于軍琪,陳時羽,趙安軍 ,馮增喜,高之坤

(1.西安建筑科技大學(xué)建筑設(shè)備科學(xué)與工程學(xué)院,陜西西安 710055;2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,陜西西安 710055)

1 引言

多冷水機組系統(tǒng)的運行能耗約占中央空調(diào)系統(tǒng)總能耗的60%,其運行效率對中央空調(diào)系統(tǒng)的整體節(jié)能將會有較大影響.如何提高多冷水機組系統(tǒng)的運行效率是當(dāng)代建筑節(jié)能的重要課題之一[1].多冷水機組系統(tǒng)由不同性能和容量的冷水機組組成[2].在滿足負荷需求的前提下,各冷水機組部分負荷率(part load rate,PLR)的最優(yōu)組合可以使空調(diào)系統(tǒng)運行能耗最低.因此,在不同負荷需求下,如何解決冷水機組負荷優(yōu)化分配(optimal chiller loading,OCL)問題以達到系統(tǒng)節(jié)能的目的,已經(jīng)引起了當(dāng)今研究人員的廣泛關(guān)注.

早期的大多數(shù)研究工作主要致力于采用不同的精確算法來解決OCL問題.Braun等人[3]最早采用拉格朗日法(Lagrange method,LM)求解中央空調(diào)冷水機組經(jīng)濟調(diào)度問題(economic dispatch of chillers problem,EDCP).在此基礎(chǔ)上,Chang[4]采用LM對冷水機組負荷優(yōu)化分配(OCL)問題進行求解,但該算法在系統(tǒng)冷量需求低時不能收斂.Chang[5]提出了一種梯度法(gradient method,GM)來解決該問題,指出GM克服了LM只能在高需求下收斂的局限性,但其求解精度略低于LM.為了消除LM的局限性并尋求更高精度數(shù)值解,一系列元啟發(fā)式算法相繼被應(yīng)用于求解該類優(yōu)化問題.Chang[6–7]分別將遺傳算法(genetic algorithm,GA)和模擬退火(simulated annealing,SA)應(yīng)用于多冷水機組系統(tǒng)的負荷優(yōu)化分配問題上,GA算法和SA方法都能夠克服LM的弊端,但GA算法增加了系統(tǒng)的能耗,而SA能進一步找到解決OCL問題的更優(yōu)解.此外,粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[8]、差分進化算法(differential evolution,DE)、改進螢火蟲算法(improved firefly algorithm,IFA)[2]、差分布谷鳥搜索算法(differential cuckoo search algorithm,DCSA)[9]、基于教與學(xué)的算法(teaching-learning-based optimization,TLBO)[10]、紋波蜂群優(yōu)化(improved ripple bee swarm optimization,RBSO)[11–12]、改進入侵雜草優(yōu)化算法(improved invasive weed optimization,EIWO)[13]、改進人工魚群算法(improved artificial fish swarm algorithm,VAFSA)[14]都被應(yīng)用于冷水機組負荷優(yōu)化分配問題,均能克服LM在低負荷需求下出現(xiàn)的算法發(fā)散問題,取得較好的節(jié)能效果.

上述優(yōu)化算法均基于集中式控制系統(tǒng)架構(gòu),在實際工程中需逐例進行算法設(shè)計,計算時需要收集全局信息,對中央控制器的性能有很高的要求,一旦中央處理器發(fā)生故障,整個控制系統(tǒng)將處于癱瘓狀態(tài),高昂的計算成本和通信代價嚴重阻礙了這些算法在實際工程中的大規(guī)模應(yīng)用.

與集中式系統(tǒng)架構(gòu)不同,分布式優(yōu)化框架中無需任何中心節(jié)點,與問題相關(guān)的節(jié)點數(shù)據(jù)分布存儲在各個節(jié)點中,同時每個節(jié)點只與其鄰居節(jié)點進行局部信息交換,分布式計算單元將取代中央控制器分擔(dān)沉重的計算負荷,減輕網(wǎng)絡(luò)的通信代價,提高整體計算效率.在實際應(yīng)用中,分布式優(yōu)化框架由于其可擴展性和分布式的優(yōu)點,可以很自然地與大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)或復(fù)雜系統(tǒng)集成.因此,分布式優(yōu)化算法具有較強的魯棒性和靈活性,能夠更好地適應(yīng)多代理結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)[15].目前,存在一些暖通空調(diào)系統(tǒng)分布式優(yōu)化控制方法[16–18],需要一個主協(xié)調(diào)器代理進行集中式計算,計算后將子任務(wù)分配給次級控制器,以此實現(xiàn)分布式優(yōu)化控制,如文獻[18]建立了以能耗最小為目標(biāo)的空調(diào)系統(tǒng)總體控制全局優(yōu)化模型,采用適合于求解高維度優(yōu)化問題的分解–協(xié)調(diào)法,獲得了比直接搜索法更高的計算效率.文獻[16]針對OCL問題提出的分布式分布混沌估計算法(distributed chaotic estimation of distribution algorithm,DCEDA),比集中式控制算法獲得了更好的節(jié)能效果,但仍然需要一個主協(xié)調(diào)器進行計算,不能實現(xiàn)完全分布式優(yōu)化控制.

清華大學(xué)建筑節(jié)能研究中心設(shè)計出一種基于分布式計算框架的無中心、扁平化的智能建筑自動化控制系統(tǒng),稱為群智能系統(tǒng)[19].此系統(tǒng)無需協(xié)調(diào)器,各節(jié)點自組織、自協(xié)調(diào)實現(xiàn)分布式優(yōu)化計算[20].其中,計算節(jié)點(computing processing node,CPN)是該系統(tǒng)架構(gòu)中的關(guān)鍵設(shè)備,也是構(gòu)成并行計算網(wǎng)絡(luò)骨架的硬件節(jié)點,其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.每臺CPN中都有一臺微處理器,以儲存本地和相鄰CPN數(shù)據(jù)信息,相鄰CPN之間通過數(shù)據(jù)接口進行有線數(shù)據(jù)交互,形成網(wǎng)絡(luò)并行計算模式.此外,每臺CPN設(shè)置了驅(qū)動單元(drive control unit,DCU)通信接口,以支持多種通信方式.

