姜振翔，陳 輝，陳魯皖

(南昌工程學院 水利與生態(tài)工程學院，江西 南昌 330099)

大壩安全監(jiān)控是保障大壩安全運行的重要方式[1]。通過在壩體內(nèi)合理地布置監(jiān)控儀器、采用適當?shù)姆椒ǚ治霰O(jiān)測資料，有利于找出并處理大壩在服役過程中的薄弱環(huán)節(jié)，從而降低工程失事風險，為大壩的安全運行提供可靠的技術(shù)支持。

目前，對大壩性態(tài)的監(jiān)控主要依靠單測點(局部性態(tài))監(jiān)控模型實現(xiàn)[1]，即建立環(huán)境量(如水位、溫度、時效)與效應(yīng)量(如位移、滲流)之間的線性數(shù)學模型[2-5]，并擬定相應(yīng)的監(jiān)控指標[6-8]，從而達到監(jiān)控大壩性態(tài)的目的。關(guān)于大壩整體性態(tài)的監(jiān)控方法，目前的研究成果相對較少。蘇懷智[9]利用重標極差分析法融合多測點測值信息，將Hurst指數(shù)作為表征大壩整體性態(tài)的指標，通過建立該指數(shù)的監(jiān)控模型達到監(jiān)控大壩整體性態(tài)的目的。Sortis[10]將壩體彈性模量作為表征大壩整體性態(tài)的指標，結(jié)合有限元模型和位移監(jiān)測數(shù)據(jù)反演彈性模量，并根據(jù)彈性模量的變化監(jiān)控大壩整體性態(tài)。虞鴻[11]、王少偉[12]利用傳統(tǒng)主成分分析(PCA)提取多測點監(jiān)測信息中的主成分(PC)，并將PC作為反映大壩整體性態(tài)的依據(jù)，建立了PC的監(jiān)控模型。雷鵬[13]采用變形熵描述大壩整體變形，該值是多測點變形的定性綜合，通過定期計算變形熵達到監(jiān)控大壩整體性態(tài)的目的。

這些研究成果為大壩整體性態(tài)的監(jiān)控提供了有益的研究思路，但也存在著一些不足。例如：采用Hurst指數(shù)、變形熵等方式難以實現(xiàn)實時監(jiān)控；同時，監(jiān)測資料的自動化采集系統(tǒng)容易發(fā)生損壞，導(dǎo)致數(shù)據(jù)缺失，若針對PC進行監(jiān)控，則可能會影響模型預(yù)報精度。因此，在監(jiān)測信息部分缺失的條件下，大壩整體性態(tài)的實時監(jiān)控方法可以做進一步的研究。

本文采用PPCA處理不完整的大壩多測點監(jiān)測資料，在保留原始監(jiān)測信息的基礎(chǔ)上，提取表征大壩整體性態(tài)的概率主成分(PPC)，并建立了PPC的監(jiān)控模型，可為實時監(jiān)控大壩整體性態(tài)提供參考。

1 研究方法

1.1 PPCA原理

在大壩安全自動化監(jiān)測系統(tǒng)中，由于儀器損壞等原因，部分測點往往會在不同時間段內(nèi)存在小部分的數(shù)據(jù)缺失，導(dǎo)致各測點監(jiān)測數(shù)據(jù)不能同步。若采用傳統(tǒng)方法建立定量分析模型，則需要對原始數(shù)據(jù)進行處理，僅保留各測點共有的數(shù)據(jù)。然而，由于各測點數(shù)據(jù)缺失的時間段不同，直接刪除不同步的數(shù)據(jù)將損失大量監(jiān)測信息，不利于大壩整體性態(tài)的監(jiān)控與診斷。PPCA[14-15]則能很好的解決大壩原始監(jiān)測資料中的數(shù)據(jù)缺失問題，該算法以測點間的相關(guān)關(guān)系為基礎(chǔ)，通過這種相關(guān)關(guān)系推算監(jiān)測資料中的缺失數(shù)據(jù)，并提取表征大壩整體性態(tài)的PPC，從而達到在多測點監(jiān)測數(shù)據(jù)中提取關(guān)鍵信息的目的。

