中,ri∈Fq。

設(shè)Rn是環(huán)R上n-元組集合。Rn中的每個n-元組c可以唯一表示為:

c=e1c1+e2c2+e3c3,

(λcn-1,c0,…,cn-2)∈C。

通常,將(c0,c1,…,cn-1)∈Rn等同于

c0+c1x+…+cn-1xn-1∈R[x]/(xn-λ),

其中,R[x]/(xn-λ)表示多項式環(huán)R[x]關(guān)于理想(xn-λ)的商環(huán)。在這個意義下,C是環(huán)R上碼長n的λ-常循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)C是環(huán)R[x]/(xn-λ)的理想。

對于Rn中的任意2個n-元組,即a=(a0,a1,…,an-1)和b=(b0,b1,…,bn-1),它們的內(nèi)積定義為:

a·b=a0b0+a1b1+…+an-1bn-1。

若a·b=0,則稱a和b是正交的。對于環(huán)R上碼長n的線性碼C,稱

C⊥={b∈Rn|a·b=0,?a∈C}

為C的對偶碼。若C?C⊥,則稱C是自正交碼。

設(shè)C是環(huán)R上長度n的線性碼,定義:

e1a+e2b+e3c∈C};

e1a+e2b+e3c∈C};

ε1a+ε2b+ε3c∈C};

則有C=e1C1?e2C2?e3C3。其中,C1、C2、C3為Fq上線性碼且|C|=|C1||C2||C3|。

設(shè)Ci的生成矩陣為Gi,則C的生成矩陣G為:

其中,GT為矩陣G的轉(zhuǎn)置矩陣。

2 Gray映射

命題1 當(dāng)p>3時,φ是一個雙射。

(1)

有解。因為方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩為3,方程組(1)有解,所以φ是一個滿射。

對環(huán)R中的元素r,定義它的Gray重量為:

wtG(r)=wtH(φ(r)),

φ:a|→(φ(a0),φ(a1),…,φ(an-1)),

其中,a=(a0,a1,…,an-1)∈Rn。定義a的Gray重量為:

對任意a、b∈Rn,a和b的Gray距離定義為:

dG(a,b)=wtG(a-b)。

環(huán)R上碼長n的線性碼C的Gray距離定義為R中任意2個不同碼字Gray距離的最小值。

證明因為對Rn中任意元素a=(a0,a1,…,an-1)和b=(b0,b1,…,bn-1),Fq中的任意元素m、n,有

φ(ma+nb)=

(φ(ma0+nb0),φ(a1+nb1),…,

φ(an-1+nbn-1))=

(mφ(a0)+nφ(b0),mφ(a1)+nφ(b1),…,

mφ(an-1)+nφ(bn-1))=mφ(a)+nφ(b),

所以φ是Fq-線性的,且由Gray距離和Gray重量的定義可得:

dG(a,b)=wtG(a-b)=

由命題2易證下列命題成立。

近年來，隨著老齡化的加重，高血壓、糖尿病等慢性疾病的增加，每年新增的腦卒中患者有200萬人，其中會有70%～80%的患者會因疾病問題導(dǎo)致肢體運動出現(xiàn)障礙，從而影響生活質(zhì)量，為家庭帶來沉重的經(jīng)濟負擔(dān)。腦卒中屬于急性腦血管疾病，在中醫(yī)當(dāng)中屬于“中風(fēng)中的痿痹”，多是由于患者機體衰老，氣血虧虛，腦髓失養(yǎng)，引起肝陽上亢，情志不暢等原因從而導(dǎo)致肝氣瘀滯 ，痹阻于腦脈而引發(fā)病的疾病。因此改善腦卒中偏癱患者肢體運動功能、提高患者的生活質(zhì)量，是目前關(guān)注的主要問題。

命題4 設(shè)C是環(huán)R上碼長n的線性碼,則φ(C)是Fq上碼長3n的自正交碼當(dāng)且僅當(dāng)碼C是自正交的。

a·b=e1a1·b1+e2a2·b2+e3a3·b3=0。

由此推出a1·b1=a2·b2=a3·b3=0。

另一方面,由Gray映射的定義可得:

φ(a)·φ(b)=9[a1·b1+a2·b2+a3·b3]。

于是φ(a)·φ(b)=0,即φ(a)與φ(b)正交。

再結(jié)合a和b的任意性知,φ(C)是Fq上碼長3n的自正交碼。

3 量子碼的構(gòu)造

本節(jié)以環(huán)R上碼長n的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼為載體構(gòu)造量子糾錯碼。

引理1[2]設(shè)C是Fq上參數(shù)為[n,k,d]的線性碼,若C⊥?C,則存在參數(shù)為[[n,2k-n,d]]的q元量子碼。

證明首先證明必要性。設(shè)ai=(ai,0,ai,1,…,ai,n-1)是Ci的任意一個碼字,i=1,2,3。令

b=(b0,b1,…,bn-1)=e1a1+e2a2+e3a3,

則b∈C。

因為C是(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,所以((1-2u-2v)bn-1,b0,…,bn-2)∈C。因為