圖1 CPN節(jié)點結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of CPN node

目前已有一些學(xué)者基于此平臺進行了研究.Wang等人[21]針對并聯(lián)水泵的優(yōu)化問題,提出了一種基于局部交互博弈的分布式優(yōu)化算法進行求解;Dai 等人[22]提出了一種適用于并聯(lián)水泵和冷水機組優(yōu)化運行的分布式優(yōu)化控制算法,并且基于群智能平臺對算法進行有效性驗證,結(jié)果表明,與傳統(tǒng)集中式控制方法相比,基于群智能系統(tǒng)平臺的分布式控制方法系統(tǒng)能效有所提升,但是,關(guān)于多冷水機組系統(tǒng)的節(jié)能研究還有較大提升空間.

Liu等人[23]針對中央空調(diào)系統(tǒng)全局優(yōu)化問題,提出了一種基于罰函數(shù)方法的分散式優(yōu)化算法,首先采用變量分裂法實現(xiàn)變量的解耦,再通過罰函數(shù)方法將原優(yōu)化問題分解為多個子優(yōu)化問題,最后各設(shè)備僅通過與鄰居設(shè)備的通信和求解子優(yōu)化問題來獲得整個優(yōu)化問題的最優(yōu)解.然而,中央空調(diào)系統(tǒng)中解耦的多冷水機組負荷分配問題,在分布式計算中通常屬于兩塊及兩塊以上(N–Block,N≥2)的典型優(yōu)化分配問題,常規(guī)分布式算法在求解該類問題時通常難以收斂,這成為基于群智能系統(tǒng)求解OCL問題的研究難點.

交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers,ADMM)是一種被廣泛應(yīng)用于解決分布式框架優(yōu)化問題的方法,首次由Stephen Boyd等[24]于2010年引入分布式優(yōu)化問題中,運用在統(tǒng)計學(xué)和機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域.目前,ADMM在智能電力網(wǎng)絡(luò)、傳感器網(wǎng)絡(luò)和計算機通信網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域已經(jīng)取得了很大的成功[25–30].ADMM 有效地結(jié)合了對偶上升法(dual ascent)的可分解性和拉格朗日乘數(shù)法(Lagrange multiplier method)的收斂性,能夠?qū)⒃緩?fù)雜的高維度問題轉(zhuǎn)化為兩個子問題分別進行求解,并且具有較好的收斂性[24,31].將ADMM推廣至多塊的優(yōu)化問題上是非常合乎需要的,在很多大規(guī)模分布式網(wǎng)絡(luò)和多智能節(jié)點系統(tǒng)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域具有巨大應(yīng)用價值.然而,Chen等人[32]通過反例證明了多塊ADMM的直接推廣不一定保證收斂.He等人[33–34]引入高斯回代校正步驟(Gaussian back substitution procedure,GBS)生成新的迭代來保證多塊ADMM算法的收斂性.ADMM–GBS將原本復(fù)雜的高維度問題分而治之,劃分為3個及以上低維度子問題,非常適用于解決基于分布式優(yōu)化框架的問題[29,34],同樣適合作為分布式優(yōu)化算法求解基于群智能系統(tǒng)的OCL問題,求解多塊優(yōu)化問題的收斂性將得到保證.然而,ADMM–GBS 需要采用遞減步長來保證精確收斂到最優(yōu)解,其收斂速度十分依賴于具體參數(shù)的選擇,算法的快速收斂性難以保證.

針對上述問題,文中提出了一種基于高斯罰函數(shù)的改進交替方向乘子法(ADMM–GPF–GBS),以增強算法的尋優(yōu)能力與收斂速度,從而實現(xiàn)群智能系統(tǒng)下多冷水機組負荷分配的完全分布式優(yōu)化控制.本研究主要貢獻在于:1)以滿足一定約束條件的總能耗最小為目標(biāo),將ADMM首次引入求解冷水機組負荷優(yōu)化分配問題;2)所提ADMM–GPF–GBS 在保留ADMM–GBS框架的基礎(chǔ)上,采用高斯模型改進罰函數(shù)實現(xiàn)非線性變化遞減,取得了更好的計算效果和收斂速度;3)基于兩個典型算例和群智能系統(tǒng)仿真實驗,驗證了所提方法在計算效果、收斂特性和魯棒性能等方面的有效性和合理性,以及與群智能系統(tǒng)的適配性.

2 中央空調(diào)冷水機組群智能優(yōu)化控制問題

中央空調(diào)系統(tǒng)是一種高度復(fù)雜且非線性的多設(shè)備系統(tǒng),其中,冷水機組系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)包括冷水機組、泵和冷卻塔.傳統(tǒng)自控系統(tǒng)中,各類機電設(shè)備通過現(xiàn)場總線的形式與中央控制器相連,以建立相互通信的關(guān)系,如圖2所示.

