湯偉莉，陳永亮，劉立業(yè)

（天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300354）

機(jī)床的剛度對(duì)其加工性能的影響很大。在過去幾十年中，許多研究人員通過理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測試等方法分析了機(jī)床的剛度。例如：Huang等［1］提出用混合建模法來分析單個(gè)模塊對(duì)機(jī)床剛度的影響，解決了傳統(tǒng)單模塊分析法中因載荷的等效轉(zhuǎn)換、節(jié)點(diǎn)力的不均勻分布而引發(fā)的局部效應(yīng)問題；鐘偉弘等［2］基于混合建模法識(shí)別了功能不獨(dú)立的復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品的薄弱模塊，運(yùn)用靈敏度分析法找到了對(duì)其性能影響最大的參數(shù)，并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高了其剛度和精度；于長亮等［3］基于混合建模法辨識(shí)得到不同激振頻率下機(jī)床的薄弱模塊，明確了優(yōu)化目標(biāo)，提高了優(yōu)化效率。但是，這種將待識(shí)別模塊材料的彈性模量設(shè)為無窮大，而其他模塊材料的彈性模量為實(shí)際值的混合建模法會(huì)因不同模塊的彈性模量相差較大而引發(fā)模塊結(jié)合面處網(wǎng)格劃分錯(cuò)誤等問題，從而導(dǎo)致分析無法進(jìn)行。因此，劉啟偉等［4-5］提出了機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場概念，通過對(duì)機(jī)床進(jìn)行有限元分析，得到機(jī)床的柔度曲線，根據(jù)曲線的拐點(diǎn)確定機(jī)床的薄弱模塊；楊俊杰等［6］基于串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場理論，對(duì)復(fù)雜工況下機(jī)床剛度的變化情況進(jìn)行分析，并通過構(gòu)建機(jī)床同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)的有限元分析模型來識(shí)別其薄弱模塊。綜上，串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場理論能夠解決采用混合建模法時(shí)易出現(xiàn)的問題，但采用該理論時(shí)須將機(jī)床主軸端的載荷等效轉(zhuǎn)換到待分析模塊上，轉(zhuǎn)換過程比較繁瑣。

基于此，筆者提出一種基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識(shí)別方法。該方法在劃分機(jī)床模塊的基礎(chǔ)上，以包含主軸的最小模塊為基礎(chǔ)模塊，逐一添加同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)上的模塊，通過分析添加模塊后結(jié)構(gòu)變形量的增量來確定機(jī)床的薄弱模塊，增量最大所對(duì)應(yīng)的模塊即為薄弱模塊。該方法可避免采用混合建模法時(shí)出現(xiàn)的問題，同時(shí)不用對(duì)主軸端的載荷進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，分析過程簡單。對(duì)識(shí)別出的薄弱模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)［7-10］，并采用基于熵權(quán)法的綜合模糊評(píng)價(jià)法［11-13］來比較結(jié)構(gòu)改進(jìn)前后機(jī)床的性能，以驗(yàn)證所提出方法的可行性。

1 基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識(shí)別

1.1 網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建

機(jī)床各零部件之間存在一定的約束關(guān)系。根據(jù)各零部件之間的約束關(guān)系，采用圖論法構(gòu)建機(jī)床的網(wǎng)絡(luò)圖［14-16］，如圖1所示。其中：節(jié)點(diǎn)i、j表示機(jī)床的零部件，eij表示零部件i、j之間約束關(guān)系的權(quán)重。

1.2 模塊劃分

圖1 機(jī)床網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Network diagram of machine tool

基于圖1所示的機(jī)床網(wǎng)絡(luò)圖，利用社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法（Louvain 算法）對(duì)機(jī)床進(jìn)行模塊劃分。Louvain算法是基于模塊度的算法，在一個(gè)有權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，模塊度Q為［17］：

其中：

式中：Ki表示與節(jié)點(diǎn)i有關(guān)的約束關(guān)系的權(quán)重之和；ci表示節(jié)點(diǎn)i所屬的社團(tuán)；?(ci，cj)表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j所屬社團(tuán)之間的關(guān)系，若2個(gè)節(jié)點(diǎn)屬于同一個(gè)社團(tuán)，則?(ci，cj)=1，否則為0。

1.3 增量分析模型構(gòu)建

對(duì)于機(jī)床的某串聯(lián)結(jié)構(gòu)，為分析添加某一模塊后結(jié)構(gòu)變形量的增量，構(gòu)建相應(yīng)的增量分析模型。構(gòu)建過程如下：以包含主軸的最小模塊為基礎(chǔ)模塊，逐一添加同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)中的模塊，直至添加到與地面固定的模塊為止。以由模塊M1、M2和M3組成的機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)為例，構(gòu)建其增量分析模型，如圖2 所示。其中：M1為包含主軸的最小模塊，M3為與地面固定的模塊，工作載荷F作用在模塊M1上。

