潘旦光 魯文艷

摘要：針對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)方程建立、運(yùn)動(dòng)方程求解的若干問(wèn)題進(jìn)行討論，主要包括動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)剛度系數(shù)的區(qū)別，頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的Fourier變換條件及對(duì)動(dòng)力反應(yīng)的影響，滯后阻尼體系的頻響函數(shù)等問(wèn)題。僅考慮集中質(zhì)量平動(dòng)自由度的體系，動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)是指平動(dòng)自由度產(chǎn)生單位位移而轉(zhuǎn)動(dòng)自由度放松情況下所受的力，靜力凝聚方法和單位位移法所得剛度系數(shù)是相同的;無(wú)論是無(wú)阻尼體系還是有阻尼體系，頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的Fourier變化關(guān)系都精確成立;時(shí)域特解包含穩(wěn)態(tài)振動(dòng)和伴生自由振動(dòng)，而頻域特解僅為體系的穩(wěn)態(tài)解，兩者之間的差別主要在振動(dòng)的初始階段，自振頻率越低，差別越大。對(duì)于滯后阻尼體系，負(fù)頻率的頻響函數(shù)應(yīng)為正頻率頻響函數(shù)的共軛函數(shù)。

關(guān)鍵詞：剛度系數(shù);靜力凝聚;時(shí)域方法;頻域方法;滯后阻尼

中圖分類號(hào)： TU311.3;G642.3?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)：1005-2909（2021）02-0079-11

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是結(jié)構(gòu)抗震抗風(fēng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，是土木工程專業(yè)非常重要的一門課程[1-3]。土木工程中大量的建筑為桿系結(jié)構(gòu)，因此，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容以集中質(zhì)量平面桿系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)為主。下面對(duì)桿系結(jié)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)方程的建立和求解中易混淆的若干問(wèn)題進(jìn)行討論。

在運(yùn)動(dòng)方程建立方面，平面桿系結(jié)構(gòu)每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，包括2個(gè)平動(dòng)自由度和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。在靜力學(xué)位移法中通過(guò)附設(shè)剛臂和鏈桿得到體系的自由度[4]，在動(dòng)力學(xué)計(jì)算中常采用集中質(zhì)量模型，且忽略質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因此動(dòng)力自由度僅包含平動(dòng)自由度[5]。此時(shí)，以剛度法建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)動(dòng)力自由度剛度系數(shù)的求解是計(jì)算的難點(diǎn)。事實(shí)上，動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)和靜力學(xué)剛度系數(shù)是有區(qū)別和聯(lián)系的，為說(shuō)明兩者之間的聯(lián)系，將通過(guò)靜力凝聚[6]的方法說(shuō)明動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)是轉(zhuǎn)動(dòng)自由度放松下，動(dòng)力平動(dòng)自由度產(chǎn)生單位位移所需施加的力。

在運(yùn)動(dòng)方程的求解方面，為求體系的動(dòng)力反應(yīng)常用時(shí)域方法或頻域方法。時(shí)域的計(jì)算方法很多，包括杜哈梅（Duhamel）積分法、中心差分法、Newmark法等直接積分法。時(shí)域法的核心是脈沖響應(yīng)函數(shù)，而頻域法的核心是頻響函數(shù)。雖然大部分教材中論述了脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)互為Fourier變化對(duì)，但是，在證明時(shí)通常將時(shí)域積分上限和下限擴(kuò)展到無(wú)窮大，

然后，令時(shí)域結(jié)果等于頻域結(jié)果[7-8]。這易于造成時(shí)域解和頻域解總是相等及脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)成為Fourier變換對(duì)僅適用于有阻尼體系的誤解。事實(shí)上，由于伴生自由振動(dòng)的存在，時(shí)域解與頻域解有一定的差別。無(wú)論體系有無(wú)阻尼，脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)Fourier變化關(guān)系都是成立的。同時(shí)，隨著大量材料耗能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與頻率無(wú)關(guān)[9-10]，此時(shí)，采用滯后阻尼模型更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但直接利用滯后阻尼建立的頻響函數(shù)是關(guān)于頻率的偶函數(shù)，將導(dǎo)致頻域計(jì)算結(jié)果不正確。針對(duì)頻域解和時(shí)域解的問(wèn)題，首先從廣義Fourier變換角度討論脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)Fourier變化關(guān)系，然后，討論頻域解和時(shí)域解的差異，以及滯后阻尼模型的復(fù)系數(shù)動(dòng)力方程表示方法。