(1-2u-2v)bn-1=e1a1,n-1-e2a2,n-1-e3a3,n-1,

所以

(a1,n-1,a1,0,…,a1,n-2)∈C1,

(-a2,n-1,a2,0,…,a2,n-2)∈C2,

(-a3,n-1,a3,0,…,a3,n-2)∈C3。

于是C1是Fq上碼長n的循環(huán)碼,C2和C3是Fq上碼長n的負循環(huán)碼。

然后證明充分性。設(shè)b=(b0,b1,…,bn-1)=e1a1+e2a2+e3a3是碼C的任意一個碼字,其中

ai=(ai,0,ai,1,…,ai,n-1),i=1,2,3。

由定義知ai∈Ci,

(a1,n-1,a1,0,…,a1,n-2)∈C1,

(-a2,n-1,a2,0, …,a2,n-2)∈C2,

(-a3,n-1,a3,0,…,a3,n-2)∈C3。

由此得:

(e1a1,n-1-e2a2,n-1-e3a3,n-1,b0,…,bn-2)∈C,

即((1-2u-2v)bn-1,b0,…,bn-2)∈C。由b的任意性知,C是環(huán)R上碼長n(1-2u-2v)-常循環(huán)碼。

引理4[2]設(shè)C是Fq上生成多項式為g(x)的循環(huán)碼或負循環(huán)碼。則C⊥?C的充要條件是xn-λ≡0(modg(x)g*(x)),其中：λ∈{1,-1};g*(x)為g(x)的互反多項式。

基于以上引理可得如下結(jié)論:

定理1 設(shè)C是環(huán)R上碼長n生成多項式為g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)+e3g3(x)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,則C⊥?C的充要條件為:

證明首先證明充分性。由引理4知,當(dāng)

然后證明必要性。若C⊥?C,則

結(jié)合引理4,結(jié)論成立。

證明由引理1和定理1可證得定理2的結(jié)論。

下面基于環(huán)R上(1-2u-2v)-常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼。

例1 設(shè)q=5。在Fq上,x15-1=(x+4)5×(x2+x+1)5,x15+1=(x+1)5(x2+4x+1)5。設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上碼長15生成多項式為g(x)=e1(x+4)+e2(x2+4x+1)+e3(x2+2x+1)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x+4、g2(x)=x2+4x+1和g3(x)=x2+2x+1滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[45,40,3]的線性碼。

由定理2知,存在參數(shù)為[[45,35,≥3]]的5元量子碼,比文獻[16]中參數(shù)[[45,33,≥3]]的5元量子碼有更大的維數(shù)。

例2 設(shè)q=5。在Fq上,

x30-1=(x+1)5(x+4)5×

(x2+x+1)5(x2+4x+1)5,

x30+1=(x+2)5(x+3)5×

(x2+2x+4)5(x2+3x+4)5。

設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上碼長30生成多項式為g(x)=ε1(x2+x+1)+ε2(x+2)+ε3(x+3)2的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x2+x+1、g2(x)=x+2和g3(x)=(x+3)2滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[90,85,3]的線性碼。由定理2知,存在參數(shù)為[[90,80,≥3]]的5元量子碼,比文獻[16]中參數(shù)[[90,78,≥3]]的5元量子碼有更大的維數(shù)。

例3 設(shè)q=5。在Fq上,

x31-1=(x+4)(x3+x+4)×

(x3+2x+4)(x3+x2+x+4)×

(x3+x2+3x+4)(x3+2x2+x+4)×

(x3+2x2+4x+4)(x3+3x2+4)×

(x3+4x2+4)(x3+4x2+3x+4)×

(x3+4x2+4x+4),

x31+1=(x+1)(x3+x+1)×

(x3+2x+1)(x3+x2+1)×

(x3+x2+3x+1)(x3+x2+4x+1)×

(x3+2x2+1)(x3+3x2+x+1)×

(x3+3x2+4x+1)(x3+4x2+x+1)×

(x3+4x2+3x+1)。

設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上長31生成多項式為ε2(x3+ε2(x3+3x2+4x+1)+ε3(x3+x2+3x+1)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x3+x2+3x+1、g2(x)=x3+3x2+4x+1和g3(x)=x3+x2+3x+1滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[93,84,4]的線性碼,由定理2知,存在參數(shù)為[[93,75,≥4]]的5元量子碼,比文獻[16]中參數(shù)[[93,75,≥2]]的5元量子碼擁有更大的極小距離。

