許 淼方一鳴 李建雄 趙曉東

(1.燕山大學(xué)工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北秦皇島 066004;2.燕山大學(xué)智能控制系統(tǒng)與智能裝備教育部工程研究中心,河北秦皇島 066004)

1 引言

與傳統(tǒng)大型航天器相比,一組小而經(jīng)濟(jì)的航天器具有更高的靈活性、更強(qiáng)的魯棒性和更低的成本[1–4].由于分布式合成孔徑雷達(dá)、三維立體成像等多航天器對(duì)地觀測任務(wù)需要各航天器指向地球上的特定位置,這就必須保證各航天器能跟蹤上預(yù)設(shè)的姿態(tài)軌跡[5].因此,多航天器協(xié)同控制技術(shù)作為對(duì)大型航天器技術(shù)的必要擴(kuò)展和補(bǔ)充,具有重要的研究價(jià)值.

滑?？刂谱鳛橐环N特殊的非線性控制,被應(yīng)用于多航天器姿態(tài)協(xié)同控制[6–8].滑模面可以獨(dú)立于參數(shù)和干擾進(jìn)行設(shè)計(jì),因此滑模控制具有響應(yīng)速度快、對(duì)參數(shù)變化和干擾不敏感、物理實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn).然而,傳統(tǒng)的滑?？刂茣?huì)產(chǎn)生影響系統(tǒng)性能的抖振.文獻(xiàn)[9]用“sigmoid”或者飽和函數(shù)代替不連續(xù)控制項(xiàng)來抑制抖振.然而,這種近似控制是以犧牲系統(tǒng)的性能為代價(jià).文獻(xiàn)[10–11]提出的super-twisting算法是一種典型的二階滑?？刂扑惴?該算法在保持傳統(tǒng)滑模魯棒性的同時(shí),可以提高系統(tǒng)的精度,削弱抖振的影響.文獻(xiàn)[12]基于齊次性方法設(shè)計(jì)了一個(gè)有限時(shí)間supertwisting 控制器,但不能計(jì)算系統(tǒng)的收斂時(shí)間.文獻(xiàn)[13]將Lyapunov方法應(yīng)用于不確定系統(tǒng)的super-twisting算法的性能分析,克服了收斂時(shí)間無法計(jì)算的問題.文獻(xiàn)[14]提出一種無模型自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階supertwisting滑?？刂苼韺?shí)現(xiàn)機(jī)器人在不確定性和外部干擾下的軌跡跟蹤問題.文獻(xiàn)[15]針對(duì)一類帶有非匹配干擾的非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)super-twisting滑模控制器,提高了系統(tǒng)的魯棒性.文獻(xiàn)[16]將supertwisting滑模與模糊系統(tǒng)相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種魯棒控制器,利用super-twisting滑模的概念來削弱抖振問題.

上述研究都是基于單輸入單輸出系統(tǒng),不適用于多輸入多輸出系統(tǒng).文獻(xiàn)[17–19]針對(duì)帶有未知干擾和不確定性的多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)控制問題,基于領(lǐng)導(dǎo)–跟隨結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了super-twisting滑?？刂破?在所設(shè)計(jì)的控制器下,系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)–跟隨誤差可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂.文獻(xiàn)[20]針對(duì)多機(jī)器人協(xié)調(diào)控制問題,提出了一種新的super-twisting神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其外部干擾抑制模型,以提高協(xié)調(diào)控制的有限時(shí)間收斂性和對(duì)外界干擾的魯棒性.上述文獻(xiàn)中,每個(gè)航天器的控制器設(shè)計(jì)都是基于各自的領(lǐng)導(dǎo)–跟隨誤差,并未考慮與鄰居的交互信息.并且當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者與第i個(gè)跟隨者之間沒有信息交互時(shí),該控制器的設(shè)計(jì)方法將不再適用.為了實(shí)現(xiàn)具有雙積分動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間編隊(duì)控制和目標(biāo)跟蹤,基于多輸入多輸出super-twisting算法,文獻(xiàn)[21]提出了一種由觀測器和非光滑反饋控制律組成的算法.在所設(shè)計(jì)的控制器下,系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂.然而,控制器設(shè)計(jì)是集中式的,集中控制方式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較為簡單,但由于控制器設(shè)計(jì)時(shí)需要系統(tǒng)的全局變量,因此,對(duì)系統(tǒng)的通訊要求較高.