圖2 集中式控制系統(tǒng)架構(gòu)Fig.2 Centralized control system architecture

中央空調(diào)系統(tǒng)中典型OCL問題的優(yōu)化目標(biāo)通常為冷水機組的功率消耗,具體而言,是在找尋一組不超過運行限制條件的冷水機組部分負荷率(PLR),以最低冷水機組運行功耗滿足中央空調(diào)末端冷負荷需求,達到節(jié)能減排的目的.由于冷水機組的功率Pchiller與PLR相關(guān),所以Pchiller通常擬合成的多項式形式,可以表示為如下凸函數(shù)[7]:

式中a,b,c,d為冷水機組的性能系數(shù).由于冷水機組的最大出力是其設(shè)計容量,將PLR值的上限設(shè)置為1.0.若冷水機組出力過低,則會出現(xiàn)運行不穩(wěn)定的情況,因而將PLR值的下限設(shè)置為0.3.因此,并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)負荷優(yōu)化分配的目標(biāo)函數(shù)和約束條件如式(2)所示.

式中:Ptotal為并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)的總能耗,PLRi為第i臺冷水機組的部分負荷率,為第i臺冷水機組的額定制冷量,Qneed為系統(tǒng)末端負荷需求,N為并聯(lián)冷水機組的臺數(shù).上述數(shù)學(xué)模型建立在集中式架構(gòu)下,要求中央處理器具有全部系統(tǒng)信息.不同于集中式控制系統(tǒng)架構(gòu),在圖3所示的群智能控制系統(tǒng)架構(gòu)中,冷水機組等機電設(shè)備在出廠之前,通過內(nèi)置CPN升級為智能機電設(shè)備.在現(xiàn)場安裝過程中,根據(jù)實際的物理拓撲,只需將所有CPN通過數(shù)據(jù)線連接起來,即可組成群智能控制系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò).網(wǎng)絡(luò)中的每個控制器節(jié)點都具有平等的地位,能夠隨時加入和退出網(wǎng)絡(luò),即插即用,即聯(lián)即通.群智能控制系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓撲搭建完成后,將相同的分布式優(yōu)化算法下載到所有CPN中,通過相鄰CPN間局部通信的方式進行全局協(xié)調(diào)優(yōu)化控制,從而滿足系統(tǒng)的控制要求.因此,群智能控制系統(tǒng)架構(gòu)下,無需復(fù)雜的系統(tǒng)建模和算法開發(fā),大大簡化了控制網(wǎng)絡(luò)拓撲的現(xiàn)場配置,系統(tǒng)具有更強的靈活性和擴展性;“去中心”的分布式優(yōu)化計算架構(gòu)不存在單點故障問題,控制網(wǎng)絡(luò)的魯棒性也得以提高.因此,這種群智能控制系統(tǒng)架構(gòu)是一種工程布置快、專業(yè)門檻低的控制架構(gòu),更符合中央空調(diào)控制系統(tǒng)的發(fā)展方向.

圖3 群智能控制系統(tǒng)架構(gòu)Fig.3 Swarm intelligent control system architecture

在分布式優(yōu)化框架中,每一臺更新的智能冷水機組設(shè)備無需獲取全局信息,僅僅基于本地和相鄰節(jié)點信息即可完成冷水機組最優(yōu)負荷分配任務(wù).此時,每個智能冷水機組都將被拆分為一個集中式子模型,每臺冷水機組的處理器都內(nèi)置完全一致的分布式算法,其中,每一個冷水機組控制器中的優(yōu)化問題都是式(2)的次優(yōu)化問題,可定義為

式中Pi為第i臺冷水機組的能耗.式(3)為式(2)的一個子優(yōu)化模型,每臺冷水機組的子優(yōu)化模型及其能耗信息僅存儲于本地控制器節(jié)點中.因此,設(shè)計僅使用直接通信鏈路的機制,并通過控制器節(jié)點之間的局部信息交互來實現(xiàn)全局優(yōu)化,成為解決分布式優(yōu)化框架下多冷水機組負荷優(yōu)化分配問題的關(guān)鍵.文中引入ADMM對分布式優(yōu)化框架下的問題(3)進行求解.已知式(3)中存在非凸約束,ADMM直接求解非凸問題無法保證得到收斂解.因此,將約束松弛到目標(biāo)函數(shù)中,引入拉格朗日乘數(shù)和懲罰參數(shù)構(gòu)建增廣拉格朗日函數(shù),形成的凸優(yōu)化模型可以表示為

式中:Lρ為構(gòu)造的增廣拉格朗日函數(shù),λ為拉格朗日乘數(shù),ρ是懲罰參數(shù).懲罰函數(shù)是一個約束違背的度量,使得當(dāng)約束滿足時取零,約束違背時取非零.文中引入懲罰參數(shù)使解個體在尋優(yōu)過程中脫離不可行區(qū)域,同時,懲罰函數(shù)更新策略的改進將大大提高算法收斂速度并且改良計算效果.文中將在第3部分討論一種基于ADMM的懲罰函數(shù)的更新迭代策略.

3 多冷水機組負荷分配群智能優(yōu)化算法

3.1 ADMM–GBS算法

典型ADMM主要用來解決帶有線性等式約束的兩個目標(biāo)函數(shù)之和最小化問題,且在兩個可分離算子下具有較好收斂性[31–32].針對分布式優(yōu)化框架下的多冷水機組系統(tǒng),文中考慮具有m(m≥3)個可分離算子的凸優(yōu)化問題(5),目標(biāo)為m個可分凸函數(shù)之和.

式中:χi ?Rni為凸集,b∈Rl,Ai ∈Rl×ni,Pi:Rni →(?∞,+∞]是下半連續(xù)真凸函數(shù).假設(shè)式(5)的解集為非空,其構(gòu)建的增廣拉格朗日函數(shù)可以表示為

式中:λ ∈Rl為拉格朗日乘數(shù),ρ>0是懲罰參數(shù).

ADMM的m(m≥3)個可分離算子算法的直接推廣形式表示如下:

其中α0稱為迭代步長.