圖2 機(jī)床單個(gè)串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析模型的構(gòu)建過程Fig.2 Construction process of incremental analysis model of single series structure of machine tool

1.4 薄弱模塊識(shí)別

對(duì)于圖2所示的機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)，在工作載荷F的作用下，設(shè)置模塊M1的邊界約束條件。如圖2（a）所示，此時(shí)該串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d1。

當(dāng)分析添加模塊M2 后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量時(shí)，添加模塊M2，并設(shè)置模塊M2 的邊界約束條件。如圖2（b）所示，此時(shí)串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d2，則添加模塊M2后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量dM2為：

當(dāng)分析添加模塊M3 后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量時(shí)，添加模塊M3，并設(shè)置模塊M3 的邊界約束條件。如圖2（c）所示，此時(shí)串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d3，則添加模塊M3后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量dM3為：

根據(jù)式（2）和式（3），計(jì)算得到逐一添加模塊后機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量增量并繪制相應(yīng)的折線圖，變形量增量越大表明添加模塊后，機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形越大，剛度越小，則對(duì)應(yīng)模塊為機(jī)床的薄弱模塊。

2 基于熵權(quán)法的機(jī)床薄弱模塊改進(jìn)方案綜合評(píng)價(jià)

基于識(shí)別出的薄弱模塊，對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。針對(duì)生成的多個(gè)改進(jìn)方案，以機(jī)床的整機(jī)質(zhì)量，X、Y、Z向變形量以及動(dòng)態(tài)特性作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用基于熵權(quán)法的模糊綜合評(píng)價(jià)法對(duì)其進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

首先，利用熵權(quán)法確定機(jī)床改進(jìn)方案各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，計(jì)算步驟如下。

1）構(gòu)建評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣。設(shè)有m個(gè)機(jī)床改進(jìn)方案、n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，則機(jī)床改進(jìn)方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣X可表示為：

2）對(duì)矩陣X中的元素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。正向指標(biāo)（指標(biāo)值越大越好）和負(fù)向指標(biāo)（指標(biāo)值越小越好）的處理方式如下：

3）計(jì)算每個(gè)機(jī)床改進(jìn)方案中各評(píng)價(jià)指標(biāo)所占的比重puv，然后計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)的信息熵Hv，滿足Hv≥0。

其中：

4）計(jì)算每個(gè)機(jī)床改進(jìn)方案的各評(píng)價(jià)指標(biāo)的客觀權(quán)重wv：

然后，利用模糊綜合評(píng)價(jià)法獲取不同機(jī)床改進(jìn)方案的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，其步驟如下。

1）根據(jù)式（4），確定機(jī)床改進(jìn)方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣X。

2）利用熵權(quán)法計(jì)算得到機(jī)床改進(jìn)方案各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重矩陣W=[w1w2…wn]T。

3）建立模糊關(guān)系矩陣R。對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)矩陣X進(jìn)行歸一化處理，得到模糊關(guān)系矩陣R：

4）合成模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣B。將權(quán)重矩陣W與模糊關(guān)系矩陣R進(jìn)行合成，得到機(jī)床改進(jìn)方案的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。其中，bu（u=1，2，…，m）越小，改進(jìn)方案越佳。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識(shí)別

以C型攪拌摩擦焊機(jī)床為例，基于增量分析法分析其各模塊對(duì)整機(jī)剛度的影響程度，以找出該機(jī)床的薄弱模塊，并對(duì)薄弱模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，以提高機(jī)床性能。C型攪拌摩擦焊機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖3所示，主要包括前床身、工作臺(tái)、后床身、立柱、主軸箱、主軸、X軸傳動(dòng)系統(tǒng)、Y軸傳動(dòng)系統(tǒng)及Z軸傳動(dòng)系統(tǒng)。工作臺(tái)通過X軸傳動(dòng)系統(tǒng)在前床身上左右移動(dòng)（X向），前床身與后床身通過螺栓連接；立柱通過Y軸傳動(dòng)系統(tǒng)在后床身上前后移動(dòng)（Y向）；主軸箱通過Z軸傳動(dòng)系統(tǒng)在立柱上上下移動(dòng)（Z向），主軸箱與主軸通過螺栓連接。

圖3 C型攪拌摩擦焊機(jī)床結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of C-type friction stir welding machine tool

對(duì)C型攪拌摩擦焊機(jī)床的功能結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以各零部件為節(jié)點(diǎn)，零部件間相關(guān)性關(guān)系為節(jié)點(diǎn)之間的約束關(guān)系，利用圖數(shù)據(jù)庫Gephi［18］構(gòu)建其網(wǎng)絡(luò)圖，如圖4所示。

圖4 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的網(wǎng)絡(luò)圖Fig.4 Network diagram of C-type friction stir welding machine tool