此外,實(shí)際航天器系統(tǒng)中通常存在多種影響因素,包括由重力和太陽輻射等外作用力產(chǎn)生的干擾力矩以及執(zhí)行器故障等.這些干擾和故障會(huì)對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響.針對(duì)帶有外部干擾的一組航天器,文獻(xiàn)[28]提出了一種分布式自適應(yīng)姿態(tài)協(xié)同控制方案,由于采用有限時(shí)間控制方法,提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.本文針對(duì)存在外界干擾和執(zhí)行器故障的多航天器姿態(tài)分布式協(xié)同控制問題,設(shè)計(jì)了基于多航天器姿態(tài)一致性誤差的super-twisting分布式協(xié)同控制器.首先,對(duì)每個(gè)航天器設(shè)計(jì)有限時(shí)間自適應(yīng)滑模干擾觀測器來估計(jì)系統(tǒng)外界干擾和執(zhí)行器故障構(gòu)成的集總干擾.其次,將積分滑模與super-twisting算法相結(jié)合,提出一種分布式協(xié)同控制器.由于所設(shè)計(jì)的控制器不需要包含系統(tǒng)的全局信息,因此該控制器可以實(shí)現(xiàn)分布式控制.再次,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了多航天器姿態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).最后,仿真及對(duì)比結(jié)果表明,本文所提出的分布式控制器具有更快的收斂速度和更高的控制精度.

2 系統(tǒng)描述與控制問題提出

2.1 符號(hào)定義

給定向量x=[x1x2··· xn]T及常數(shù)α>0,定義sigα(x)=[|x1|αsgnx1|x2|αsgnx2··· |xn|αsgnxn]T,其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù).對(duì)于向量q=[q1q2q3]T,定義向量q的反對(duì)稱矩陣q×為

2.2 引理及定義

引理1[29]若在包含原點(diǎn)的鄰域?(? ?Rn)內(nèi),存在連續(xù)可微函數(shù)V(x)和實(shí)數(shù)l0>0,?>0,μ∈(0,1),對(duì)于滿足

V(x0)為V(x)的初始值,0<ρ≤1,0<ρ0<1.

引理2[23]若在包含原點(diǎn)的鄰域U(U ?Rn)內(nèi),存在連續(xù)可微函數(shù)V(x,t)和實(shí)數(shù)l1>0,l2>0,θ ∈(0,1),ξ >0,對(duì)于滿足:

V(x0,0)為V(x,t)的初始值,0<κ

引理3[24]對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m,n,w和實(shí)數(shù)變量φ和ψ,有如下不等式

2.3 通訊拓?fù)?/h3>

2.4 系統(tǒng)描述

本文采用修正的Rodrigues參數(shù)(MPRs)[26]來描述各航天器的剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng).第i(i=1,2,···,n)個(gè)航天器的動(dòng)力學(xué)方程如下

根據(jù)文獻(xiàn)[26],得到Euler-Lagrange形式的多航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下

由性質(zhì)1可知,Mi(qi)有界.根據(jù)di的定義,假設(shè)2是合理的.

本文的主要目的是設(shè)計(jì)分布式協(xié)同控制器uci(i=1,2,···,n),使得多航天器的姿態(tài)在具有外界干擾及執(zhí)行器故障的情況下,在有限時(shí)間內(nèi)快速跟蹤參考軌跡.

3 自適應(yīng)滑模干擾觀測器設(shè)計(jì)

為了估計(jì)系統(tǒng)的集總干擾di,本文使用了一個(gè)自適應(yīng)滑模干擾觀測器.

定義一個(gè)滑模面

定理1在假設(shè)2下,針對(duì)第i個(gè)航天器系統(tǒng)(6),在所設(shè)計(jì)的滑模干擾觀測器(8)及自適應(yīng)律(9)下,觀測誤差可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).

根據(jù)引理1,觀測誤差可以在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).

4 基于super-twisting和積分滑模面的分布式協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

定義一致性誤差

可以在有限時(shí)間內(nèi)有界穩(wěn)定.由于χ2可以在有限時(shí)間內(nèi)有界穩(wěn)定,故狀態(tài)χ1也可以在有限時(shí)間內(nèi)有界穩(wěn)定.即:多航天器的姿態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).