一、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系

所謂的剛度系數(shù)是指產(chǎn)生單位位移所需施加的力。這個(gè)定義既適用于靜力學(xué)剛度系數(shù)又適用于動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)。求剛度系數(shù)時(shí)，首先用附加約束將所有自由度約束，然后，使待求自由度產(chǎn)生單位位移，求解所需施加的力。差別在于靜力學(xué)剛度系數(shù)求解時(shí)，附加約束針對(duì)所有的平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。對(duì)于忽略質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的集中質(zhì)量模型，動(dòng)力自由度不包含轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此，附加約束僅為約束平動(dòng)自由度的附加鏈桿，即動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)求解時(shí)，附加鏈桿產(chǎn)生單位位移時(shí)，桿端是存在轉(zhuǎn)角的。因此，動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)可采用靜力學(xué)中的位移法進(jìn)行計(jì)算[11]，具體求解方法如下：

（1）在平動(dòng)自由度相關(guān)位移處施加鏈桿約束;

（2）使鏈桿產(chǎn)生單位位移;

（3）用位移法或力法求解由超靜定結(jié)構(gòu)支座位移引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，并畫(huà)出彎矩圖;

（4）根據(jù)結(jié)構(gòu)彎矩圖計(jì)算附加約束的支座反力，即為動(dòng)力自由度的剛度系數(shù)。

以帶集中質(zhì)量的橫梁剛度為有限值的剛架為例，說(shuō)明動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)的求解，如圖1（a）所示。在忽略桿件軸向變形的情況下，該結(jié)構(gòu)只有一個(gè)水平自由度。為求解體系的剛度系數(shù)，可在水平位移方向附設(shè)水平鏈桿，如圖1（b）所示，并使水平鏈桿產(chǎn)生單位位移，此時(shí)附加鏈桿所受的力就是剛度系數(shù)。因此，通過(guò)支座位移下超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算，可繪制單位位移下的彎矩圖，如圖1（c）所示，取橫梁為隔離體，如圖1（d）所示，得到該體系的剛度系數(shù)k=84EI5l3，

則體系的自由振動(dòng)方程為

由上面的分析可知，剛度依然是產(chǎn)生單位位移所需施加的力，這和靜力學(xué)的定義一樣。但橫梁剛度為有限值，圖1（b）在產(chǎn)生單位水平位移的同時(shí)，節(jié)點(diǎn)B和C是存在角位移的。靜力學(xué)中對(duì)每個(gè)角位移和線位移分別產(chǎn)生單位位移，其余自由度位移為零下求得剛度系數(shù)。動(dòng)力學(xué)中，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)的動(dòng)力荷載，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度可由平動(dòng)自由度根據(jù)靜力關(guān)系求解，而不作為獨(dú)立自由度。這表明靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的剛度系數(shù)本質(zhì)是一樣的，動(dòng)力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)自由度可以采用靜力方法由平動(dòng)自由度求解，無(wú)需作為獨(dú)立變量而在形成動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程前將轉(zhuǎn)動(dòng)自由度凝聚。從這個(gè)角度看，集中質(zhì)量的剛架體系，平動(dòng)自由度的動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)實(shí)際上就是靜力學(xué)剛度系數(shù)采用靜力凝聚法而得到的結(jié)果。因此，動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)計(jì)算時(shí)，可以先采用靜力學(xué)方法計(jì)算平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的剛度矩陣，采用靜力凝聚的方法將轉(zhuǎn)動(dòng)自由度凝聚后所得的剛度就是動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)。根據(jù)這個(gè)思路，在求解圖1的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可先假定體系具有3個(gè)自由度：橫梁的平動(dòng)自由度u，B點(diǎn)、C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θ1和θ2，如圖2所示。

