李健文，朱昊天，胡軍平，梁文斯鈺，賴伊倩，吳子明，吳 琦

(南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，江西 南昌 330099)

石墨烯是一種二維材料，可以通過微機械裂解的技術(shù)獲得[1]。石墨烯每個碳原子通過長度為1.42埃的共價鍵連接到其它三個碳原子，實現(xiàn)sp2雜化。由于石墨烯具有許多獨特性質(zhì)，在過去的二十年里，石墨烯已經(jīng)成為凝聚態(tài)物理中最有活力的領(lǐng)域之一[2-3]。這些性質(zhì)包括線性色散關(guān)系、高遷移率、非比尋常的量子霍爾效應(yīng)和熱電輸運等[4-6]。對這些性質(zhì)的研究為微電子學(xué)、自旋電子學(xué)、半導(dǎo)體和其他應(yīng)用領(lǐng)域開辟了新的途徑。

通過不同方式切割極大的石墨烯片，可以獲得鋸齒型或扶手椅型邊緣結(jié)構(gòu)的準一維石墨烯納米帶(GNRs)，它們是寬度小于50nm的單層石墨烯細條[7]。研究人員發(fā)現(xiàn)扶手椅型石墨烯納米帶沒有邊緣態(tài)，而鋸齒型石墨烯納米帶(ZGNRs)則存在局域邊緣態(tài)，這對其電子性質(zhì)有很大影響[4，8-9]。理論和實驗上的研究發(fā)現(xiàn)ZGNRs的電子輸運特性顯示出許多有趣的現(xiàn)象，使它成為自旋電子學(xué)等技術(shù)進步的合適候選材料[10-12]。在實驗上，ZGNRs相對容易獲得，它們的邊緣非常有利于與其他原子以及化合物成鍵。石墨烯納米帶的光譜取決于它們邊緣的性質(zhì)。

非平衡格林函數(shù)(NEGF)方法是研究電子輸運性質(zhì)的有效方法，其準確性和自適應(yīng)性較好。有研究人員利用NEGF方法重點研究了ZGNRs的邊緣粗糙度、表面粗糙度、空位缺陷、應(yīng)變效應(yīng)等對電子輸運性質(zhì)的影響[13-18]。然而，從微觀角度分析超胞內(nèi)原子數(shù)變化對電子輸運特性的影響是非常重要的，還需進一步研究，因為它會直接影響電子的透射。此外，從應(yīng)用角度考慮，這一模擬工作也是重要的。

鑒于此，本文利用基于最近鄰緊束縛近似的NEGF方法計算了ZGNRs的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)、態(tài)密度等電子性質(zhì)。為了高效計算電極的表面格林函數(shù)，采用了Sancho-Rubio快速迭代算法[19]。

1 模型和計算方法

1.1 模型

研究的ZGNRS如圖1所示，左右兩端分別連接兩個半無限長電極；中間矩形虛線框表示超胞；N表示鋸齒型石墨烯鏈的條數(shù)。

圖1 中心器件連接到左、右半無限長電極的示意圖。 中間的矩形虛線框表示的是超胞，N是鋸齒型石墨烯鏈的條數(shù)

為了研究ZGNRS的電子輸運，考慮緊束縛模型，這是一個正交的π軌道模型。系統(tǒng)的哈密頓量為

(1)

1.2 電子透射和非平衡格林函數(shù)

可以將整個系統(tǒng)分為三個不同的區(qū)域，即左電極、中心器件、右電極。在本工作中，主要對系統(tǒng)中心區(qū)域的電子動力學(xué)感興趣。

透射系數(shù)T是能量E的函數(shù)，表示在中心器件一端注入的電子透射到另一端的概率。透射系數(shù)可以用中心器件的格林函數(shù)和中心器件與電極的耦合來表示：

T(E)=Tr(ΓRGrΓLGa)，

(2)

其中Tr表示對整個空間自由度求跡，

(3)

是描述器件與半無限長電極之間耦合的譜函數(shù)，超前格林函數(shù)Ga是整個系統(tǒng)計入自能的推遲格林函數(shù)Gr的厄米共軛。Gr定義為

(4)

其中E是電子的能量，I是單位矩陣，H是緊束縛哈密頓矩陣，η是無限小的量，引入η的目的是消除奇點(繞過奇異點，這里的取值為10-5eV)。通過計算推遲格林函數(shù)，除了可以得到透射系數(shù)外，還可以得到態(tài)密度等。態(tài)密度(DOS)定義為

(5)

左、右兩電極引起的推遲自能項

(6)

和

(7)

其中g(shù)L和gR分別是左、右半無限長電極的表面格林函數(shù)。顯然，超前自能是推遲自能的厄米共軛。在最近鄰緊束縛近似中，只考慮中心器件與電極之間的最近鄰點耦合時HLC和HCR才不為零。顯然，問題的關(guān)鍵是如何獲得半無限長電極的表面格林函數(shù)。接下來將闡述一種計算半無限長電極的表面格林函數(shù)的有效方法——Sancho-Rubio算法[19]。

1.3 Sancho-Rubio算法

為了計算表面格林函數(shù)的方便，把整個系統(tǒng)看成由大量小塊組成，每個小塊為一個超胞，并為這些小塊標上號碼。中心器件的號碼依次為1，…，M，左電極的最右邊小塊標為0，右電極的最左邊小塊標為M+1。

求解左、右電極的表面推遲格林函數(shù)需要用到戴松方程

g=g(0)+g(0)Vg，

(8)