注1將文獻(xiàn)[22]中的滑模面

將第1項(xiàng)中的χi,2變?yōu)閤i,2,可以避免在控制器設(shè)計(jì)時(shí)引入全局的拉普拉斯矩陣H,從而實(shí)現(xiàn)了分布式控制.即:當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)航天器與第i個(gè)航天器有信息交互時(shí),第i個(gè)航天器僅根據(jù)自身信息、鄰居航天器的信息及領(lǐng)導(dǎo)航天器信息進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整.當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)航天器與第i個(gè)航天器沒有信息交互時(shí),第i個(gè)航天器僅根據(jù)自身信息及鄰居航天器的信息進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整.與集中式控制器相比,本文所設(shè)計(jì)的分布式控制器僅采用自身信息及鄰居航天器信息,具有更低的通訊要求和更高的靈活性.

注2由于引入super-twisting算法,加快了系統(tǒng)的收斂速度.控制器設(shè)計(jì)包含快速趨近律和指數(shù)趨近律Si兩部分.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面較遠(yuǎn)時(shí),指數(shù)趨近項(xiàng)Si保證系統(tǒng)的快速收斂.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面較近時(shí),快速趨近項(xiàng)保證系統(tǒng)的快速收斂.

5 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性,針對(duì)1個(gè)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和4個(gè)跟隨者的多航天器模型,將本文所提方法與文獻(xiàn)[28]方法進(jìn)行仿真對(duì)比研究.

4個(gè)跟隨者的慣性矩陣為

虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的姿態(tài)為q0=[0.5 0 0]T.系統(tǒng)的外部干擾為

執(zhí)行器故障的效率因子為

偏差故障為

其中? ∈[?1,1]為一個(gè)隨機(jī)數(shù).

自適應(yīng)滑模干擾觀測器參數(shù)選取ri=0.05,γi=0.5,ηi=0.1,?i,1=0.2.

控制器參數(shù)選取

圖1為多航天器的通訊拓?fù)鋱D.圖2為有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤曲線.qij和為第i個(gè)航天器的第j個(gè)姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù).圖2(a)–2(b)表示4個(gè)航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)的第1個(gè)狀態(tài).圖2(c)–2(d)表示4個(gè)航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)的第2個(gè)狀態(tài).圖2(e)–2(f)表示4個(gè)航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)的第3個(gè)狀態(tài).圖3表示了式(8)所示的系統(tǒng)在文獻(xiàn)[28]提出的控制器下4個(gè)航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)的有限時(shí)間跟蹤曲線.從圖2和圖3(a)–3(b)等可以看出多航天器的姿態(tài)可以在有限時(shí)間收斂到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài).

圖1 多航天器通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Communication topology of multi spacecraft

圖2 本文控制器下的多航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)跟蹤曲線Fig.2 Multi spacecraft attitude and its derivative tracking curve under this paper

將圖2和圖3做對(duì)比可以看出,本文提出的控制器具有更快的瞬態(tài)響應(yīng)和更強(qiáng)的魯棒性.在本文提出的控制器下,4個(gè)航天器姿態(tài)在5秒左右到達(dá)穩(wěn)定;而在文獻(xiàn)[28]提出的控制器下,4個(gè)航天器姿態(tài)在10 s左右到達(dá)穩(wěn)定.在文獻(xiàn)[28]提出的控制器下要達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)還需要多5 s的時(shí)間.與文獻(xiàn)[28]所設(shè)計(jì)的分布式有限時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制器相比,由于引入了super-twisting算法,本文提出的有限時(shí)間分布式協(xié)同控制器具有更快的收斂速度.從圖2和圖3對(duì)比可以看出,本文所提出的控制器具有更高的控制精度.

圖3 文獻(xiàn)[28]控制器下的多航天器姿態(tài)及其導(dǎo)數(shù)跟蹤曲線Fig.3 Multi spacecraft attitude and its derivative tracking curve under reference[28]

6 結(jié)論

本文研究了基于super-twisting算法和自適應(yīng)滑模干擾觀測器的多航天器姿態(tài)協(xié)同控制問題.首先,通過對(duì)每個(gè)航天器構(gòu)造自適應(yīng)滑模干擾觀測器來估計(jì)系統(tǒng)外界干擾及執(zhí)行器故障構(gòu)成的集總干擾;然后,基于多航天器姿態(tài)的一致性誤差將super-twisting算法與積分滑?？刂葡嘟Y(jié)合設(shè)計(jì)了分布式協(xié)同控制器,有效地避免了控制器設(shè)計(jì)中全局信息的引入,實(shí)現(xiàn)了分布式控制,簡化了控制器的設(shè)計(jì)過程;最后,通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了多航天器姿態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).通過仿真及對(duì)比,結(jié)果表明:本文所設(shè)計(jì)的控制器具有更快的收斂速度和更高的控制精度.