劉 乾，黃小津，李璐璐，張 輝

（中國工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽621999）

1 引言

作為表面微觀形貌檢測的有效手段，干涉顯微鏡廣泛應(yīng)用于制造、微電子、生物等多個領(lǐng)域。由于干涉條紋的周期性，所得到的相位壓縮在［0，2π］區(qū)間，干涉顯微鏡無法分辨干涉條紋的級次，因而不能分辨表面上大于半波長的高度差異。為確定干涉條紋級次，研究人員提出了相干掃描干涉和雙波長（或多波長）干涉方法。前者通過掃描表面全高度范圍，利用相干包絡(luò)確定零級條紋而展開相位［1］；后者通過比較不同波長的相位差異，采用合成較長的拍波拓展了高度范圍限制［2］。這兩種方法的本質(zhì)都是確定條紋的級次。相較于相干掃描干涉，雙波長干涉顯微鏡無需在表面全高度范圍內(nèi)掃描，具備速度快、效率高的優(yōu)勢。

在高度重構(gòu)過程中，光波長的標(biāo)定精度是雙波長干涉顯微鏡的精度來源，因此必須對光波長進(jìn)行標(biāo)定。一種直接的標(biāo)定方法是采用光譜儀測量光波長。對于激光光源來講，由于激光線寬非常窄（通常在0.1 nm以下），能夠很精確地確定單個光波長的平均波長，甚至可以直接以名義波長作為實際波長［3-4］。而對于寬光譜的照明（如LED作為光源），則需要采用光譜儀對波長測量后并計算中心波長［5］。此外，在數(shù)值孔徑較大的干涉顯微鏡中，物鏡出射的聚焦光線會引起傾斜效應(yīng)，在標(biāo)定照明波長之外還需要根據(jù)物鏡的數(shù)值孔徑計算傾斜因子，得到等效波長［6］。為直接溯源到長度基準(zhǔn)上，也可以采用標(biāo)準(zhǔn)件或標(biāo)準(zhǔn)長度對波長進(jìn)行標(biāo)定。Liang等在三波長干涉中采用461 nm的標(biāo)準(zhǔn)臺階對三個等效波長進(jìn)行嚴(yán)格標(biāo)定，并認(rèn)為濾光片帶寬越窄，波長的校準(zhǔn)精度越高［7］。郭彤等以壓電陶瓷掃描器的步長作為長度基準(zhǔn)，利用小波方法分別確定三個等效波長，可以達(dá)到1 nm的標(biāo)定精度［8］。上述標(biāo)定方法利用了長度基準(zhǔn)與波長的關(guān)聯(lián)，以長度整體誤差的最小化為目標(biāo)。然而，當(dāng)前的標(biāo)定方法沒有考慮光波長之間的關(guān)系，而這種關(guān)系的缺失會給表面高度重構(gòu)帶來局部誤差（如跳變點(diǎn)），在光滑表面測量時產(chǎn)生不可接受的誤差，嚴(yán)重影響標(biāo)定結(jié)果。

本文基于雙波長干涉表面的高度重構(gòu)誤差分析，在波長與長度基準(zhǔn)建立關(guān)聯(lián)之外，增加了對光波長之間的關(guān)聯(lián)，提出了一種雙約束的波長標(biāo)定方法。首先理論分析了高度重構(gòu)方法及波長誤差對表面高度重構(gòu)的影響，然后介紹雙約束的波長標(biāo)定方法，最后以計算機(jī)仿真和實驗對標(biāo)定方法進(jìn)行了驗證。由于多波長干涉可以視為雙波長干涉的拓展，因此本文主要以雙波長干涉為例展開研究。

2 光波長誤差對高度重構(gòu)的影響

2.1 表面高度重構(gòu)

兩個光波長λ1，λ2對應(yīng)的相位分別為φ1，φ2，假設(shè)λ1＜λ2。將兩個相位相減，得到差分位相ΦD′=φ1-φ2，其 對 應(yīng) 的 拍 波 波 長 為ΛD=λ1λ2/（λ2-λ1）。若 表 面 總 高 度 大 于ΛD/4，則 需 要 對ΦD′在空間展開，展開后的相位記為ΦD。差分相位對應(yīng)ΛD的級次為：