已知ADMM在兩個以上可分離算子問題上不具有收斂性[32],需要通過引入高斯回代校正步驟(GBS)生成新的迭代[33],來校正式(7)的輸出,以確保ADMM算法在兩個以上可分離算子問題上的收斂性.

式中:α為校正因子,α ∈(0.5,1).

3.2 高斯罰函數(shù)改進ADMM–GBS算法

ADMM–GBS算法中懲罰參數(shù)ρ的選取對收斂速度有較大的影響,其選取不當(dāng)可能導(dǎo)致原始殘差及對偶殘差中某一項收斂速度遠慢于另一項,延長算法的計算時間.因此,改進懲罰參數(shù)對于改善ADMM–GBS迭代算法收斂速度有重要意義.

式(10)是一個典型的高斯函數(shù)(Gaussian function),圖4所示的為一個含雙變量的高斯函數(shù)分布圖,從圖中可以反映出高斯函數(shù)有如下特點:函數(shù)值隨矢量x=(x1,x2)離中心點的距離增加而迅速下降為零.

圖4 含雙變量的高斯函數(shù)圖像Fig.4 Image of Gaussian function with two variables

若令

則在x=e的鄰域內(nèi),由于疊加了高斯函數(shù)G(x)的作用,F(x)的函數(shù)性質(zhì)與f(x)相差很大,F(x)明顯高于f(x);而在離x=e較遠的區(qū)域,G(x)迅速下降為零,對F(x)函數(shù)的性質(zhì)幾乎不起作用,F(x)與f(x)基本重合[35].相對而言,在ADMM算法優(yōu)化開始時,可行解不多,罰函數(shù)應(yīng)該為一個較大的值,可使搜索過程盡快進入可行區(qū)域中;隨著算法演化的進行,罰函數(shù)應(yīng)該相應(yīng)減小,這將使搜索過程從約束條件轉(zhuǎn)向優(yōu)化對象能耗值,同時也可讓可行域附近的解相互競爭,提高算法穩(wěn)定性.由以上分析可得,ADMM的罰函數(shù)優(yōu)化迭代近似為一個非線性遞減過程,與高斯函數(shù)特點相吻合.

文中在ADMM–GBS基礎(chǔ)上提出一種加速罰函數(shù)更新策略,將高斯函數(shù)(12)引入到式(6)增廣拉格朗日函數(shù)中的二次罰函數(shù)中.由此,得到一種基于高斯罰函數(shù)非線性遞減策略的快速ADMM–GBS方法(ADMM–GPF–GBS),其中,帶高斯罰函數(shù)項的增廣拉格朗日式如式(13)所示:

式中:ρ(t)為高斯罰函數(shù),β為懲罰系數(shù),σ為鄰域大小因子,ν為鄰域中心,t ∈[νd,+∞),νd為常數(shù).

高斯罰函數(shù)ρ(t)中,參數(shù)ν的取值決定了懲罰區(qū)域的位置,當(dāng)t ∈[νd,+∞)時,罰函數(shù)ρ(t)在迭代初期取值較大,而且遞減速度很快,迭代后期ρ(t)幾乎不變,表現(xiàn)出一定的局部特征.參數(shù)σ表征了懲罰區(qū)域的大小,取值不同得到不同下降效果,由圖5可見,罰函數(shù)ρ(t)的變化曲線近似服從正態(tài)分布,當(dāng)σ>0.25時,ρ(t)在整個迭代過程中的變化相對平緩;當(dāng)σ <0.25時,ρ(t)在迭代初期取值較大,而且遞減的速度很快,迭代后期ρ(t)幾乎不變,表現(xiàn)出一定的局部特性.為利用ρ(t)的這一特性,文中將參數(shù)σ的取值設(shè)定為[0.05,0.25].

圖5 ν=0.5,β=0.5時的取值對罰函數(shù)的影響Fig.5 The influence of the value of on the penalty function ρ(t)at ν=0.5 and β=0.5

此外,懲罰系數(shù)β越大,懲罰項的作用越大.β的增大有利于將目標(biāo)函數(shù)的極小值點懲罰至邊界的整數(shù)解附近.另一方面,β取值過大會導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生新的局部極小值點,導(dǎo)致求解算法容易陷入局部極小值點,因此取值應(yīng)適中.文中將在參數(shù)測試部分討論高斯罰函數(shù)參數(shù)的取值對算法性能的影響.

與原始增廣拉格朗日函數(shù)中的非連續(xù)二次罰函數(shù)相比,高斯罰函數(shù)不僅具有連續(xù)可微的優(yōu)良性質(zhì),還具有快速下降為零的特點,且對于中心點周圍函數(shù)值沒有影響,有利于尋優(yōu).ADMM–GPF–GBS算法(后簡稱為ADMGG)相比較ADMM–GBS算法在多塊凸優(yōu)化問題中的應(yīng)用,其在計算速度和精確度方面有明顯優(yōu)勢.

3.3 基于ADMGG算法的冷水機組負荷優(yōu)化分配

基于上述算法,文中建立了一種ADMGG 雙層分布式計算框架.首先,由ADMM–GPF 預(yù)測層求解OCL問題最優(yōu)解的預(yù)測項;其次,由GBS校正層進行高斯回代校正預(yù)測項,保證算法的收斂性和優(yōu)化結(jié)果的精確性.基于ADMGG雙層分布式計算框架的多冷水機組群智能控制系統(tǒng)CPN通信機制如圖6所示.其中Φk+1為節(jié)點間負責(zé)信息傳遞的邊界矩陣,存在于每一臺冷水機組CPN節(jié)點中,用于存儲各設(shè)備的算子變量,標(biāo)準ADMM的算子變量為冷水機組部分負荷率PLR和拉格朗日乘數(shù)λ,算法改進后ADMGG的算子變量需增加高斯罰函數(shù)ρ.