則由位移法可得體系的靜力學(xué)剛度矩陣

[K]=k11k12k13k21k22k23k31k32k33（2）

式中：剛度系數(shù)k11=24EIl3，k22=k33=8EIl，k12=k21=k13=k31=-6EIl2，k23=k32=2EIl。用u，θ1，θ2表示圖1（a）體系的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為

m00000000u¨θ¨1θ¨2+k11k12k13k21k22k23k31k32k33uθ1θ2=000 （3）

由于θ1，θ2不存在慣性力，采用靜力凝聚法[7]可得

θ1θ2=-k22k23k32k33-1k21k31u（4）

將式（4）代入式（3）第一行的方程可得

mu¨+ku=0（5）

式（5）中

k=k11-k12k13k22k23k32k33-1k21k31（6）

將剛度系數(shù)代入式（6）可得k=84EI5l3，與式（1）中的剛度系數(shù)k相同。由式（4）可知，在得到u的時(shí)程后，可采用靜力方法得到θ1和θ2的時(shí)程，即轉(zhuǎn)動(dòng)自由度存在但不獨(dú)立。因此，從剛度系數(shù)的角度看，靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)是相同的，區(qū)別在于以集中質(zhì)量桿系結(jié)構(gòu)求解平動(dòng)自由度的動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)時(shí)，桿端的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度是放松的，而求解平動(dòng)自由度的靜力學(xué)剛度系數(shù)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度是約束的。

二、頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

在任意荷載f（t）作用下，單自由度粘滯阻尼體系的強(qiáng)迫振動(dòng)方程可表示為

mu¨+2mωζu·+ku=f（t）（7）

式中：u，u·和u¨分別為位移、速度和加速度，m和k分別為體系的質(zhì)量和剛度系數(shù)，ζ為體系的阻尼比，ω=k/m為體系的自振頻率。

在零初始條件下，由杜哈梅積分可得式（7）的時(shí)域分析結(jié)果

u（t）=∫t0p（τ）h（t-τ）dτ（8）

式中：h（t）為脈沖響應(yīng)函數(shù)。利用Fourier變換可得式（7）的頻域解為

u（t）=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ（9）

式中：F（θ）為f（t）的Fourier變化，H（θ）為頻響函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)為Fourier變換對(duì)。 即：

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt

h（t）=12π∫+∞-∞H（θ）eiθtdθ（10）

為證明式（10）中的Fourier變換，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教材[7-8]通常將時(shí)域積分上限和下限擴(kuò)展到無(wú)窮大，并令時(shí)域解和頻域解相等，即：

u（t）=∫+∞-∞p（τ）h（t-τ）dτ=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ （11）

在時(shí)域積分下限方面，由于t<0時(shí)，p（t）=0，因此，時(shí)域積分下限由0變?yōu)?∞不影響計(jì)算結(jié)果。在時(shí)域積分上限方面，克拉夫[7]認(rèn)為積分的啞標(biāo)大于積分上限時(shí)，脈沖響應(yīng)函數(shù)為零，因此，積分上限由t改變?yōu)?∞不影響積分結(jié)果。而俞載道[8]則認(rèn)為對(duì)于有阻尼體系，當(dāng)時(shí)域積分上限為+∞時(shí)，初始條件的影響對(duì)體系的影響可忽略不計(jì)，體系進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。這些解釋易于產(chǎn)生以下兩方面誤解：（1）根據(jù)克拉夫的解釋，易于誤解時(shí)域解與頻域解在任意時(shí)刻的位移反應(yīng)都相等。（2）根據(jù)俞載道的解釋，只有當(dāng)體系存在阻尼時(shí)，瞬態(tài)振動(dòng)的影響才能被消除，此時(shí)脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)互為Fourier變化對(duì)才成立。為此，從數(shù)學(xué)角度證明無(wú)阻尼體系（ζ=0）和有阻尼體系（ζ≠0）的脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)互為Fourier變換對(duì)的關(guān)系。

1.無(wú)阻尼體系

無(wú)阻尼體系的脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為

h（t）=1mωsinωtt00t<0（12）

根據(jù)Fourier變換的定義，式（12）的Fourier變換可表示為

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt=1mω∫+∞0e-iθtsinωtdt （13）

利用Laplace變換[12]