條紋級次MD由整數(shù)I和小數(shù)部分F組成，即M=I+F。式（1）得到級次包含了整數(shù)部分和小數(shù)部分。光相位φ2在0～2π之間，其小數(shù)部分可以簡單地計算為F2=φ2/2π，但其整數(shù)部分是未知的。根據(jù)相位與波長之間的理論關(guān)系：M2λ2=MDΛD=h/2，計算表面光相位的整數(shù)部分為I2=MDΛD/λ2-F2。由于相位中含有誤差，則計算的I2未必是整數(shù)，但可以通過四舍五入將它近似為整數(shù)。加上已經(jīng)得到的小數(shù)部分F2，λ2相位的級次可以計算為：

這樣就可以通過M2計算表面高度：

式（3）計算的表面高度是直接從光波長相位得到的，能夠避免差分相位誤差隨波長放大。更進(jìn)一步地，為了減小表面高度重構(gòu)誤差，可以構(gòu)建波長更短的和頻相位［5］，即ΦS=φ1+φ2，其對應(yīng)的波長為ΛS=λ1λ2/（λ1+λ2）。和頻相位條紋級次的小數(shù)部分為FS=φS/2π。從光波長估算和頻相位的級次：

計算表面高度為：

利用式（5）從和頻相位重構(gòu)的高度能夠獲得比單波長干涉更低的噪聲［5］。

2.2 光波長誤差的影響

光波長誤差對表面高度重構(gòu)最主要的影響體現(xiàn)在相對高度的縮放上，如式（3）和式（5），表面上不同點(diǎn)之間的高度誤差與波長誤差成正比。實際上，在采用式（2）和式（4）估算級次時，波長誤差也會導(dǎo)致級次估算誤差。假設(shè)光波長λi的誤差為Δλi，相對誤差為εi=Δλi/λi。光波長誤差相互獨(dú)立，通過偏微分可以計算兩個合成波長的誤差分別為：

根據(jù)式（2）和式（4），λ2相位、和頻相位的級次估算誤差e2，eS分別為：

若級次估算誤差e的絕對值小于1/2，則在式（2）和式（5）的四舍五入計算時會被忽略，不會導(dǎo)致跳變誤差；否則，將會產(chǎn)生級次估算誤差，表現(xiàn)為重構(gòu)表面上半波長整數(shù)倍的跳變點(diǎn)。為保證重構(gòu)表面高度不因波長誤差出現(xiàn)跳變點(diǎn)，需保證式（7）中ε1-ε2=0。該約束的物理意義是，允許標(biāo)定的光波長存在一定的誤差，但波長誤差之比需要與真實波長比例相等，即λ1/λ2的比值應(yīng)當(dāng)與真實波長比值相等。

從和頻相位重構(gòu)表面高度的誤差，對式（5）進(jìn)行微分可得：

為 保 證 高 度 的 準(zhǔn) 確 性，應(yīng) 使λ2ε1+λ1ε2=0。該條件的物理意義是，若波長的相對誤差與波長成反比且符號相反，則高度誤差為零。

考察式（7）和式（8）發(fā)現(xiàn)，式（7）要求波長誤差同號，而式（8）則要求二者反號。因此，跳變誤差與高度誤差的限定能夠?qū)獠ㄩL形成足夠的約束條件，進(jìn)而獲得確定的波長值。

3 雙約束標(biāo)定方法

3.1 方法原理

為兼顧整體高度精度并抑制跳變點(diǎn)，本文提出一種雙約束的光波長標(biāo)定方法。其基本思想是：以跳變點(diǎn)最少的重構(gòu)結(jié)果約束光波長比值，以基準(zhǔn)長度約束光波長算術(shù)值（以和頻波長為約束對象），如圖1所示（彩圖見期刊電子版）。該方法只需要一個臺階高度標(biāo)準(zhǔn)件（臺階高度h0應(yīng)小于ΛD/2）。具體流程為：