圖6 中每個圓形節(jié)點看作一個冷水機組設(shè)備CPN 節(jié)點xi(i=1,2,···,n),定義冷機CPN 節(jié)點xi中有邊界矩陣,且

各冷水機組CPN節(jié)點邊界矩陣Φk+1初始值相等,當(dāng)節(jié)點算子進行更新迭代時,同時更新邊界矩陣Φk+1中相對應(yīng)的算子,隨后,節(jié)點xi將更新后的邊界矩陣傳遞給節(jié)點xi+1,與此同時,節(jié)點xi+1更新迭代邊界矩陣的值,繼續(xù)進行子問題優(yōu)化求解.圖6中步驟(1)為ADMGG中的ADMM–GPF預(yù)測層,從冷水機組CPN節(jié)點x1開始獨立求解本地子優(yōu)化問題,更新邊界矩陣,并以正向順序傳遞邊界矩陣(x1→x2→···→xn)至下一個設(shè)備節(jié)點xn進行迭代更新,直至節(jié)點完成子問題優(yōu)化求解;圖6中步驟(2)為ADMGG中的GBS 校正層,從節(jié)點xn開始以(xn →xn?1→···→x2→x1)反向順序校正各冷水機組節(jié)點邊界矩陣中的預(yù)測項,并更新邊界矩陣,直至節(jié)點xn完成邊界矩陣的校正.

圖6 基于ADMM–GPF–GBS雙層分布式計算框架多冷水機組節(jié)點通信流程Fig.6 Node communication flow of multi-chillers based on ADMM–GPF–GBS double-layer distributed computing framework

基于ADMGG雙層分布式計算框架的冷機負荷優(yōu)化分配流程如圖7所示,針對N(N≥3)臺并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)的負荷優(yōu)化分配問題,其算法步驟如下.

圖7 基于ADMGG雙層分布式計算框架的冷機負荷優(yōu)化分配流程圖Fig.7 Algorithm flow of optimal chiller loading based on ADMGG double-layer distributed computing framework

3.3.1 算法初始化

首先,將等式約束松弛到目標(biāo)函數(shù)中,建立N臺并聯(lián)冷水機組的增廣拉格朗日函數(shù)(14),每臺冷水機組設(shè)備的功率分別作為一個子優(yōu)化問題Pi(PLRi)(i=1,2,···,N).

其中:各冷機節(jié)點初始值PLRi,0=0,拉格朗日乘數(shù)初始值ρ0=1,高斯罰函數(shù)初始值ρ0=0.5.

3.3.2 ADMM正向預(yù)測

使用ADMGG中的ADMM–GPF預(yù)測層正向求解冷水機組節(jié)點子優(yōu)化問題,N臺冷水機組設(shè)備算子進行交替方向乘子法的迭代步驟如式(15)所示.其中,對增廣拉格朗日函數(shù)(14)進行解耦,得到冷水機組x1至冷水機組xn共N個節(jié)點子優(yōu)化問題的增廣拉格朗日函數(shù)如式(16)所示:

3.3.3 ADMGG反向矯正

使用ADMGG中的GBS校正層反向校正ADMM–GPF預(yù)測項.式(17)為N臺冷水機組設(shè)備算子進行高斯回代、校正預(yù)測值的步驟.

3.3.4 迭代停止條件

ADMGG的原始殘差體現(xiàn)了模型的不可行度,對偶殘差則可用于判斷迭代是否收斂至最優(yōu)解,兩者的變化趨勢反映算法的收斂特性.由文獻[26]可知,式(18)為對偶殘差和原始殘差的計算

由式(19)確定是否滿足停止準則.若計算結(jié)果滿足停止準則,則各冷水機組設(shè)備為當(dāng)前控制器本地存儲的最新部分負荷率PLRi和功率Pi(PLRi)(i=1,2,···,N),以及系統(tǒng)總功率值Ptotal;若計算結(jié)果不滿足停止準則,轉(zhuǎn)到式(15)繼續(xù)進一步迭代,直至滿足停止條件,求出各冷水機組部分負荷率PLRi、功率Pi(PLRi)以及系統(tǒng)總功率值Ptotal,并輸出優(yōu)化結(jié)果

式中:Epri為原始殘差允許的偏差范圍,Edual為對偶殘差允許的偏差范圍.

4 算例分析

4.1 算例研究

文中選取兩個典型的并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)算例,驗證分析所提算法求解OCL問題的能力.算例1[2–4,6–14]是由3個制冷量為800 RT 的冷水機組組成的并聯(lián)冷水機組系統(tǒng),算例2的并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)由4臺制冷量1280 RT 和兩臺制冷量1250 RT 的冷水機組組成[2,6–7,10,12–14],兩個算例中的多冷水機組系統(tǒng)均位于臺灣新洲科學(xué)園區(qū)的半導(dǎo)體工廠[8].算例中,各冷水機組由于長時間運行,其設(shè)計溫度、流量存在差異,導(dǎo)致冷水機組的特性曲線并不相同,各冷水機組的性能參數(shù)如表1所示.Chang[8]等人最初提出該系統(tǒng),并基于算例1、算例2先后對GA[6],LM[5]等算法的優(yōu)化能力進行測試;近年來,這些算例相繼被學(xué)者用于測試PSO[8],DCSA[9],EIWO[13]和DCEDA[16]等優(yōu)化算法求解OCL問題的能力.

表1 并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)中各設(shè)備性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of each chiller in multi-chiller systems

4.2 參數(shù)測試

為了找到ADMGG在求解多冷水機組系統(tǒng)負荷優(yōu)化分配問題時的最佳參數(shù),文中進行了大量的參數(shù)計算實驗.選取算例1 中末端負荷需求為2160RT 和960RT、算例2 中末端負荷需求為6858RT和5334RT這4種工況進行算法參數(shù)分析實驗.

