范奕澤，林曉賀，邱磊，姚宏林，竇志國

行波與駐波能量對比分析

范奕澤1，林曉賀1，邱磊2，姚宏林1，竇志國1

（航天工程大學(xué) 1. 基礎(chǔ)部，2. 電子與光學(xué)工程系，北京 101416）

機(jī)械波的能量是大學(xué)物理教學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容，而駐波的能量似乎更是學(xué)生的理解難點(diǎn)．多數(shù)大學(xué)物理教材從定性和定量的角度介紹了行波的能量，但是很多教材并沒有對駐波能量進(jìn)行詳細(xì)的定量計(jì)算．教師在授課過程中也只是進(jìn)行簡單的定性分析，從而導(dǎo)致學(xué)生無法從根本上理解行波與駐波的區(qū)別．通過定量計(jì)算行波和駐波的能量及能流，利用對比分析的形式幫助學(xué)生更好地理解行波和駐波的能量及能量傳輸問題，在無形中點(diǎn)燃學(xué)生求知探索的熱情，提高其自主探究、歸納總結(jié)和邏輯推理能力．

波的能量；行波；駐波；能流

1 駐波方程

2 波的能量

2.1 行波能量

系統(tǒng)機(jī)械能

是時(shí)間的周期函數(shù)．因此，行波中各質(zhì)元是相互關(guān)聯(lián)的“開放系統(tǒng)”，即各質(zhì)元本身并不儲(chǔ)存能量．任一體積元不斷地從波源方向的介質(zhì)中吸收能量，又不斷地向其后面的介質(zhì)傳遞能量，能量在介質(zhì)中隨波一起傳播[3-6]，且能量傳播的速度就是波速．所以行波是傳遞能量的一種方式．

2.2　駐波能量

由于駐波是兩列沿同一直線、振幅相同、傳播方向相反的行波的相干疊加，因此駐波的能量同樣既包含彈性勢能，又包含振動(dòng)動(dòng)能．把駐波方程式（3）代入式（4），可得駐波彈性勢能為

而駐波振動(dòng)動(dòng)能為

計(jì)算相鄰的波節(jié)波腹之間的總機(jī)械能[7-8]

由式（11）結(jié)果可知，相鄰的波節(jié)波腹間機(jī)械能是守恒的．當(dāng)相鄰的波節(jié)波腹間所有質(zhì)元都處于平衡位置時(shí)，介質(zhì)不產(chǎn)生形變，彈性勢能為零．但此時(shí)各質(zhì)元速率都達(dá)到最大值，且波腹處質(zhì)元速率最大，所以駐波能量主要集中在波腹附近，并且以動(dòng)能形式存在．當(dāng)相鄰的波節(jié)波腹間所有質(zhì)元都處于最大位移時(shí)，各點(diǎn)振動(dòng)速率為零，即振動(dòng)動(dòng)能為零．但此時(shí)介質(zhì)各部分都發(fā)生形變，且越靠近波節(jié)處形變越大，所以駐波能量主要集中在波節(jié)附近，并且以勢能形式存在．在相鄰的波節(jié)波腹之間，振動(dòng)動(dòng)能和彈性勢能同時(shí)存在，且二者不斷地相互轉(zhuǎn)換．

此處已得到行波和駐波的能量表達(dá)式，并且對能量的變化作了詳細(xì)分析[9-10]．在對比二者能量表達(dá)式的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么行波可以傳遞能量，而駐波卻不能傳遞能量．此時(shí)依然會(huì)有部分學(xué)生無法理解為什么駐波能量不能突破相鄰的波節(jié)波腹單元而向外界傳輸，所以有必要結(jié)合行波和駐波的能流進(jìn)行更深一步的分析．

3　能流

3.1　行波能流

3.2　駐波能流

由分析可知，駐波的能流密度為

研究發(fā)現(xiàn)，行波和駐波的能流密度均是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，但是結(jié)合具體表達(dá)式來看，駐波能流密度的空間變量和時(shí)間變量是分離的，所以導(dǎo)致在一些特殊位置（波節(jié)波腹）處其能流密度為零．這也可以理解為行波和駐波能量傳輸不同的數(shù)學(xué)解釋．關(guān)于駐波不傳遞能量，可結(jié)合駐波能量特點(diǎn)（見圖2）作更具體地分析．

圖2　駐波能量特點(diǎn)

4　結(jié)語

本文以在固體中傳播的橫波為例，從駐波方程式出發(fā)，在學(xué)生已掌握易理解的行波能量的基礎(chǔ)上，詳細(xì)計(jì)算出了駐波的能量及能流的解析表達(dá)式，從數(shù)學(xué)形式和物理意義層面幫助學(xué)生從根本上理解行波與駐波的能量以及能量傳輸問題，體現(xiàn)了在大學(xué)物理教學(xué)過程中采用對比分析教學(xué)法的重要指導(dǎo)意義．

[1] 馬文蔚，周雨青，解希順．物理學(xué)：下[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014．

[2] 李承祖，楊麗佳．大學(xué)物理學(xué)：下[M]．北京：科學(xué)出版社，2009．

[3] 肖婉如．穩(wěn)定駐波的能量[J]．工科物理，1999（5）：49-43．

[4] 李春庭，魯中?。v波中的能量傳輸[J]．物理通報(bào)，2001（5）：7-8．

[5] 郭建軍．關(guān)于駐波能量的分析[J]．大學(xué)物理，2005（5）：23-25．

[6] 盧艷，董慎行．用計(jì)算機(jī)模擬駐波能量的變化[J]．物理與工程，2003，13（4）：3．

[7] 吳波英，王軍延，付伯橋，等．利用波動(dòng)圖進(jìn)行駐波的位相和能量特征分析[J]．湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，41（3）：36-39．

[8] 張孟，吳趙龍，陸慧，等．電磁駐波中的能量與能流分布探討[J]．物理與工程，2017，27（5）：47-50．

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[10] 秦吉紅，邱紅梅，梁穎．大學(xué)物理中關(guān)于駐波教學(xué)的一些體會(huì)[J]．大學(xué)物理，2020，39（8）：7-10，17．

Comparative analysis of the energy between traveling wave and standing wave

FAN Yize1，LIN Xiaohe1，QIU Lei2，YAO Honglin1，DOU Zhiguo1

（1. Department of Basic Courses，2. Department of Electronic and Optical Engineering，Space Engineering University，Beijing 101416，China）

The energy of mechanical wave is the emphasis and difficulty among college physics，while the energy of standing wave seems to be the hardest for students．Most text books recommend the energy of traveling wave not only qualitatively but also quantitatively，however，they do not provide more detailed quantitative calculation of the energy of standing wave．As many teachers just analyse the problem through a simple qualitative method in class，students cannot understand the difference between traveling wave and standing wave fundamentally．It is calculated of the energy and energy flow of traveling wave and standing wave quantitatively，take advantage of comparative analysis to help students better understand the differences of the energy and energy transmission between them，and ignite students′ enthusiasm for knowledge and exploration，improve their ability of independent inquiry，generalization and logical reasoning invisibly．

the energy of wave；traveling wave；standing wave；energy flux

1007-9831（2022）09-0084-05

O4∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.018

2022-04-20

航天工程大學(xué)教學(xué)創(chuàng)新項(xiàng)目

范奕澤（1989-），女，安徽阜陽人，講師，博士，從事理論物理、大學(xué)物理研究．E-mail：fanyize89@126.com