∫+∞0e-atsinbtdt=ba2+b2（14）

將a=iθ，b=ω代入式（14）可得

H（θ）=1m（ω2-θ2）（15）

式（15）所得結(jié)果就是無(wú)阻尼體系的頻響函數(shù)，這表明，無(wú)阻尼體系的頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)互為Fourier變化對(duì)是成立的，無(wú)需利用阻尼消除瞬態(tài)反應(yīng)。

2.有阻尼體系

有阻尼體系的脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為

h（t）=1mωde-ζωtsinωdtt00t<0 （16）

式中：ωd=ω1-ζ2為有阻尼體系的自振頻率。根據(jù)Fourier變換的定義，式（16）的Fourier變換可表示為

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt=1mωd∫+∞0e-（ζω+iθ）tsinωdtdt（17）

將a=ζω+iθ，b=ωd代入式（14）可得

H（θ）=1m（ω2-θ2+i2ζωθ）（18）

式（18）所得結(jié)果就是有阻尼體系的頻響函數(shù)。式（15）和式（18）由脈沖響應(yīng)函數(shù)Fourier變換的定義直接計(jì)算得到，這表明無(wú)論體系是否存在阻尼，脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻響函數(shù)都互為Fourier變換對(duì)，而無(wú)需引入其他條件。

三、時(shí)域解和頻域解的差異

在非零初始條件下，任意荷載下式（7）的時(shí)域完全解可表示為

u（t）=e-ζωt（A1cosωdt+A2sinωdt）+∫t0 f（τ）h（t-τ）dτ （19）

u·（t）=-ζωe-ζωt（A1cosωdt+A2sinωdt）+ωde-ζωt（-A1sinωdt+A2cosωdt）+∫t0 f（τ）dh（t-τ）dtdτ（20）

在同樣情況，頻域的完全解可表示為

u（t）=e-ζωt（B1cosωdt+B2sinωdt）+12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ（21）

u·（t）=-ζωe-ζωt（B1cosωdt+B2sinωdt）+

ωde-ζωt（-B1sinωdt+B2cosωdt）+12π∫+∞-∞ iθH（θ）F（θ）eiθtdθ（22）

式（20）～式（22）是在相同初始條件下同一體系的位移和速度反應(yīng)，因此，兩者的計(jì)算結(jié)果必然完全相同。但是，方程中的待定常數(shù)是不同的。若已知體系的初始位移和初始速度為u（0）和u·（0），則由式（19）和式（21）可得

u（0）=A1=B1+12π∫+∞-∞ H（θ）F（θ）dθ（23）

由式（20）和式（22）可得

u·（0）=-ζωA1+ωdA2=-ζωB1+ωdB2+12π∫+∞-∞ iθH（θ）F（θ）dθ（24）

A1和A2表示由初始條件所引起的自由振動(dòng)，當(dāng)體系為零初始條件時(shí)，A1和A2都等于零。事實(shí)上，體系的瞬態(tài)振動(dòng)既包括由初始條件所引起的自由振動(dòng)，還包括受強(qiáng)迫振動(dòng)荷載引起的伴生自由振動(dòng)[11]。而式（9）頻域解的計(jì)算結(jié)果僅包含穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，因此，頻域完全解中的待定常數(shù)B1和B2包括自由振動(dòng)和伴生自由振動(dòng)的影響。從這個(gè)角度看，A1和A2實(shí)際上僅反映了體系自由振動(dòng)。兩種求解方法待定系數(shù)的差別在于伴生自由振動(dòng)，即：

A1-B1=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）dθ（25）

A2-B2=12πωd∫+∞-∞（ζω+iθ）H（θ）F（θ）dθ （26）

由此可知，對(duì)于有阻尼體系，當(dāng)t→+∞時(shí)，瞬態(tài)振動(dòng)的影響可忽略不計(jì)，式（11）成立。對(duì)于無(wú)阻尼體系和有阻尼體系的初始階段，式（11）是不成立的。因此，式（11）僅在有阻尼體系t→+∞時(shí)才成立，而不適用于無(wú)阻尼體系，則以此為基礎(chǔ)進(jìn)行頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的證明不是很嚴(yán)密。