文中選取高斯罰函數(shù)鄰域中心νd=0.5,分別對懲罰參數(shù)β和鄰域大小因子σ進行最佳參數(shù)測試.首先,固定νd=0.5,σ=0.25,改變β的取值來求解算例2中末端負荷需求為5334RT的優(yōu)化結(jié)果,由圖8可得算法的收斂迭代次數(shù)與懲罰參數(shù)β的變化曲線,β取值的過大或過小,都會造成迭代次數(shù)的增加,且當(dāng)β=0.5時,算法獲得最快收斂速度,因此,文中將懲罰參數(shù)β的取值設(shè)定為0.5.

圖8 當(dāng)νd=0.5,β=0.25時懲罰參數(shù)β對求解結(jié)果收斂迭代次數(shù)的影響Fig.8 The influence of penalty parameter β on the number of convergent iterations of the solution when νd=0.5,β=0.25

其次,固定νd=0.5,β=0.5,選擇高斯罰函數(shù)(11)中合適的σ值(σ的取值范圍為[0.05,0.25]).采用ADMGG分別優(yōu)化上述4個算例,所得最優(yōu)適值(best)和迭代次數(shù)(Iter)如表2所示.比較4組優(yōu)化結(jié)果可以看出,當(dāng)σ=0.10時,該算法的總體優(yōu)化結(jié)果較小,為獲得較好的性能,文中將σ值取為0.1.

表2 參數(shù)σ取不同值時ADMGG的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of ADMGG with different values of parameter σ

確定高斯罰函數(shù)參數(shù)設(shè)定值之后,進行30次獨立運行,得到不同算法參數(shù)組的優(yōu)化結(jié)果如表3所示.

表3 4種工況下算法參數(shù)實驗結(jié)果Table 3 Experimental results of different algorithm parameters under four operating conditions

在4個實驗工況中,拉格朗日乘數(shù)λ0初始值為1.00,高斯罰函數(shù)初始值ρ0為0.50,校正因子α為1.00,迭代步長α0為1.00的算法參數(shù)組的性能最優(yōu),因此將該最佳參數(shù)組用于以下進一步的實驗分析過程.實驗中所使用的ADMGG的參數(shù)值如表4所示.

表4 算例研究中ADMGG參數(shù)設(shè)置Table 4 Setting of ADMGG parameters in the example

4.3 結(jié)果分析

本研究對每個實驗工況分別進行獨立實驗,將從收斂特性、計算效果和魯棒性能3個方面對所提算法的優(yōu)化性能進行分析.首先,分別進行兩個工況下標(biāo)準ADMM,ADMM–GBS,LM[9]和ADMGG收斂性的對比分析實驗;其次進行計算效果分析實驗,將算例1該算法的優(yōu)化結(jié)果與集中式架構(gòu)下的GA[6],LM[9]和分布式優(yōu)化框架下的ADMM–GBS,DCEDA[16]算法進行對比,如表5所示.

表5 算例1中GA,LM,DCEDA,ADMGG結(jié)果對比Table 5 Comparison of the results of GA,LM,DCEDA and ADMGG in example 1

將算例2 的優(yōu)化結(jié)果與集中式架構(gòu)下的GA[6],PSO[8]和分布式優(yōu)化框架下的ADMM–GBS,DCEDA[19]算法優(yōu)化結(jié)果進行對比,如表6所示;最后,對于該算法的魯棒性能作以分析說明.

表6 算例2中GA,PSO,DCEDA,ADMGG結(jié)果對比Table 6 Comparison of the results of GA,PSO,DCEDA and ADMGG in example 2

4.3.1 收斂特性分析

在收斂特性方面,兩個算例研究中ADMGG的部分負荷率PLR的迭代收斂曲線圖分別如圖9–10所示.圖9為算例1中3臺冷水機組在負荷需求為80%的情況下,算法在3代內(nèi)快速收斂至最優(yōu)解,振蕩過程較短;圖10為算例2中6臺冷水機組在負荷需求為80%的情況下部分負荷率PLR的迭代收斂曲線圖,迭代過程中每臺冷水機組的PLR值振蕩時間較短,算法僅在5–6代完成了迭代過程,振蕩幅值較小.

圖9 算例1 80%負荷需求冷水機組PLR迭代變化Fig.9 PLR iterative variation of chillers with 80%load demand in example 1

圖10 算例2 80%負荷需求冷水機組PLR迭代變化Fig.10 PLR iterative variation of chillers with 80%load demand in example 2

文中對ADMGG與直接推廣的ADMM,ADMM–GBS,LM算法的收斂性進行了進一步的對比,來驗證所提算法在收斂特性上的優(yōu)勢,4種算法所得結(jié)果與負荷需求量的原始殘差變化曲線如圖11–12所示.在收斂精度Edual=0.001,Epri=0.0001的限制下,算例1中需求量為1920RT時,集中架構(gòu)下的LM在第13代達到收斂,而ADMGG在第8代即可完成收斂,相比同樣為分布優(yōu)化框架下的ADMM–GBS,ADMM,所提算法可以在更短的時間內(nèi)使殘差快速收斂為零;在算例2中需求量為6096RT時,ADMGG算法在第7次迭代完成時,殘差已達到收斂條件,而ADMM算法的殘差無法收斂.可見在3塊及以上OCL問題的求解上,直接推廣的標(biāo)準ADMM不一定收斂,而所提算法有較好的收斂特性和收斂速度.