例4 設(shè)q=5。在Fq上,

x12+1=(x2+2)(x2+3)(x2+x+2)×

(x2+2x+3)(x2+3x+3)(x2+4x+2),

x12-1=(x+1)(x+2)(x+3)×

(x+4)(x2+x+1)(x2+2x+4)×

(x2+3x+4)(x2+4x+1)。

設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上碼長12生成多項式g(x)=ε1(x2+2x+4)+ε2(x2+3x+3)+ε3(x2+3x+3)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x2+2x+4、g2(x)=x2+3x+3和g3(x)=x2+3x+3滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[36,30,3]的線性碼。由定理2知,存在參數(shù)為[[36,24,≥3]]的5元量子碼,比文獻[16]中參數(shù)[[40,24,≥2]的5元量子碼有更大的碼率和極小距離。

例5 設(shè)q=5。在Fq上,

x28+1=(x2+2)(x2+3)×

(x6+x5+4x4+3x3+2x2+4x+2)×

(x6+2x5+x4+4x3+2x2+3x+3)×

(x6+3x5+x4+x3+2x2+3x+3)×

(x6+4x5+4x4+2x3+2x2+x+2),

x28-1=(x+1)(x+2)(x+3)×

(x+4)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)×

(x6+2x5+4x4+3x3+x2+2x+4)×

(x6+3x5+4x4+2x3+x2+3x+4)×

(x6+4x5+x4+4x3+x2+4x+1)。

設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上碼長28生成多項式為g(x)=ε1(x6+2x5+4x4+3x3+x2+2x+4)+ε2(x6+3x5+x4+x3+2x2+2x+3)+ε3(x6+2x5+x4+4x3+2x2+3x+3)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x6+2x5+4x4+3x3+x2+2x+4、g2(x)=x6+3x5+x4+x3+2x2+2x+3和g3(x)=x6+2x5+x4+4x3+2x2+3x+3滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[84,66,3]的線性碼。由定理2知,存在參數(shù)為[[84,48,≥3]]的5元量子碼,比文獻[17]中參數(shù)[[88,48,≥2]的5元量子碼有更大的碼率和極小距離。

例6 設(shè)q=5。在Fq上,

x44+1=(x2+2)(x2+3)×

(x10+x8+x6+2x4+x2+2)×

(x10+2x8+x6+2x4+3x2+2)×

(x10+3x8+x6+3x4+3x2+3)×

(x10+4x8+x6+3x4+x2+3),

x44-1=(x+1)(x+2)(x+3)×

(x+4)(x5+x4+x3+2x2+x+2)×

(x5+x4+4x3+4x2+3x+1)×

(x5+2x4+x3+2x2+3x+2)×

(x5+2x4+4x3+x2+x+4)×

(x5+3x4+x3+3x2+3x+3)×

(x5+3x4+4x3+4x2+x+1)×

(x5+4x4+x3+3x2+x+3)×

(x5+4x4+4x3+x2+3x+4)。

設(shè)C是環(huán)R=F5+μF5+νF5上碼長44生成多項式為g(x)=ε1(x+1)+ε2(x2+2)+ε3(x2+3)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=x+1、g2(x)=x2+2和g3(x)=x2+3滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[132,127,2]的線性碼。由定理2可知,存在參數(shù)為[[132,122,≥2]]的5元量子碼,比文獻[6]中參數(shù)[[132,92,≥2]的5元量子碼有更大的維數(shù)。

例7 設(shè)q=11。在Fq上,

x20+1=(x2+x+6)(x2+2x+2)×

(x2+3x+10)(x2+4x+8)(x2+5x+7)×

(x2+6x+7)(x2+7x+8)(x2+8x+10)×

(x2+9x+2)(x2+10x+6),

x20-1=(x+1)(x+2)(x+3)×

(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)×

(x+9)(x+10)(x2+1)(x2+3)×

(x2+4)(x2+5)(x2+9)。

設(shè)C是環(huán)R=F11+μF11+νF11上碼長20生成多項式為g(x)=ε1(x+3)(x+6)(x+9)+ε2(x2+2x+2)(x2+3x+10)+ε3(x2+5x+7)的(1-2u-2v)-常循環(huán)碼,即g1(x)=(x+3)(x+6)(x+9)、g2(x)=(x2+2x+2)×(x2+3x+10)和g3(x)=x2+5x+7滿足定理1的條件。

容易驗證,φ(C)是Fq上參數(shù)為[60,51,5]的線性碼。由定理2知,存在參數(shù)為[[60,42,≥5]]的5元量子碼,比文獻[17]中參數(shù)[[60,40,≥5]的5元量子碼有更大的維數(shù)。

4 結(jié) 論

本文研究了非鏈環(huán)Fq+uFq+vFq上(1-2u-2v)-常循環(huán)碼。通過構(gòu)造保正交性的Gray映射,基于這類常循環(huán)自正交碼,構(gòu)造了參數(shù)更好的量子糾錯碼。