為加強(qiáng)對(duì)時(shí)域解和頻域解差別的理解，下面分別用時(shí)域方法和頻域方法計(jì)算簡(jiǎn)諧荷載和地震作用下單自由度體系的解。

算例1：分別用時(shí)域方法和頻域方法計(jì)算無(wú)阻尼單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載f（t）=f0sinθ1t作用下的特解。

（1）時(shí)域解

根據(jù)式（12）的脈沖響應(yīng)函數(shù)，由式（8）可得

u（t）=f0mω∫t0sinθ1τsin[ω（t-τ）]dτ=

-f0kθ1/ω1-θ21/ω2sinωt+f0k11-θ21/ω2sinθ1t（27）

（2）頻域解

首先計(jì)算荷載的Fourier變換

F（θ）=f0∫+∞-∞sinθ1te-iθtdt=iπf0[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]（28）

式中：δ為單位脈沖函數(shù)。將式（28）和式（15）代入（9），可得

u（t）=f0i2∫+∞-∞H（θ）[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]eiθtdθ=f0k11-θ21/ω2sinθ1t （29）

對(duì)比式（27）和式（29）可知，時(shí)域解比頻域解多一項(xiàng)與自振頻率相關(guān)的函數(shù)-f0kθ1/ω1-θ21/ω2sinωt。這項(xiàng)是體系的伴生自由振動(dòng)，而頻域解僅包含穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，無(wú)阻尼體系的時(shí)域解和頻域解并不相同。

算例2：分別用時(shí)域方法和頻域方法計(jì)算有阻尼單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載f（t）=f0sinθ1t作用下的特解。

（1）時(shí)域解

根據(jù)式（16）的脈沖響應(yīng)函數(shù)，有阻尼體系的杜哈梅積分為

u（t）=f0mωd∫t0e-ζω（t-τ）sinθ1τsin[ωd（t-τ）]dτ=

-e-ζωt（ζωD+θ1Cωdsinωdt+Dcosωdt）+Csinθ1t+Dcosθ1t（30）

式中：C=f0mω21-v2（1-v2）2+（2ζv）2，D=f0mω2-2ζv（1-v2）2+（2ζv）2，v=θ1/ω。

（2）頻域解

荷載的Fourier變換如式（28）所示，將式（28）和式（18）代入（9），整理后可得

u（t）=f0i2∫+∞-∞H（θ）[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]eiθtdθ=Csinθ1t+Dcosθ1t （31）

式（30）和式（31）再一次表明時(shí)域解中包含伴生自由振動(dòng)，而頻域解僅包含穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。對(duì)于有阻尼體系，時(shí)域積分上限趨向于無(wú)窮大時(shí)伴生自由振動(dòng)趨向于零，時(shí)域解的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解等于頻域解。

算例3：地震反應(yīng)分析

圖3所示天津波為1976年11月25日在天津醫(yī)院臺(tái)站所采集的地震波，地震波的采樣時(shí)間間隔為0.01 s，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為20.48 s。已知體系的阻尼比ζ=0.05，初始速度和初始位移為零，則天津波地震輸入作用下自振頻率分別為1 Hz和0.1 Hz體系的時(shí)域解和頻域解如圖4所示。

由圖4可知，自振頻率相對(duì)較高的1 Hz體系，在地震的初始階段，時(shí)域解和頻域解有明顯的差別，但6 s后，時(shí)域解和頻域解基本重合;而自振頻率很低的0.1 Hz體系，在整個(gè)地震持時(shí)范圍內(nèi)，時(shí)域解和頻域解都有明顯差別。為分析自振頻率導(dǎo)致時(shí)域解和頻域解差別的原因，將地震作用的等效荷載f（t）=-mu¨g（t）進(jìn)行離散Fourier變換，即

f（t）=N/2j=0ajcosθjt+N/2-1j=1bjsinθjt（32）

式中：N為時(shí)間的等分點(diǎn)數(shù)，θj=2πj/NΔts （j=0， 1， 2，…， N/2），Δts是采樣時(shí)間間隔，tn=nΔts （n=0，1，2，…，N-1），