圖1 波長雙約束標(biāo)定原理示意圖Fig.1 Principle diagram of two-wavelength constraints calibration

第1步：分別以兩種光波長照明，測量標(biāo)準(zhǔn)件平面部分的光波長相位；

第2步：兩個光波長在預(yù)先估計的區(qū)間λi∈［λi，min，λi，max］內(nèi)變化，按照式（1）、式（2）、式（4）和式（5）進(jìn)行表面高度重構(gòu)，將重構(gòu)平面校平，判斷跳變點(diǎn)（高度絕對值大于ΛS/4的點(diǎn)），統(tǒng)計每種波長組合下的跳變點(diǎn)數(shù)量；

第3步：從跳變點(diǎn)最少的波長組合確定光波長的比值：

這樣可以確定波長比值的約束（圖1紅色直線）。

第4步：分別以兩種光波長照明，測量標(biāo)準(zhǔn)件臺階部分的光波長相位；

第5步：式（2）和式（4）可以轉(zhuǎn)換成：

因此，根據(jù)式（10）得到的相位級次與波長無關(guān)，僅由相位和波長比值決定。按照式（5）、式（10）進(jìn)行表面高度重構(gòu)，得到以和頻波長級次為計量單位的臺階高度M0。由此可確定和頻波長的數(shù)值為：

此時，通過和頻波長約束了光波長的數(shù)值（即圖1的藍(lán)色曲線）。

第6步：求解式（9）和式（11）組成的二元方程組，得到光波長的數(shù)值（圖1中的交叉點(diǎn)）。

通過上述步驟得到的兩個光波長數(shù)值具有雙重約束，能夠保證精確的高度溯源，同時也能避免波長標(biāo)定誤差。

3.2 仿 真

對光波長的標(biāo)定方法在操作層面進(jìn)行仿真。光源為綠光和紅光，波長分別為λ1=0.523 μm，λ2=0.625μm，λ1/λ2=0.8368，合成拍波波長ΛD=3.2μm，和頻波長ΛS=0.285μm。生成的相位中加入了標(biāo)準(zhǔn)差為0.03 rad的隨機(jī)相位噪聲。

3.2.1 確定波長比值

生成平面的整體高度約為7μm。在波長數(shù)值±10 nm區(qū)間內(nèi)進(jìn)行波長組合并重構(gòu)表面高度。由于被測面為一個平面，理論上校平的平面上每點(diǎn)殘差都應(yīng)接近于零值。然而，當(dāng)波長誤差導(dǎo)致表面上存在跳變點(diǎn)時，校平后的表面上存在高度明顯大于ΛS/2的點(diǎn)。作為示例，（λ1，λ2）組合分 別 為（0.515μm，0.615μm）、（0.523μm，0.622μm）時，重構(gòu)并校平后的表面如圖2所示。對于（0.515μm，0.615μm）的波長數(shù)值，比值r=0.8373，接近準(zhǔn)確值，因此校平后的表面殘差呈現(xiàn)納米量級的隨機(jī)分布，不存在跳變點(diǎn)。對于（0.523μm，0.622μm）的波長數(shù)值，比值r=0.8408，表面殘差存在大于ΛS/2的跳變點(diǎn)，數(shù)量約為3.6%。得到跳變點(diǎn)的歸一化數(shù)量與兩個波長的關(guān)系如圖3（a）所示?？梢钥闯?，跳變點(diǎn)數(shù)量最小的波長組合存在一個明顯的線性關(guān)系，與理論分析完全相符。從圖3（a）中尋找每一行的最小值（即跳變點(diǎn)數(shù)量最少的點(diǎn)）對應(yīng)的波長組合。此例中共21個組合數(shù)據(jù)，其比值分布如圖3（b）所示。雖然波長的比值有所變化，但變化不超過0.5%。此21個波長組合的波長比值平均為0.8371，與真實值0.8368相差小于0.001，表明該方法確定的波長比值具有很高的可信度。