圖11 算例1ADMGG、ADMM–GBS、ADMM、LM 4種算法下原始殘差迭代收斂圖Fig.11 The iterative convergence diagram of the original residual under the four algorithms of ADMGG,ADMM–GBS,ADMM and LM in example 1

圖12 算例2ADMGG、ADMM–GBS、ADMM、LM 4種算法下原始殘差迭代收斂圖Fig.12 The iterative convergence diagram of the original residual under the four algorithms of ADMGG,ADMM–GBS,ADMM and LM in example 2

4.3.2 計算效果分析

在計算效果方面,在算例1中,與集中式架構(gòu)下的GA算法相比,ADMGG在不同負荷需求下可以節(jié)能2.82～149.93 kW,如表5所示.此外,當(dāng)負荷需求低于1440 RT 時,ADMGG 所得到的運行策略比GA算法節(jié)能超過100 kW.另外,ADMGG的計算結(jié)果與集中式架構(gòu)下的LM相比,在1440 RT負荷需求下可以節(jié)能108.66 kW.Chang在文獻[9]中提出,雖然LM方法得到了全局最優(yōu)解,但當(dāng)需求量低于50%時,就會出現(xiàn)不能收斂的問題,ADMGG解決了其不能收斂的問題,且獲得了最優(yōu)解;ADMGG的計算結(jié)果與分布式優(yōu)化框架下的DCEDA算法在各負荷需求下的計算結(jié)果一致.

在算例2中,與集中式架構(gòu)下的GA算法和PSO算法相比,ADMGG在不同負荷需求下可節(jié)能約0.95～159.79 kW,當(dāng)負荷需求小于5717 RT時,其節(jié)能效果尤為明顯,如表6所示.與分布式優(yōu)化框架下的DCEDA算法相比,當(dāng)負荷需求高于6096 RT時,算法所得優(yōu)化結(jié)果與DCEDA 算法相一致;且當(dāng)負荷求小于5717 RT時,ADMGG 獲得了比DCEDA算法節(jié)能約0.05～0.25 kW的全局最優(yōu)解.為了進一步驗證ADMGG算法相對于DCEDA算法的優(yōu)勢,文中采用迭代次數(shù)(Iter)、累計時間(Time)和精度(Acc)作為評估標(biāo)準來檢驗計算復(fù)雜度.如表7所示,由4次實驗結(jié)果可得,ADMGG算法在迭代次數(shù)和累計時間上都明顯快于DCEDA 算法,并且能夠保持最優(yōu)的精度,充分展現(xiàn)出所提算法求解并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)負荷優(yōu)化分配問題時在計算復(fù)雜度方面的優(yōu)勢.

表7 ADMGG和DCEDA的算法計算復(fù)雜度比較Table 7 Comparison of computational complexity between ADMGG algorithm and DCEDA algorithm

4.3.3 魯棒性能分析

為找到ADMGG在求解OCL問題時的最佳參數(shù),文中對拉格朗日乘數(shù)初始值、高斯罰函數(shù)初始值、校正因子這3個參數(shù)進行了大量的參數(shù)計算實驗,得到了不同算法參數(shù)組的優(yōu)化結(jié)果,如表3所示.其中,拉格朗日乘數(shù)的偏差在1,校正因子的最大偏差在0.2,高斯罰函數(shù)初始值的偏差在0.3,算例1所得算法結(jié)果的最大偏差在0.1,算例2算法結(jié)果的最大偏差在0.04.因此,實驗結(jié)果表明,同一實驗工況下不同參數(shù)組的優(yōu)化結(jié)果幾乎相同,相同參數(shù)組下優(yōu)化結(jié)果的最終值相同.這說明ADMGG擁有精確算法良好的魯棒性和較強的穩(wěn)定性.故綜合考慮算法的計算效果、收斂特性和魯棒性能,可以得出所提算法在解決并聯(lián)冷水機組負荷分配問題上擁有精確算法的準確性、優(yōu)越的收斂性和良好的魯棒性,算法具備優(yōu)秀的綜合性能.

本節(jié)基于兩個典型算例,利用ADMGG雙層分布式計算框架對多冷水機組負荷分配問題進行MATLAB軟件仿真,并與其他算法優(yōu)化結(jié)果進行分析比較.下一節(jié),文中將該計算框架應(yīng)用于建筑群智能系統(tǒng)仿真平臺上進行硬件實驗,從而驗證ADMGG與分布式優(yōu)化框架的適配性.

5 群智能實驗系統(tǒng)與算法仿真

為進一步驗證算法在實際系統(tǒng)中的性能,將該計算框架應(yīng)用于建筑群智能系統(tǒng)仿真平臺上進行實驗.該平臺是一種半物理綜合仿真測試與驗證平臺,如圖13所示,包括了CPN的分布式控制系統(tǒng)和在PC端運行的仿真軟件,用于監(jiān)控每個智能節(jié)點的工作狀態(tài)并模擬終端系統(tǒng).在圖13的左側(cè),選中的每個CPN節(jié)點都被寫入冷水機組模型,每個CPN節(jié)點可以作為一個智能冷水機組來測試分布式優(yōu)化算法,CPN節(jié)點通過以太網(wǎng)通信接口與其相鄰節(jié)點相連,其CPN節(jié)點整體拓撲網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖14所示;圖13右側(cè)在PC端模擬終端系統(tǒng),開發(fā)了群智能仿真軟件來模擬冷水機組進出口溫度傳感器,通過數(shù)據(jù)線或是無線通信方式向CPN節(jié)點發(fā)送信號,也可以從每個CPN節(jié)點收集信息,從而監(jiān)控每個CPN節(jié)點的工作狀態(tài).

