張婷

【摘要】數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，能夠幫助學(xué)生形成系統(tǒng)、科學(xué)的的思維和方法。高考題、競(jìng)賽題本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)史中的精典問題。所以我們?cè)诮虒W(xué)中重視題組式教學(xué)，深層研究它們的共性，不能把它們當(dāng)成一些孤立的問題，而應(yīng)該追根溯源。本文以兩個(gè)案例為例，從數(shù)學(xué)史的角度對(duì)數(shù)學(xué)問題的題根進(jìn)行探索，將問題串聯(lián)起來，由點(diǎn)及面，找到它們的本質(zhì)聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;題根;題組式教學(xué);高考

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值?！苯┠旮呖紡?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，而其中大多數(shù)內(nèi)容是以數(shù)學(xué)史為載體。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷程，它詮釋了數(shù)學(xué)科學(xué)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)不斷發(fā)展進(jìn)步的過程，蘊(yùn)含極大的文化價(jià)值。將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是新課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要突破，能夠幫助學(xué)生形成系統(tǒng)、科學(xué)的的思維和方法。

數(shù)學(xué)史，不應(yīng)該只是教學(xué)中的背景板。一線教師應(yīng)該熟悉數(shù)學(xué)史，挖掘數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的新的生長(zhǎng)點(diǎn)。在高考題中，并不是僅僅有以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，更多的高考題、競(jìng)賽題本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)史中的精典問題。研討、熟悉數(shù)學(xué)史可以高屋建瓴地深究某些數(shù)學(xué)問題的題根。倘若我們對(duì)數(shù)學(xué)史茫然不知，在數(shù)學(xué)探究中就很可能起點(diǎn)低、做無(wú)用功。我們通過數(shù)學(xué)史來研究題根題源就是登高而望遠(yuǎn)，站在巨人的肩膀上。所以我們?cè)诮虒W(xué)中重視題組式教學(xué)，深層研究它們的共性，不能把它們當(dāng)成一些孤立的問題，應(yīng)該追根溯源，對(duì)數(shù)學(xué)問題的題根進(jìn)行探索，將問題串聯(lián)起來，由點(diǎn)及面，找到它們的本質(zhì)聯(lián)系。

本文以兩個(gè)案例為例進(jìn)行探討研究.

案例1：阿波羅尼斯圓：

例1 （2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題）在△ABC中，AB=2， CA= ?2 ?CB，求△ABC面積的最大值.

常規(guī)解法：本題的常規(guī)解法是運(yùn)用解三角形的方法解題。

設(shè)BC=a，則AC= 2 a，利用余弦定理可求得cosB= ? ? ?，則cos2B= ? + ? - ? ?，則sin2B=1-cos2B= ? ?- ? ?- ? ?，再利用三角形面積公式S△ABC=a sinB，繼而可求S△ABC2=- ? （a2-12）2+8，當(dāng)a2=12，即a2=2 ? 3 ?時(shí)，S△ABC有最大值2 ?2 .

這種解法轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，其中由余弦到正弦的運(yùn)算，由于形式復(fù)雜，難以預(yù)知下一步演算的結(jié)構(gòu)，學(xué)生不敢進(jìn)入運(yùn)算，屬于難題。

然而，這雖然是解三角形問題，但也屬于平面幾何問題，從解析幾何范疇去探討C點(diǎn)的軌跡，會(huì)發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，即是阿波羅尼斯圓。

阿波羅尼奧斯（約前262年至前190年），古希臘幾何學(xué)家。著有《圓錐曲線論》八卷等。俗稱的阿波羅尼斯圓是以下定理：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于定值（且該定值不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓。

由CA= ?2 CB，得到C點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，因此運(yùn)用坐標(biāo)法可以求得C的軌跡方程，則?△ABC是以AB為底，以C點(diǎn)到AB的距離為高的三角形，所以當(dāng)C點(diǎn)到AB的距離為圓的半徑時(shí)，S△ABC有最大值。

同樣我們很容易破解以下問題：

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOY中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P（1，0）與到點(diǎn)Q（4，0）的距離之比為 ? ?，已知A（ 2 ，0） ，則∠OMA的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

案例2：極點(diǎn)與極線：例2（2010年高考文科數(shù)學(xué)湖北卷第15題）已知橢圓： ? +y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（x0，y0）滿足0< ? ? +y02< 1，則|PF1|+|PF2|的取值范圍為 ? ? ? ? ?，直線 ? ? ?+y0y=1與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ? ? ? ? ? ? .

關(guān)注焦點(diǎn)在第二個(gè)空，依題意可知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部且不是坐標(biāo)原點(diǎn)，常規(guī)解法有兩種，方法1是特值法，取P（0， ? ），根據(jù)x0的范圍，數(shù)形結(jié)合可以得到直線與橢圓相離;方法2是將直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)判別式△判斷，對(duì)小題而言這個(gè)方法運(yùn)算量大。然而，根據(jù) ? ? ? +y0y=1直線的形式，讓我們聯(lián)想到了極點(diǎn)與極線。

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛沙格在《圓錐曲線圖論稿》（1639年）中提出了極點(diǎn)極線的概念。極點(diǎn)與極線是高等幾何中的重要概念，雖然不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的內(nèi)容，但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種基本特征，也常作為高考試題的題源。

極點(diǎn)與極線：已知圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點(diǎn)P（x0，y0）和直線l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圓錐曲線Γ的一對(duì)極點(diǎn)和極線。事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以x0x替換x2，以 ? ? ? ? 替換x（另一變量y也是如此）即可得到點(diǎn)P（x0，y0）極線方程。

極點(diǎn)與極線作法：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線Γ上，則過P點(diǎn)的切線即為極線。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線Γ外，從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在的直線）即為極線。