圖2 兩種不同波長組合重構(gòu)表面的誤差分布。圖中輪廓為箭頭所指行的數(shù)據(jù)Fig.2 Error maps of reconstructed surface with different wavelengths values.Profiles are extracted from the row indicated with arrows

圖3 波長比值的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of wavelength ratio

3.2.2 確定波長

以高度為0.7μm的臺階為測試表面，加入傾斜項模擬實際情況。生成光波長對應(yīng)的相位，并加入標(biāo)準(zhǔn)差為0.03 rad的高斯白噪聲。如果以估計的光波長數(shù)值進(jìn)行表面重構(gòu)，可能會因為估計的偏差導(dǎo)致臺階表面存在跳變點(diǎn)，從而影響重構(gòu)的臺階高度。本方法中首先確定了波長的比值，在表面重構(gòu)時不依賴具體的波長數(shù)值，從而避免臺階表面發(fā)生跳變。按照式（11）從光波長相位中重構(gòu)表面，得到以和頻相位級次為單位的表面高度分布，臺階的表面沒有跳變點(diǎn)，如圖4（a）所示。對臺階底面進(jìn)行校平，如圖4（b）所示，進(jìn)行臺階上下表面高度分析，得到臺階高度為4.917。根據(jù)已知的臺階高度，通過式（11）反算和頻相位波長為0.285μm。加上波長比值的約束，可以計算兩個波長為λ1=0.5231μm，λ2=0.6249μm。該標(biāo)定的數(shù)值與真實值僅相差0.1 nm，具有非常高的精度。

圖4 重構(gòu)的臺階表面Fig.4 Reconstructed step surfaces

為驗證本方法的魯棒性，通過仿真研究了波長標(biāo)定結(jié)果與相位噪聲的關(guān)系。標(biāo)定時采用12次結(jié)果的平均值。相位噪聲為高斯隨機(jī)分布，以噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差表征噪聲強(qiáng)度，得到波長相對誤差與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系如圖5所示。雖然波長標(biāo)定誤差隨著噪聲的增加而變大，但對于干涉測量來講，0.05 rad的噪聲強(qiáng)度已基本達(dá)到上限，此時的標(biāo)定誤差仍小于0.1%。這表明本方法能夠容忍噪聲的影響。

圖5 波長標(biāo)定誤差與相位噪聲的關(guān)系Fig.5 Wavelength calibration error as function of phase noise

雙約束波長校準(zhǔn)方法的精度高，其主要原因在于：（1）建立了兩個約束條件限定光波長數(shù)值；（2）以更短波長的相位重構(gòu)表面，有效抑制了相位誤差的放大；（3）重構(gòu)表面時以波長比值帶入運(yùn)算，避免了因波長估計偏差引起臺階表面的跳變點(diǎn)，保證了重構(gòu)的臺階精度。

4 實驗

4.1 實驗條件

實驗使用一臺配有多光源的干涉顯微鏡對提出的標(biāo)定方法進(jìn)行了驗證。干涉顯微鏡配有綠光和紅光LED。選用20×的Mirau型干涉物鏡，測試范圍約為0.85 mm×0.71 mm。單個光波長照明下，每次采集9幅π/2相移干涉圖。選用一種可補(bǔ)償相移誤差算法從單波長干涉圖中提取相位，該算法能夠抑制掃描器誤差和環(huán)境振動對測量的影響［9］。這里將兩種光波長照明下采集9×2幅干涉圖并重構(gòu)表面稱為一次測量。作為對比，先采用光譜儀測量LED的光譜如圖6所示。綠光LED光譜的半高寬約為31 nm，紅光LED光譜的半高寬約為14.5 nm。采用重心法計算其平均波長分別為λ1=532.69 nm，λ2=610.92 nm。根據(jù)重心法得到波長數(shù)值，其合成的拍波波長約為4.16μm。

