何錫聰 寧麗紅

《6.3.1實數(shù)》是新人教版七年級下冊第六章第三節(jié)《實數(shù)》第一課時的教學(xué)內(nèi)容，是在數(shù)的開方的基礎(chǔ)上引進無理數(shù)概念，將數(shù)從有理數(shù)的范圍擴充到實數(shù)范圍.該課在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有承上啟下的作用，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)整式、方程、不等式及函數(shù)的基礎(chǔ).這節(jié)課主要學(xué)習(xí)無理數(shù)和實數(shù)的概念、實數(shù)的分類、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系，向?qū)W生滲透類比、分類、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、概括能力和解決問題的能力.

一、情境導(dǎo)入，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

師：這節(jié)課我們一起走進數(shù)學(xué)王國，開啟今天的學(xué)習(xí)之旅！請同學(xué)們先看視頻.（播放數(shù)字故事視頻《神秘數(shù)之謎》，大意如下：有一天，數(shù)學(xué)王國來了一位神秘訪客，有理數(shù)向它炫耀說：“我是數(shù)中之王，所有的數(shù)都?xì)w我管.”神秘訪客不服氣地說：“吹牛，你跟我平級，怎么可能所有的數(shù)都?xì)w你管？一會兒司令來了讓它評評理.”）

師：故事中的“有理數(shù)”認(rèn)為自己是數(shù)中之王，所有的數(shù)都?xì)w它管，你們同意嗎？

生：不同意.

師：“神秘訪客”認(rèn)為有理數(shù)跟自己平級，自己不歸有理數(shù)管.那么，“神秘訪客”是什么數(shù)，它口中的“司令”又是誰呢？

生各抒己見，有的說是有理數(shù)，有的說是實數(shù)，有的說是無理數(shù)，對“神秘訪客”和“司令”的身份充滿好奇.

師：這節(jié)課我們一起來揭開這個謎底.（板書課題：6.3.1實數(shù)）

生齊讀“學(xué)習(xí)目標(biāo)”：①了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，能對實數(shù)按要求進行分類;②了解數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系，能用數(shù)軸上的點表示無理數(shù).

【評析】以故事創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，導(dǎo)入新課，牢牢吸引了學(xué)生的注意力;執(zhí)教者讓學(xué)生齊讀“學(xué)習(xí)目標(biāo)”，使學(xué)生從上課開始就知道將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和所要達(dá)成的目標(biāo).

二、探究新知，引出無理數(shù)

師：什么叫有理數(shù)？

生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

師：還記得有理數(shù)的分類嗎？

生1：按定義進行分類.

生2：按性質(zhì)進行分類.

師板書如下：

（1）按定義分類? ? （2）按性質(zhì)分類

[有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)] [有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)]

【評析】執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)有理數(shù)的定義、分類，有利于學(xué)生在類比舊知的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知，實現(xiàn)新舊知識的自然過渡.

（一）探究無理數(shù)的定義

師：3，[-35，478，911，119，59]這些數(shù)都是有理數(shù)嗎？

生：都是.

師：你能把有理數(shù)[3，-35，478，911，119，59]寫成小數(shù)的形式嗎？

生寫出小數(shù)如下：

3=3.0，[-35]=-0.6，[478]=5.875，[911]=[0.81，][119=1.2，59=][0.5]

師：觀察這些小數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

師：是的.事實上，任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).（課件出示有理數(shù)的新定義：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)）

生齊讀有理數(shù)的定義.

師：除了有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，想一想，還有其他類型的小數(shù)嗎？

生：無限不循環(huán)小數(shù)，比如π.

師：無限不循環(huán)小數(shù)除了π之外，你還能說出哪些數(shù)？

生：[2=1.414…，3=1.732…]

師：無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).（課件出示無理數(shù)的新定義，播放解析無理數(shù)定義的視頻）

生觀看視頻，進一步理解無理數(shù)的概念.

師：觀看視頻后，你有什么收獲？

生1：無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).

生2：無理數(shù)必須同時滿足兩個條件，一是無限小數(shù)，二是不循環(huán)小數(shù).

師：下列各組數(shù)是不是無理數(shù)？這些數(shù)分別有什么特點？[課件出示：①[-3，53，2-1];②π，-3π，[π2];③0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），

-17.3232232223…（兩個3之間依次多一個2）]

生1：第①組都是無理數(shù)，都含有根號.

生2：第②組都是無理數(shù)，都含有π.

生3：第③組都是無理數(shù)，都有一定規(guī)律但不循環(huán).

師：是的，從中我們可以發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)有以下常見類型.①根號型，即開方開不盡的數(shù);②含π型;③構(gòu)造型，即構(gòu)造出的有一定規(guī)律但不循環(huán)的無限小數(shù).

【評析】執(zhí)教者讓學(xué)生參與無理數(shù)概念的建立和數(shù)系擴充的過程，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和發(fā)現(xiàn)能力.