其中g(shù)(0)是小塊之間無相互作用時的格林函數(shù)，g是考慮小塊之間相互作用后的格林函數(shù)，V是小塊之間的相互作用。由此可推得左、右電極的表面推遲格林函數(shù)分別為

(9)

和

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

而兩個初始值由下面兩式定義

(15)

(16)

2 數(shù)值結(jié)果和討論

圖2給出的是最近鄰緊束縛近似下鋸齒型石墨烯鏈的條數(shù)N不同時的能帶結(jié)構(gòu)圖。注意到在導(dǎo)帶中有許多子帶。一個顯著特征是，在ka/π=1.0處，最高價帶和最低導(dǎo)帶相交。在費米能附近出現(xiàn)了部分簡并平帶，處于這些簡并平帶的電子完全局域在ZGNRS邊緣位置[20]。雖然邊緣態(tài)具有非鍵合特性，但是從石墨烯納米帶的兩側(cè)的能帶重疊產(chǎn)生鍵合和反鍵合構(gòu)型。從而實現(xiàn)了這些態(tài)沿納米帶的弱色散，結(jié)果形成了電子輸運的一個通道。單通道能量區(qū)的大小δ隨著納米帶寬度的增加而減小。隨著N的增大，簡并平帶的寬度越來越大。第二低導(dǎo)帶有一個下降，而第二高價帶有一個上升，N增加時子帶數(shù)目增多，子帶更接近。計算發(fā)現(xiàn)各種寬度的ZGNRS的帶結(jié)構(gòu)相類似，零能態(tài)出現(xiàn)在費米能零點，帶隙都為零，帶結(jié)構(gòu)具有金屬性。

圖2 能帶結(jié)構(gòu)。(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)N=6、10、32

圖3是鋸齒型石墨烯鏈的條數(shù)N不同時的透射系數(shù)隨能量變化的關(guān)系圖，圖3(a)～(c)分別對應(yīng)N=6、10、32。透射系數(shù)可以由式(2)～(4)式計算得到。從圖3看出，在費米能附近，透射譜出現(xiàn)了一個平緩的區(qū)域，顯示了導(dǎo)帶與價帶之間的帶隙特征。這說明體系在這個能量范圍內(nèi)幾乎沒有電子通過。圖3(a)中透射系數(shù)為1時的平緩區(qū)域能量范圍在-1.8eV與1.8eV之間。相比圖3(a)，發(fā)現(xiàn)N=10時透射系數(shù)為1對應(yīng)的能量范圍減小，N=32時能量范圍進一步減小。透射系數(shù)的一個重要特征是出現(xiàn)了量子化臺階。隨著N的增大，ZGNRS的透射系數(shù)的臺階數(shù)也增加。在高能態(tài)，電子隧穿過勢壘，導(dǎo)致更大的透射系數(shù)，透射系數(shù)的峰值也增大。這是由于N較大時，ZGNR的電子能帶更多，因而可以開啟更多的電子通道數(shù)目。這意味著電子可以通過中心器件而不經(jīng)歷電子—雜質(zhì)、電子—聲子、聲子—聲子等散射。

圖3 透射系數(shù) 圖4 N=10的透射系數(shù)能帶結(jié)構(gòu)

因為電子輸運性質(zhì)由其能帶結(jié)構(gòu)決定，為了更好的對比，將N=10時的透射系數(shù)和能帶結(jié)構(gòu)放在一起，如圖4所示。很明顯，透射系數(shù)出現(xiàn)了量子化臺階。能量增加時，可用的電子能帶的數(shù)目也在增加。電子能帶增加一條時，電子通道多開辟一個，透射系數(shù)也增加一個臺階。N=10時，最多可達10個通道。但是能量再增加后，電子通道數(shù)目又逐漸減少，透射系數(shù)也隨著減小。值得注意的是，因為鋸齒型石墨烯納米帶具有金屬性，在費米能附近，透射系數(shù)并沒有減小到零。

根據(jù)式(4)和式(5)，計算了鋸齒型石墨烯鏈的條數(shù)N不同時的DOS，如圖5所示。發(fā)現(xiàn)在費米能附近的態(tài)密度出現(xiàn)了一個很高的峰。這是由奇異的能帶結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的。這一個峰對應(yīng)的是邊緣態(tài)，因為它們在空間上位于鋸齒型石墨烯納米帶的兩個邊緣。在開始階段DOS隨著E的增加而增加，這說明有更多的電子實現(xiàn)了透射。但是后來隨著E的增加DOS反而減少，意味著透射的電子數(shù)也減少。隨著N的增加，費米能附近DOS的波動進一步加劇。

圖5 態(tài)密度

3 結(jié)束語

利用基于最近鄰緊束縛近似的非平衡格林函數(shù)技術(shù)得到了鋸齒型石墨烯納米帶寬度不同時的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)和態(tài)密度。研究發(fā)現(xiàn)Sancho-Rubio快速迭代算法可以方便、高效地用來計算電子輸運中的表面格林函數(shù)。結(jié)果表明，透射系數(shù)出現(xiàn)了量子化臺階。中心器件的寬度增大時，可用的電子能帶的數(shù)目和透射系數(shù)的臺階數(shù)也增加。電子能帶增加一條時，電子通道多開辟一個，透射系數(shù)也增加一個臺階。將在以后的工作中進一步研究有各種缺陷時石墨烯納米帶以及其他納米器件的電子輸運特性。