a0=1NN-1n=0f（tn），aN/2=1NN-1n=0f（tn）cos（θN/2tn）。

當(dāng)j=1，2，…，N/2-1時(shí)，

aj=2NN-1n=0f（tn）cos（θjtn），bj=2NN-1n=0f（tn）sin（θjtn）。

對(duì)于每項(xiàng)簡(jiǎn)諧荷載，時(shí)域解都包括伴生自由振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而頻域解僅有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。即體系的時(shí)域解為

u（t）=-e-ζωtN/2j=0（Acjsinωdt+Bcjcosωdt）-

e-ζωtN/2-1j=1（Asjsinωdt+Bsjcosωdt）+

N/2j=0（Ccjsinθjt+Dcjcosθjt）+

N/2-1j=1（Csjsinθjt+Dsjcosθjt）（33）

體系的頻域解為

u（t）=N/2j=0（Ccjsinθjt+Dcjcosθjt）+N/2-1j=1（Csjsinθjt+Dsjcosθjt）（34）

式中：

Acj=ζωDcj+θjCcjωd，Bcj=Dcj，

Asj=ζωDsj+θjCsjωd，Bsj=Dsj，

Ccj=ajk2ζvj（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Dcj=ajk1-v2j（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Csj=bjk1-v2j（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Dsj=bjk-2ζvj（1-v2j）2+（2ζvj）2。

式（33）右邊的第一和第二項(xiàng)為不同激振頻率伴生自由振動(dòng)引起的瞬態(tài)振動(dòng)，式（34）頻域解中沒(méi)有伴生自由振動(dòng)而只有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。由于瞬態(tài)振動(dòng)是以e-ζωt衰減，當(dāng)阻尼比一定時(shí)，瞬態(tài)振動(dòng)衰減與體系的自振頻率有關(guān)，自振頻率越高，衰減越快。因此，1 Hz體系經(jīng)過(guò)6個(gè)自振周期后的瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)相比可以忽略不計(jì)。而0.1 Hz體系在20 s的時(shí)間內(nèi)僅為2個(gè)自振周期，對(duì)于阻尼比為0.05的體系，瞬態(tài)振動(dòng)僅衰減了0.47，整個(gè)振動(dòng)持時(shí)內(nèi)時(shí)域分析和頻域分析都有明顯差別。因此，對(duì)于長(zhǎng)周期體系，由頻域分析得到體系的穩(wěn)態(tài)解，可能低估結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。

四、滯后阻尼體系的頻響函數(shù)

式（7）中的粘滯阻尼體系，阻尼力與速度成正比，具有計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。粘滯阻尼的耗能與頻率相關(guān)，但很多材料的耗能與頻率無(wú)關(guān)，此時(shí)采用阻尼力與位移成正比、相位差π/2的滯后阻尼模型更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果[5]。

fd=-iηku（35）

式中： fd為阻尼力，i=-1為純虛數(shù)，k為剛度系數(shù)，η為滯后阻尼系數(shù)。在任意荷載f（t）作用下，滯后阻尼體系的運(yùn)動(dòng)方程為[13]

mu¨+k（1+iη）u=f（t）（36）

式中：u為復(fù)位移反應(yīng)，u¨為復(fù)加速度反應(yīng)。令f（t）=eiθt，所得體系的反應(yīng)即為體系的頻響函數(shù)

H（θ）=1-θ2m+k（1+iη）（37）

顯然，式（37）是關(guān)于θ的偶函數(shù)，即

H（θ）=H（-θ）（38）

式（38）表明負(fù)頻率和正頻率的頻響函數(shù)是不共軛的。由于荷載的Fourier變換會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)上的負(fù)頻率。為使位移頻域解Fourier逆變化后的時(shí)域解實(shí)部正確，正負(fù)激振頻率下的頻響函數(shù)應(yīng)為共軛復(fù)數(shù)。因此，為確保滯后阻尼體系頻域解的正確性，應(yīng)將式（37）的頻響函數(shù)[14]更改為

H（θ）=1-θ2m+k（1+isgn（θ）η）（39）

式中：sgn為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)θ>0時(shí)，sgn（θ）=1;當(dāng)θ<0時(shí)，sgn（θ）=-1。下面以f（t）=cosθ1t（θ1>0）為例，討論式（39）的必要性。已知cosθ1t的廣義Fourier變換為