（二）探究實數(shù)的分類

課件出示練習(xí)題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi).（檢測學(xué)生能否區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)）

[227，3，][-83，]0.101，[π3，93，64，][2.15，][1916，]

0.3737737773…

有理數(shù)集合? ? ? ?無理數(shù)集合

師：帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)嗎？

生：不一定，[-83=-2]是有理數(shù).

師生共同討論后得出結(jié)論：判定一個數(shù)是不是無理數(shù)應(yīng)該先進行化簡或計算.

師：學(xué)習(xí)了有理數(shù)和無理數(shù)，你認(rèn)為有理數(shù)和無理數(shù)屬于哪一類數(shù)的范疇呢？（課件出示實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)）

師：類比有理數(shù)的分類方法，我們?nèi)绾螌崝?shù)進行分類？

生討論，有的說按定義分類，有的說按性質(zhì)分類，有的說按大小分類.

師：請同學(xué)們根據(jù)自己的想法，將實數(shù)進行分類.

學(xué)生代表上臺板書實數(shù)的分類，其余學(xué)生分小組討論，在導(dǎo)學(xué)案中寫出實數(shù)的分類.師收集各小組的導(dǎo)學(xué)案，投影呈現(xiàn)具有代表性的分類方法，學(xué)生辨析正誤.

師生總結(jié)實數(shù)的分類如下：

（1）按定義進行分類

（2）按正負(fù)數(shù)進行分類

師：我們對實數(shù)進行分類時，要做到“不重”“不漏”.現(xiàn)在，我們知道數(shù)字王國里的“神秘訪客”和“司令”分別是誰了嗎？

生：“神秘訪客”是無理數(shù)，“司令”是實數(shù).

師：正確！通過學(xué)習(xí)，我們知道數(shù)的范疇擴大到了實數(shù).下面我們通過做練習(xí)來鞏固新學(xué)的知識.

課件出示習(xí)題：裝扮“數(shù)字樹”.要求：拿到“樹干”的同學(xué)上臺裝扮“數(shù)字樹”，其余同學(xué)把手中的數(shù)字貼在“數(shù)字樹”的相應(yīng)位置.

[2π3，]3.141592，[53，]20，

[36，][63，]-3.33，[273，]

-11，1.5151151115…（每兩個5之間多一個1），[14]]

【評析】執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生對實數(shù)進行分類，明確分類的基本原則是“不重”“不漏”，滲透了分類的數(shù)學(xué)思想.在這個過程中，執(zhí)教者善于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題，促使學(xué)生加深對無理數(shù)、實數(shù)的概念的理解.最后，執(zhí)教者揭開數(shù)字王國里“神秘訪客”和“司令”的神秘面紗，有利于學(xué)生進一步理解實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的關(guān)系.教學(xué)中設(shè)計的小游戲、小練習(xí)，提高了學(xué)生參與課堂的積極性，有利于學(xué)生鞏固新知識.

（三）探究實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系

課件出示練習(xí)題：找出下列有理數(shù)0，3.6，[-113]在數(shù)軸上的對應(yīng)點（如圖2）.

師：有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示嗎？

生：可以.

師：反過來，數(shù)軸上的點都表示有理數(shù)嗎？請認(rèn)真觀察下面的演示（如圖3），你有什么發(fā)現(xiàn)？

課件演示：從原點出發(fā)，圓分別向數(shù)軸的左邊和右邊滾動一周（圓的直徑為1），觀察終點落在的位置對應(yīng)的是什么數(shù)？

生：直徑為1的圓的周長是π，所以，當(dāng)圓向數(shù)軸的左邊滾動一周，終點落在的位置對應(yīng)的數(shù)表示-π，向數(shù)軸的右邊滾動一周，終點落在的位置對應(yīng)的數(shù)表示π.

師：通過演示，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點除了可以表示有理數(shù)，還可以表示什么數(shù)？

生：無理數(shù).

課件出示習(xí)題：剪一剪，拼一拼.你能用兩個邊長為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形嗎？拼接出來的面積為2的大正方形的邊長是多少？

生動手操作，拼出面積為2的大正方形（如圖4），邊長為[2].

師：大正方形的邊長和邊長為1的小正方形的對角線長有什么關(guān)系？

學(xué)：邊長為1的小正方形的對角線長為[2].

師：你能在數(shù)軸上表示出[2，][-2]嗎？

生分小組探究，師用動畫演示（如圖5）.

生得出結(jié)論：無理數(shù)[2]和[-2]也可以用數(shù)軸上的點表示.

師：每個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示.如果將全部有理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會不會被填滿？

生：不會，因為數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù).

師：將全部無理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會被填滿嗎？

生：不會，因為數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù).

師：將所有的有理數(shù)和無理數(shù)都標(biāo)注在數(shù)軸上，數(shù)軸會被填滿嗎？

生：填滿了.

師生總結(jié)歸納得出結(jié)論：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示;反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).也就是說，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

課件出示習(xí)題如下：

請將數(shù)軸上的各點與實數(shù)[2，]-1.5，[5，]π，3對應(yīng)起來，然后比較它們的大?。ㄓ谩?”連接，如圖6）.

