路慧芹 張 悅

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 250358, 濟(jì)南 )

1 引 言

分?jǐn)?shù)階薛定諤方程由于其深刻的物理背景和重要的應(yīng)用價(jià)值而受到廣泛關(guān)注，已成為分?jǐn)?shù)階微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)新熱點(diǎn).Laskin N利用Lévy型路徑上的積分建立起來的分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)模型是如下形式的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程[2]

i?tψ=(-Δ)αψ+V(x)ψ-|ψ|p-2ψ, ?(t,x)∈×N,

(1)

其中i是虛單位，0<α<1,V(x)是勢(shì)函數(shù)，ψ是反映粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的波函數(shù).

令u(x)是下述方程

ωu=(-Δ)αu+V(x)u-|u|p-2u, ?x∈N

(2)

的解，其中ω>0，則ψ=e-iωtu(x)是方程(1)的一個(gè)駐波解.

眾所周知，若V(x)滿足下列條件：

(V)V∈C(N,且存在r0>0 使得對(duì)任意的M>0當(dāng)|y|→∞時(shí)都有

meas({x∈Br0(y):V(x)≤M})→0，

則算子(-Δ)α+V(x)有一串特征值0<λ1<λ2≤…≤λm≤λm+1≤…,λm→∞(m→∞),且每個(gè)特征值的重?cái)?shù)都是有限的.

本文的目的是研究頻率ω>λ1時(shí)方程(1)的非平凡駐波解的存在性,利用環(huán)繞定理證明當(dāng)ω≠λk(k=1,2,…)時(shí)方程(1)具有一個(gè)非平凡的駐波解，從而推廣和補(bǔ)充文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)和引理

方程(1)中的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(-Δ)α定義為：(-Δ)αu:=I-1(|ξ|2α(Iu)), 其中I是傅里葉變換.

文中使用Hα(N)的子空間

下是Hilbert空間. 在條件(V)下，內(nèi)積(u,v)E導(dǎo)出的范數(shù)‖·‖E等價(jià)于下述范數(shù)

(3)

顯然，Jω(u)∈C1(E,) 且

(4)

引理1設(shè)N>2α, 2

證令{un}?E是一個(gè)(C)c序列，即

(5)

需證{un}有一個(gè)收斂子列.

由(5)式知

(6)

可以斷言{un}是有界的，若否，則當(dāng)n→∞時(shí)有‖un‖→∞.由(3)式，(4)式和(6式)可得

其中‖·‖p是Lp(N)中的范數(shù). 由于2

由(4)式和(6)式可得

(7)

由于‖un‖p是有界的，故對(duì)上式取極限得

(8)

下證φ≡0.假設(shè)φ≡0, 在(7)式中取v=φn，可得

在上式兩端同除以‖un‖，并注意到‖un‖p是有界的，可得

(9)

由緊嵌入定理[6]可知在L2(N)中φn→0. 于是由(9)式知 ‖φn‖→0, 與‖φn‖=1矛盾. 于是E中的非零函數(shù)φ滿足(8)式，即ω是算子(-Δ)α+V(x)的一個(gè)特征值，此與題設(shè)條件矛盾. 由此可見，{un}是有界的. 因此{(lán)un}在E中存在弱收斂子列，不妨仍記為{un}在E中弱收斂于u. 于是由緊嵌入定理和赫爾德不等式易知即在E中un→u.

3 主要結(jié)果

定理1若N>2α, 2

證對(duì)任意滿足ω≠λk(k=1,2,…)的正數(shù)ω，必存在非負(fù)整數(shù)m，使得ω∈(λm,λm+1). 若m=0，即ω∈(0,λ1)時(shí)，文獻(xiàn)[3]利用Nehari流形方法得到了方程(1)具有一個(gè)非平凡的駐波解. 下面證明當(dāng)ω∈(λm,λm+1)，m∈時(shí)定理的結(jié)論也成立.

V=span{e1,e2,…,em},X={u∈E:(u,ei)=0,?i=1,2,…,m}，W=V⊕span{em+1},

(10)

顯然V,W都是E的有限維子空間且E=V⊕X.

令u∈X, 則由嵌入定理可得

(11)

由于p>2且ω<λm+1， 因此由(11)式知，存在充分小的正數(shù)ρ和β，使得Jω|?Bρ∩X≥β.

令u∈W, 由于ω>0以及有限維Banach空間的所有范數(shù)等價(jià)，可知存在常數(shù)κ>0，使得

(12)

由于p>2， 因此由(12)式知，存在正數(shù)R>ρ，使得Jω(u)≤0,?u∈W,‖u‖≥R.令

易知Q?W, 進(jìn)而有Jω|?Q≤0.

綜上所述，由引理1和環(huán)繞定理[7]可知定理1的結(jié)論成立.