∫+∞-∞cosθ1t·e-iθtdt=πδ（θ+θ1）+δ（θ-θ1） （40）

若以式（37）為頻響函數(shù)，則體系的位移解為

u=121-θ21m+（1+iη）keiθ1t+121-θ21m+（1+iη）ke-iθ1t=cosθ1t-θ21m+（1+iη）k（41）

若以式（39）為頻響函數(shù)，則體系的位移解為

u=121-θ21m+（1+iη）keiθ1t+121-θ21m+（1-iη）ke-iθ1t=（k-θ21m）cosθ1t+ηksinθ1t（k-θ21m）2+（ηk）2（42）

對(duì)于復(fù)系數(shù)的微分方程，f（t）=cosθ1t下方程的解等于f（t）=eiθ1t下方程解的實(shí)部[15]。在f（t）=eiθ1t下方程的復(fù)反應(yīng)為

u=1-θ21m+（1+iη）keiθ1t（43）

顯然，式（42）和式（43）的實(shí)部相等，而式（41）并不等于式（43）的實(shí)部，因此，對(duì)滯后阻尼體系進(jìn)行頻域分析時(shí)，應(yīng)在滯后阻尼中考慮激振頻率符號(hào)的影響，以使負(fù)頻率和正頻率的頻響函數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。

五、結(jié)語(yǔ)

1）動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)剛度系數(shù)從原理上是相同的。對(duì)于忽略質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的集中質(zhì)量模型，動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)是指平動(dòng)自由度產(chǎn)生單位位移而轉(zhuǎn)動(dòng)自由度放松下所受的力。動(dòng)力學(xué)剛度系數(shù)也可直接利用靜力學(xué)剛度矩陣，采用靜力凝聚的方法計(jì)算。在動(dòng)力學(xué)中，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度并非獨(dú)立變量，利用靜力凝聚方法可由平動(dòng)自由度反應(yīng)時(shí)程計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)自由度反應(yīng)時(shí)程。

2）無(wú)論是無(wú)阻尼體系還是有阻尼體系，頻響函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的Fourier變化都精確成立。時(shí)域特解包含穩(wěn)態(tài)振動(dòng)和伴生自由振動(dòng)，而頻域特解僅為體系的穩(wěn)態(tài)解，兩者之間的差別主要在振動(dòng)的初始階段，自振頻率越低，瞬態(tài)振動(dòng)的持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，此時(shí)頻域解在較長(zhǎng)的時(shí)程內(nèi)存在誤差。

3）對(duì)于滯后阻尼體系，在進(jìn)行頻域分析時(shí)，頻響函數(shù)應(yīng)在滯后阻尼中考慮激振頻率符號(hào)的影響，以使負(fù)頻率和正頻率的頻響函數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。參考文獻(xiàn)：

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Analysis of several problems in structural dynamics

PAN Danguanga，b，LU Wenyana

（a.Department of Civil Engineering; b.Beijing Key Laboratory of Urban Underground

Space Engineering， University of Science and Technology

Beijing， Beijing 100083，P. R. China）

Abstract：

To discuss several problems in the process of establishing and solving equations of motion in structural dynamics teaching. It mainly includes the difference of stiffness coefficients between dynamic and static mechanics as well as their relationship by the static condensation， the Fourier transformation condition from impulse response function to frequency response function and their effect on dynamic response， the frequency response function of the hysteretic damping system. For the lumped-mass system with only translational degree of freedom， the stiffness in dynamics is the force required along DOF due to unit displacement at translational DOF and relaxation of rotational DOFs， and the stiffness coefficients obtained by the static condensation method and the unit displacement method are identical; Whether a system with damping or not， the Fourier transformation relationship between the frequency response function and the impulse response function is accurate; the particular solution includes steady-state vibration and free adjoint vibration in the time domain， however， only the steady-state vibration in the frequency domain. Their difference is evident for the initial stage of vibration. The difference is more noticeable for small natural frequency. For a system with hysteretic damping， the frequency response function of the negative frequency should be the conjugate function of that of the corresponding positive frequency.

Key words：

stiffness coefficients; static condensation; time domain method; frequency domain method; hysteretic damping

（責(zé)任編輯 周 沫）