圖13 建筑群智能系統(tǒng)仿真實驗平臺Fig.13 The experimental platform of swarm intelligent building system

圖14 空調(diào)冷站系統(tǒng)CPN智能節(jié)點拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.14 Topological structure diagram of CPN intelligent node in air conditioning cold station system

已知文獻[22]在該實驗平臺利用傳統(tǒng)集中式控制方法和分布式優(yōu)化控制方法對4臺并聯(lián)冷水機組進行測試,該組多冷水機組系統(tǒng)包括3臺容量為544 RT的冷水機組1和一臺容量為300 RT的冷水機組2,其性能參數(shù)如表8所示.實驗中,常規(guī)集中式控制方法由系統(tǒng)負荷作為切換點來采用不同的分配策略,即系統(tǒng)負荷50%對應(yīng)于4臺運行冷水機組,40%對應(yīng)于3臺運行冷水機組,30%對應(yīng)于2臺運行冷水機組,在實際應(yīng)用中通過比較冷水機組的PLR和蒸發(fā)器出水溫度來確定冷水機組的臺數(shù).文獻[22]中所采用的分布式優(yōu)化控制方法通過交換相鄰冷水機組之間的冷卻負荷需求差值和相對效率,將每個冷水機組的工作點移至接近最高效率點,從找到一個最優(yōu)化的運行冷水機組臺數(shù)組合.

表8 并聯(lián)冷水機組系統(tǒng)中各設(shè)備性能參數(shù)Table 8 Performance parameters of each chiller in multi-chiller systems

為連續(xù)模擬多冷水機組群智能控制系統(tǒng),將冷水機組蒸發(fā)器出水溫度設(shè)定為7℃,進入冷凝器的水溫為30℃,各冷水機組的冷水流量恒為額定值.如實例研究所示,控制算法的輸入變量為終端冷水機組的總冷負荷需求.因此,在這個結(jié)合了多個單一案例研究的連續(xù)模擬中,采用了一天實際建筑物運行狀況下的典型制冷負荷變化曲線,設(shè)置控制周期為10 min,即控制算法每10 min運行一次,該冷水機組系統(tǒng)的工作時間為12小時,由此得到的冷負荷變化曲線包括72個工況.

文中將ADMGG雙層分布式計算框架應(yīng)用于群智能建筑自動化系統(tǒng)平臺上,與集中式控制方法、傳統(tǒng)分布式優(yōu)化算法進行對比,其結(jié)果如圖15所示.

圖15 冷水機組控制的連續(xù)仿真結(jié)果Fig.15 Continuous simulation results of multi-chiller systems control

優(yōu)化結(jié)果表明ADMGG優(yōu)化算法的功率整體略低于傳統(tǒng)分布式算法的功率.其中,ADMGG算法與傳統(tǒng)分布式算法的冷機臺數(shù)開啟狀況一致,在某些工況下,多冷水機組部分負荷率分配不同導(dǎo)致ADMGG算法與傳統(tǒng)分布式算法下冷機運行功耗不同.例如,在第38種工況下,ADMGG優(yōu)化算法的三大一小冷機部分負荷率分別為0.9864,0.9643,0.7432,0.7654,其冷機運行功率是964.7 kW,而傳統(tǒng)分布式算法和集中式控制方法的運行功率為984.2 kW.ADMGG算法相比于傳統(tǒng)分布式算法,冷機整體運行功率約降低2.81%,且每種工況下迭代過程的計算時間都小于1 s,可以快速滿足實際應(yīng)用中的控制要求.連續(xù)仿真結(jié)果表明,ADMGG算法是一種與群智能建筑自動化系統(tǒng)平臺匹配度很高的分布式優(yōu)化算法,比傳統(tǒng)分布式算法在計算效果方面更勝一籌.

6 結(jié)論

文中針對群智能控制系統(tǒng)中的多冷水機組負荷優(yōu)化分配(OCL)問題,提出一種高斯罰函數(shù)更新策略改進的交替方向乘子法(ADMGG),并建立了一種基于ADMM–GPF–GBS雙層分布式計算框架的冷水機組負荷優(yōu)化分配模型,這是首次將ADMM運用于求解中央空調(diào)系統(tǒng)OCL問題.

在此基礎(chǔ)上,文中基于OCL問題的兩個著名實例進行算法測試,并在群智能建筑自動化系統(tǒng)平臺上進行驗證.軟件測試中,與集中式框架下的精確型LM,元啟發(fā)式GA,PSO算法,以及分布式優(yōu)化框架下的DCEDA算法進行了比較.通過算法參數(shù)測試,確定了改進ADMGG在求解該負荷優(yōu)化分配問題時的最優(yōu)參數(shù).兩個算例的計算結(jié)果表明,ADMGG在解決OCL問題上不受多冷水機組系統(tǒng)規(guī)模大小的限制,具有優(yōu)于精確算法的通用性.相對于集中式LM,ADMGG最大的優(yōu)勢在于其能夠充分利用多冷水機組控制系統(tǒng)的可分解性,對目標(biāo)函數(shù)中的多變量進行交替優(yōu)化,具備更加優(yōu)越的尋優(yōu)能力和收斂能力;與元啟發(fā)式算法DCEDA相比,ADMGG擁有更簡單的計算復(fù)雜度,在優(yōu)化結(jié)果上能夠找到高精度更優(yōu)解;與ADMM–GBS相比,ADMGG算法具有更快的收斂速度.硬件平臺驗證中,ADMGG算法相比于傳統(tǒng)分布式算法,取得了更好的節(jié)能效果.

文中所提算法在保留分布式ADMM框架結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,采用高斯罰函數(shù)實現(xiàn)快速非線性變化遞減,取得了更好的搜索性能.此外,ADMGG雙層分布式計算框架是一種群智能系統(tǒng)平臺的新型計算架構(gòu),下一步的研究方向是將其用于求解整個中央空調(diào)系統(tǒng)的群智能優(yōu)化問題.