基于圖4 所示的網(wǎng)絡(luò)圖，利用Louvain 算法對(duì)C型攪拌摩擦焊機(jī)床進(jìn)行模塊劃分，共劃分為9個(gè)模塊。模塊劃分后C型攪拌摩擦焊機(jī)床各模塊所含的零部件如表1所示。

C型攪拌摩擦焊機(jī)床的串聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖5所示，其包含2 條獨(dú)立的串聯(lián)結(jié)構(gòu)：1）M1—M2—M3—M4—M5—M6；2）M7—M8—M9。

在第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，主軸模塊M1為基礎(chǔ)模塊，構(gòu)建增量分析有限元模型1。在此基礎(chǔ)上，逐一添加主軸箱模塊M2、Z軸傳動(dòng)模塊M3、立柱模塊M4、Y軸傳動(dòng)模塊M5和后床身模塊M6，并分別構(gòu)建增量分析有限元模型2，3，4，5，6，如圖6所示。在主軸模塊M1的主軸端部施加載荷：X向?yàn)?0 kN，Y向?yàn)?0 kN，Z向?yàn)?0 kN。在第2條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，工作臺(tái)模塊M7為基礎(chǔ)模塊，構(gòu)建增量分析有限元模型7。在此基礎(chǔ)上，逐一添加X軸傳動(dòng)模塊M8和前床身模塊M9，并分別構(gòu)建增量分析有限元模型8，9，如圖7所示。在工作臺(tái)模塊M7 的工件安裝表面上施加與主軸端部大小相等、方向相反的載荷。C型攪拌摩擦焊機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析有限元模型的邊界約束條件如表2所示。表中：U1、U2與U3分別表示3個(gè)軸向（X、Y、Z向）的移動(dòng)自由度；UR1、UR2與UR3分別表示3個(gè)軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

分別對(duì)上述9個(gè)增量分析有限元模型進(jìn)行靜態(tài)分析，得到C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量，如表3所示。

設(shè)dqX、dqY、dqZ分別為增量分析有限元模型q（q=1，2，…，9）對(duì)應(yīng)的C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量。對(duì)于C型攪拌摩擦焊機(jī)床的第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過計(jì)算得到，添加主軸箱模塊M2、Z軸傳動(dòng)模塊M3、立柱模塊M4、Y軸傳動(dòng)模塊M5和后床身模塊M6后，該機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量的增量分別為：

表1 C型攪拌摩擦焊機(jī)床模塊劃分結(jié)果Table 1 Module division results of C-type friction stir welding machine tool

圖5 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的串聯(lián)結(jié)構(gòu)Fig.5 Series structure of C-type friction stir welding machine tool

圖6 C 型攪拌摩擦焊機(jī)床第1 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)的增量分析有限元模型Fig.6 Incremental analysis finite element model of the first series structure of C-type friction stir welding machine tool

對(duì)于C 型攪拌摩擦焊機(jī)床的第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過計(jì)算得到，添加X軸傳動(dòng)模塊M8 和前床身模塊M9 后機(jī)床主軸端面X、Y、Z向變形量的增量，分別為：

圖7 C 型攪拌摩擦焊機(jī)床第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)的增量分析有限元模型Fig.7 Incremental analysis finite element model of the secomd series structure of C-type friction stir welding machine tool

表2 C 型攪拌摩擦焊機(jī)串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析有限元模型的邊界約束條件Table 2 Boundary constraint conditions of incremental analysis finite element model of series structure of C-type friction stir welding machine tool

為更直觀地對(duì)比添加模塊后C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量，繪制相應(yīng)的折線圖，如圖8所示。圖中ΔX、ΔY、ΔZ分別表示X、Y、Z向變形量的增量。

從圖8中可以直觀地看出：

1）在第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，添加立柱模塊M4和后床身模塊M6后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量較大，說明立柱模塊M4 和后床身模塊M6均為該機(jī)床的薄弱模塊。

表3 C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的變形量Table 3 Deformation of spindle end face of C-type friction stir welding machine tool單位：μm

圖8 添加某模塊后C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量Fig.8 Deformation increment of spindle end face of C-type friction stir welding machine tool after adding a module

2）添加立柱模塊M4后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面X、Z向變形量的增量較大，因此須增大立柱模塊的X、Z向剛度；添加后床身模塊M6 后，主軸端面Y、Z向變形量的增量較大，因此須增大后床身的Y、Z向剛度。

3）在第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，添加X軸傳動(dòng)模塊M8和前床身模塊M9后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量較小，說明其對(duì)機(jī)床剛度的影響較小，不為薄弱模塊。

3.2 機(jī)床薄弱模塊改進(jìn)及整機(jī)性能分析

針對(duì)C型攪拌摩擦焊機(jī)床的薄弱模塊——立柱模塊M4 和后床身模塊M6，對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。立柱模塊M4和后床身模塊M6的改進(jìn)方案分別如圖9和圖10 所示，其參數(shù)變化情況分別如表4 和表5所示。