設(shè)某效應(yīng)量共有q個測點(即q個原始變量)，每個測點包含n次測值，則這些測點測值構(gòu)成了q×n的矩陣X：

(1)

式中Xi為行向量，表示第i個測點的觀測數(shù)據(jù)序列；xij表示第i個測點的第j次觀測值。設(shè)存在r維(r

X=WY+μ+ε，

(2)

式中W為q×r階矩陣，反映了原始變量X與隱含變量Y之間的相關(guān)關(guān)系；Y服從正態(tài)分布，即Y～N(0，I)；ε為觀測噪聲，服從正態(tài)分布，記為ε～N(0，σ2I)；I為單位矩陣；σ2為觀測噪聲的方差；μ為樣本均值矩陣，μ=[u1，u2，…，uq]T，uj為第j個測點的監(jiān)測數(shù)據(jù)平均值。由統(tǒng)計學原理[16]，可得：

X～N(μ，WWT+σ2I).

(3)

若X的信息完整，W可通過對X的協(xié)方差矩陣進行奇異值分解直接求出，對應(yīng)的Y即為PC。若X的信息不完整，則首先應(yīng)從X中分離出數(shù)據(jù)缺失的列，將信息完整的列組成矩陣Xexist。對其做奇異值分解，求出Wexist。由于X～N(μ，WWT+σ2I)，可構(gòu)造X的似然函數(shù)為

L=ln {p(Y|X，W，μ，σ2)}，

(4)

同時構(gòu)造誤差函數(shù)：

(5)

(6)

上式可記為

(7)

式中kij為第i個PPC中第j個原始變量的系數(shù)，kij的絕對值越大，Yi與Xj的相關(guān)程度就越高，Yi就越能被Xj解釋；當kij為正時，Yi與Xj正相關(guān)；當kij為負時，Yi與Xj負相關(guān)。

當原始變量的個數(shù)為q時，最多可以重構(gòu)q-1個PPC，但這q-1個PPC對原始變量的解釋程度是不同的，因此需要從q-1個PPC中提取z個最能描述原始變量特性的PPC。對于z的取值，可根據(jù)累計方差貢獻率確定：

(8)

1.2 監(jiān)控方法

在大壩安全監(jiān)測領(lǐng)域，建立位移效應(yīng)量的監(jiān)控模型是監(jiān)測大壩性態(tài)的重要方法。已有的壩工知識和工程經(jīng)驗表明，大壩的單測點位移效應(yīng)量受水位、溫度、時效等環(huán)境量的共同影響[1]。由式可知，PPCA的實質(zhì)是對各測點的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進行線性變換，所得的PPC為原始變量的加權(quán)線性組合，因此PPC仍為水位、溫度、時效的函數(shù)。因此，PPC的監(jiān)控模型可表達為

(9)

2 工程算例

2.1 工程概況

萬安水利樞紐位于江西省贛江中游萬安縣境內(nèi)，由混凝土重力壩、土石壩和通航建筑物(船閘)組成。其中混凝土重力壩壩頂高程104 m，最大壩高46.04 m，布置了較為完善的變形監(jiān)測系統(tǒng)。本文以溢流壩(表孔泄流段)基礎(chǔ)廊道(約64 m高程)內(nèi)EX1引張線的10個測點(EX101～EX110)為例，以2010年1月1日至2015年3月31日作為分析時段，討論該時段內(nèi)，在部分測點監(jiān)測數(shù)據(jù)缺失狀態(tài)下PPC的提取、PPC監(jiān)控模型。EX1引張線各測點布置如圖 1所示。