師：在做練習(xí)過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【評析】執(zhí)教者設(shè)計習(xí)題，請學(xué)生在數(shù)軸上表示π，[±2]的位置，從而明確無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點表示，最后得出實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的結(jié)論.借助數(shù)軸研究無理數(shù)，有利于學(xué)生進一步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會遷移運用.

三、課堂小測，總結(jié)歸納

師出示習(xí)題如下.

1.判斷下列說法是否正確，在后面的括號內(nèi)打“√”或“×”.

（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù).（? ）

（2）無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù).（? ）

（3）帶根號的數(shù)都是無理數(shù).（? ）

（4）無理數(shù)一定都帶根號.（? ）

（5）無理數(shù)都是無限小數(shù).（? ）

（6）無限小數(shù)都是無理數(shù).（? ）

2.在[53，][3.17，]0.12，[-32，]0，[643]這6個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)表達(dá)正確的是（? ）.

A.1個? ?B.2個? ?C.3個? ?D.4個

3.下列說法錯誤的是（? ）.

A.沒有最小的正數(shù).

B.無理數(shù)分為正無理數(shù)、0、負(fù)無理數(shù).

C.無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.

D.正分?jǐn)?shù)既是有理數(shù)又是實數(shù).

4.把-π，[-13，][7，]-1.5，[9，][503，]3這些數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.

（1）正有理數(shù)集合：

（2）正無理數(shù)集合：

（3）負(fù)有理數(shù)集合：

（4）負(fù)實數(shù)集合：

【評析】學(xué)生通過做練習(xí)，回顧學(xué)習(xí)過程，加深了對新知識的理解，提高了運用知識解決問題的能力.

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些新知識？談?wù)勀愕氖斋@.

生1：學(xué)習(xí)了無理數(shù)和實數(shù)的概念，掌握了實數(shù)的分類方法，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系.

生2：我明白了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，知道利用類比有理數(shù)的分類方法對實數(shù)進行分類.

師：當(dāng)數(shù)由有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，相反數(shù)和絕對值的意義以及運算法則對于實數(shù)來說是否還適用呢？請同學(xué)們課后思考這個問題.

【評析】課尾，執(zhí)教者請學(xué)生回顧、總結(jié)、梳理所學(xué)知識，將新知與舊知緊密聯(lián)系，這樣做有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.最后，執(zhí)教者留下思考題，促使學(xué)生繼續(xù)保持學(xué)習(xí)和探索的欲望.

【總評】

這節(jié)課堅持“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則，以教師的“導(dǎo)”和學(xué)生的“究”作為課堂教學(xué)主線，滲透了數(shù)形結(jié)合、類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)中，執(zhí)教者熟練運用微視頻、幾何畫板、手機投屏、智慧課堂等信息化教學(xué)手段輔助教學(xué)，使課堂教學(xué)生動靈活，增添了教學(xué)的趣味性，擴大了課堂容量，是一堂高效率的數(shù)學(xué)課，體現(xiàn)在以下幾個方面.

第一，以“趣”激“學(xué)”.執(zhí)教者先利用數(shù)字故事創(chuàng)設(shè)情境，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，然后以小視頻解析無理數(shù)的定義，使知識難點變得直觀、形象，易于學(xué)生理解，“拼數(shù)字樹”游戲活躍了課堂氛圍，調(diào)動了學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的積極性.

第二，教學(xué)目標(biāo)明確，課堂主線清晰.這節(jié)課的知識目標(biāo)是使學(xué)生了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，能對實數(shù)進行分類;能力目標(biāo)是使學(xué)生通過類比有理數(shù)，探究無理數(shù)和實數(shù)的概念，培養(yǎng)分析、推理、總結(jié)、歸納的能力.教學(xué)中，執(zhí)教者首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有理數(shù)的概念，然后引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，再設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生類比有理數(shù)的分類方法探究無理數(shù)的定義、特征以及實數(shù)的分類.整個課堂教學(xué)脈絡(luò)清晰，學(xué)生思維活躍.

第三，滲透類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)無理數(shù)的定義和實數(shù)的分類時，執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生利用類比的方法探究新知，實現(xiàn)了知識的內(nèi)化與遷移.另外，通過幾何畫板演示π，[±2]等無理數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系，使學(xué)生能夠直觀形象地理解無理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合的方法學(xué)習(xí)新知識.

第四，執(zhí)教者基本功扎實，善于駕馭課堂.課堂教學(xué)過渡自然，選題有層次，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.執(zhí)教者在教學(xué)中能夠熟練運用信息化教學(xué)設(shè)備和教學(xué)手段，增添了教學(xué)的趣味性，提高了教學(xué)效率.

（該課例曾獲評廣西2019年“一師一優(yōu)課、一課一名師”活動自治區(qū)級“優(yōu)課”）

（責(zé)編 歐孔群）