圖9 立柱模塊M4的原始方案和改進(jìn)方案Fig.9 Original and improved schemes of column module M4

圖10 后床身模塊M6的原始方案和改進(jìn)方案Fig.10 Original and improved schemes of back bed module M6

為了觀察C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面X向剛度的變化情況，將立柱模塊M4的改進(jìn)方案1與后床身模塊M6的原始方案組合，記為改進(jìn)方案A；為了觀察機(jī)床主軸端面Y向剛度的變化情況，將立柱模塊M4的改進(jìn)方案2分別與后床身模塊M6的改進(jìn)方案1，2組合，記為改進(jìn)方案B、C；為了觀察機(jī)床主軸端面Z向剛度的變化情況，將立柱模塊M4 的改進(jìn)方案3與后床身模塊M6的改進(jìn)方案1，2組合，記為改進(jìn)方案D、E。為選擇可使C型攪拌摩擦焊機(jī)床綜合性能較優(yōu)的改進(jìn)方案，以機(jī)床的整機(jī)質(zhì)量，主軸端面X、Y、Z向變形量以及約束模態(tài)和自由模態(tài)前3階固有頻率為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)各改進(jìn)方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

表4 立柱模塊M4改進(jìn)方案的參數(shù)變化情況Table 4 Parameter changes of improved schemes of column module M4

表5 后床身模塊M6改進(jìn)方案的參數(shù)變化情況Table 5 Parameter changes of improved schemes of back bed module M6

通過獲取機(jī)床各零部件密度來確定其質(zhì)量；通過有限元靜態(tài)分析得到機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量；通過有限元模態(tài)分析得到機(jī)床約束模態(tài)與自由模態(tài)的前3階固有頻率。在對(duì)機(jī)床進(jìn)行有限元靜態(tài)分析時(shí)，在其主軸端面施加X向20 kN、Y向20 kN、Z向60 kN的載荷；將前床身與后床身底面完全固定。在對(duì)機(jī)床進(jìn)行約束模態(tài)分析時(shí)，將前床身與后床身底面完全固定，但不施加載荷；在對(duì)機(jī)床進(jìn)行自由模態(tài)分析時(shí)，不施加約束和載荷。C型攪拌摩擦焊機(jī)床的靜、動(dòng)態(tài)性能分析結(jié)果如表6所示。

表6 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的靜、動(dòng)態(tài)性能分析結(jié)果Table 6 Static and dynamic performance analysis results of C-type friction stir welding machine tool

分析表6 結(jié)果可知，相比于原始方案，改進(jìn)后C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X向剛度提高了3.46%～3.94%，Y向剛度提高了4.91%～5.16%，Z向剛度提高了51.99%～56.41%，而質(zhì)量僅增大了0.19%～7.32%。此外，改進(jìn)方案A中主軸端面的X向剛度提高了3.46%；改進(jìn)方案B、C中主軸端面的Y向剛度分別提高了4.98%和5.16%；改進(jìn)方案D、E中主軸端面的Z向剛度分別提高了56.07%和56.41%。

3.3 機(jī)床整機(jī)性能綜合評(píng)價(jià)及改進(jìn)方案優(yōu)選

利用熵權(quán)法計(jì)算得到C型攪拌摩擦焊機(jī)床改進(jìn)方案評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重矩陣：

利用模糊綜合評(píng)價(jià)法對(duì)C型攪拌摩擦焊機(jī)床原始方案和改進(jìn)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過計(jì)算得到模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣：

由模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果可知，改進(jìn)方案B為最優(yōu)方案。與原始方案相比，改進(jìn)方案B對(duì)應(yīng)的C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X向剛度提高了3.46%，Y向剛度提高了4.99%，Z向剛度提高了51.99%。

4 結(jié) 論

本文以C型攪拌摩擦焊機(jī)床為例，基于增量分析法實(shí)現(xiàn)了對(duì)其薄弱模塊的識(shí)別，得到的結(jié)論如下。

1）增量分析法是將工作載荷直接施加在機(jī)床的主軸端，避免了繁瑣的工作載荷等效轉(zhuǎn)換。同時(shí)，通過逐一增加模塊來分析每個(gè)模塊對(duì)機(jī)床剛度的影響，能夠準(zhǔn)確地識(shí)別機(jī)床的薄弱模塊。

2）根據(jù)機(jī)床薄弱模塊主軸端面X、Y、Z三個(gè)方向的變形情況，可準(zhǔn)確地識(shí)別機(jī)床的薄弱方向。通過有針對(duì)性地改進(jìn)機(jī)床的薄弱結(jié)構(gòu)，有效提高了機(jī)床整機(jī)的綜合性能。