圖1 萬安水利樞紐EX1引張線測點布置示意圖

2.2 PPC的提取

在分析時段內(nèi)，各測點的自動化監(jiān)測系統(tǒng)每天記錄一次位移讀數(shù)。因此，在理論上，各測點均應(yīng)存在1915次監(jiān)測數(shù)據(jù)。然而，由于數(shù)據(jù)采集模塊在部分時段損壞，導(dǎo)致所有測點數(shù)據(jù)在該時段內(nèi)缺失，共93次；剩余1822次監(jiān)測數(shù)據(jù)中，受引張線儀、電纜損壞等因素的影響，不同測點在不同時段內(nèi)均存在一定的測值缺失。圖2(a)為各測點在分析時段內(nèi)的原始位移過程線。若采用傳統(tǒng)方法提取主成分，需要將監(jiān)測資料進行同步處理，即僅保留各測點監(jiān)測數(shù)據(jù)均存在的時段。同步后，共剩余1009組數(shù)據(jù)，監(jiān)測信息約損失45%，由此得到圖2(b)。

根據(jù)式(4)～(7)，采用PPCA分析圖2(a)過程線。建立原始監(jiān)測信息的似然函數(shù)，采用最大期望算法進行求解，令迭代誤差Err≤10E-4時停止迭代。同時，為說明PPCA在提取主成分方面的有效性，采用傳統(tǒng)的PCA分析圖2(b)過程線作為參照。表1列出了分別采用PPCA和PCA方法提取的主成分特征根βi(i=1，2，…，9)、相應(yīng)的貢獻率以及累計貢獻率η。由表可知，采用PPCA和PCA得到的主成分，雖然βi值、貢獻率、η值存在差異，但前三個主成分的η值分別為88.22%和88.69%，大于85%，可以認為PPC1、PPC2、PPC3和PC1、PC2、PC3均能較好的解釋原始監(jiān)測信息，即可以采用前三個主成分代替EX1中的10個原始測點。

表1 主成分分析結(jié)果

圖2 各測點原始過程線與同步后過程線

綜上，PPCA和PCA提取主成分的有效性相近，但由于PPCA的分析對象為不完整的監(jiān)測數(shù)據(jù)；PCA的分析對象為同步后的監(jiān)測數(shù)據(jù)，使得PPC與PC的βi值、貢獻率、η值不同。

根據(jù)式計算PPC1、PPC2、PPC3的表達式系數(shù)，同時計算PC1、PC2、PC3的表達式系數(shù)，如表2所示。

表2 PPC和PC系數(shù)

由表2可知，采用PPCA和PCA得到的主成分對原始變量的解釋程度相近：在PPC1和PC1中，EX103、EX104、EX105、EX106、EX107、EX108測點的系數(shù)較高，表明第一主成分主要解釋了這些測點測值的變化規(guī)律；類似的，PPC2和PC2主要解釋了EX101和EX102測點測值的變化；PPC3和PC3主要解釋了EX109和EX110測點測值的變化。得到PPC1，PPC2，PPC3的過程線如圖3(a)所示；PC1，PC2，PC3的過程線如圖3(b)所示。對比圖3(a)和圖3(b)可知：PPCA與PCA的共性在于，EX1引張線的所有測點，其測值在前三個主成分中均得到了解釋，經(jīng)過分析后，變量數(shù)從原始的10個變量降為3個，提高了大壩整體性態(tài)的監(jiān)控能力。但應(yīng)注意到，鑒于PPCA能夠推算缺失數(shù)據(jù)，PPC具有連續(xù)、完整的過程線。

圖3 PPC與PC過程線

2.3 PPC監(jiān)控模型

通常，分析時段被劃分為擬合期和檢驗期。在擬合期內(nèi)，通過逐步回歸法訓(xùn)練水位、溫度、時效等環(huán)境量與位移之間的關(guān)系，建立監(jiān)控模型；在檢驗期內(nèi)，根據(jù)誤差指標評價監(jiān)控模型的預(yù)報精度。本文將2010年1月1日至2014年12月31日作為擬合期，利用該時間段內(nèi)的監(jiān)測數(shù)據(jù)(共1732組)建立監(jiān)控模型，由式訓(xùn)練該時間段內(nèi)的環(huán)境量與主成分實測值，得到監(jiān)控模型；將2015年1月1日至2015年3月31日作為檢驗期，利用該時間段內(nèi)監(jiān)測數(shù)據(jù)(共90組)檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)報精度。

將擬合期與檢驗期內(nèi)的環(huán)境量代入監(jiān)控模型，可得各PPC的監(jiān)控模型計算值，由此繪制PPC1、PPC2、PPC3和PC1、PC2、PC3在分析時段內(nèi)監(jiān)控模型計算值過程線，如圖 4(a)和圖 4(b)。

圖4 擬合期和檢驗期過程線

由圖4可知，與PC的監(jiān)控模型計算值過程線相比，PPC的監(jiān)控模型計算值過程線更加平滑，且周期性和規(guī)律性較強。為更好地對比兩者精度，采用均方誤差MSE和復(fù)相關(guān)系數(shù)R作為評價模型質(zhì)量的指標。其中，MSE反映了模型計算值與實測值在整體上的偏差程度，MSE越小，表明在整體上，模型計算值越接近實測值；R值反映了在擬合期內(nèi)模型計算值與實測值在整體上的相關(guān)程度，R值越大，表明在整體上，兩者相關(guān)程度越高，模型精度更高。MSE與R的計算方法分別為

(10)

(11)

圖5 PPCA與PPC在擬合與檢驗期誤差指標統(tǒng)計

由圖5(a)和圖5(b)可知，與PC的監(jiān)控模型相比，在擬合期，PPC監(jiān)控模型的MSE略低；R值略高，PPC監(jiān)控模型的R值在0.74～0.89之間，而PC監(jiān)控模型的R值在0.71～0.84之間。由圖5(c)可知，在檢驗期，PPC模型MSE明顯降低，即表明PPC監(jiān)控模型的預(yù)報精度顯著提高。表3統(tǒng)計了各PPC模型在MSE方面的優(yōu)化量：在擬合期，MSE降低6.8%～12%；在檢驗期，MSE降低33.2%～50.4%。由此可知，由于PPCA能夠利用數(shù)據(jù)間的相關(guān)性補充缺失數(shù)據(jù)，其過程線更加平滑，有利于提高模型的擬合精度和預(yù)報精度；而采用PCA時，由于需要同步數(shù)據(jù)，損失了約45%的監(jiān)測信息，不利于監(jiān)控模型的建立，其精度相對較低。同時需要注意到，在采用PPC和PC方法時，所建模型的計算值與實測值均在每年的高溫季節(jié)(7月-8月)差值較大，最大可達5.6mm，該時期的差值是MSE的主要來源，而在其他時段的差值較小。其原因在于，在這一時段內(nèi)，壩前水位較高，且氣溫較高，大壩位移與水位、溫度、時效等環(huán)境量之間的關(guān)聯(lián)特征可能表現(xiàn)出線性與非線性耦合，而本文采用了工程中常用的線性算法建立監(jiān)控模型，導(dǎo)致模型計算值與實測值相差較大。但從總體上看，采用PPCA方法由于能夠獲得更多的樣本，因此在這一時段內(nèi)，仍然具有較高的精度。

表3 各PPC相對于各PC的MSE優(yōu)化量

3 結(jié)論

本文研究了在部分監(jiān)測信息缺失狀態(tài)下大壩整體性態(tài)的監(jiān)控方法，探討了PPCA在監(jiān)測信息不完整時，從多測點監(jiān)測資料中提取關(guān)鍵信息的有效性，并采用多元回歸分析建立了PPC的統(tǒng)計模型，得到以下結(jié)論：

(1)PPCA能夠在大壩安全監(jiān)測數(shù)據(jù)部分缺失的狀態(tài)下，根據(jù)數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)特征重構(gòu)監(jiān)測序列并提取關(guān)鍵信息，從而能夠有效避免采用傳統(tǒng)方法時，因需要同步數(shù)據(jù)而造成的監(jiān)測信息損失。

(2)PPC過程線較PC過程線平滑，更有利于監(jiān)控模型的建立。根據(jù)PPC建立的監(jiān)控模型能夠?qū)崿F(xiàn)大壩整體性態(tài)的實時監(jiān)控。算例表明，PPC監(jiān)控模型的各項誤差指標均優(yōu)于PC監(jiān)控模型，PPC監(jiān)控模型在預(yù)報階段的MSE值降低30%以上，模型預(yù)報精度顯著提高。