圖6 干涉顯微鏡的綠光與紅光光譜Fig.6 Spectra of green and red LEDs in interference mi?croscope

4.2 波長標(biāo)定

選用一個標(biāo)稱1.8μm的臺階作為標(biāo)定長度基準(zhǔn)。臺階計量的高度為1.768μm±10 nm（k=2）。首先，對臺階的平面部分進(jìn)行8次測量，計算得到兩個光波長的相位。分別在λ1為（533±15）nm，λ2為（611±7）nm的范圍內(nèi)，以1 nm為間隔的波長組合對表面高度進(jìn)行重構(gòu)，并計算表面跳變點(diǎn)數(shù)量。其中一次重構(gòu)表面的跳變點(diǎn)數(shù)量如圖7（a）所示，其對應(yīng)的波長比值如圖7（b）所示。8次波長比值的檢測結(jié)果平均值為0.8719。

圖7 波長比值的標(biāo)定結(jié)果Fig.7 Calibrated wavelength ratios

然后，對臺階部分進(jìn)行12次測量，用于確定和頻波長的數(shù)值。重構(gòu)表面以和頻相位的級次表示，其中一組校平后的臺階表面如圖8所示。為避免臺階交界處局部不平整導(dǎo)致的臺階高度誤差，對臺階交界處1/3之外的平面進(jìn)行高度分析。12次測量得到臺階高度的平均值為11.96，那么對于式（11），M0=11.96。結(jié)合波長比例和波長算術(shù)值的約束關(guān)系，計算得到λ1′=552.9 nm，λ2′=636.6 nm。該結(jié)果與光譜儀得到的光波長偏差較明顯，此偏差主要源于物鏡的傾斜效應(yīng)。

圖8 校平后的臺階表面（a）及輪廓（b）Fig.8 Leveled surface（a）and profile（b）of step

為獲得高精度結(jié)果，共標(biāo)定12次并取標(biāo)定結(jié)果的平均值。12次標(biāo)定得到的臺階高度如圖9（a）所示，除了其中一次帶有明顯差別（仍在3σ范圍內(nèi)）外，其他11次標(biāo)定結(jié)果的吻合度相當(dāng)高。12次得到的臺階高速平均值為11.96倍的和頻波長級次。12次波長標(biāo)定結(jié)果如圖9（b）所示，取12次平均值得到λ1=553.5 nm，λ2=634.8 nm，標(biāo)定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差均在亞納米范圍，具有非常高的精度。該標(biāo)定結(jié)果與光譜儀測定的等效波長具有約2～3 nm的偏差，由此表明直接采用光譜儀進(jìn)行波長標(biāo)定存在明顯的誤差。

圖9 臺階高度（a）與波長數(shù)值（b）的12次標(biāo)定結(jié)果Fig.9 Calculated step heights（a）and wavelength values（b）of 12 calibrations

4.3 刻線深度測量驗證

為驗證波長標(biāo)定效果，采用雙波長干涉顯微鏡對一個刻線板的溝槽進(jìn)行測量。對溝槽進(jìn)行8次測量，采用4.2節(jié)標(biāo)定的波長數(shù)值對表面高度進(jìn)行重構(gòu)，其中一次測量的表面高度如圖10所示。在刻線板的特征標(biāo)記位置處（圖10（a）的箭頭所指部分），溝槽的標(biāo)稱深度為0.7μm，其輪廓如圖10（b）所示。按照3W原則對底部區(qū)域取平均，此次測量的高度為0.7533μm。8次測量結(jié)果的平均值為0.7530μm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.38 nm，如圖11所示。同時采用干涉顯微鏡的白光垂直掃描干涉（VSI）模式與擴(kuò)展相移干涉（ePSI）模式對溝槽進(jìn)行了16次平均測量，標(biāo)記處的深度分別為0.7535，0.7481μm。本方法測量的溝槽深度值與兩種模式測量結(jié)果的最大偏差分別為0.5，4.9 nm，表明所標(biāo)定的波長數(shù)值具有非常高的準(zhǔn)確性。

圖10 測量的溝槽表面（a）與特征標(biāo)記處的輪廓（b）Fig.10 Measured grooved surface（a）and profile（b）in?dicated with symbols

圖11 溝槽深度的8次測量結(jié)果Fig.11 Measured groove depth in 8 measurements

5 結(jié)論

本文基于表面跳變誤差與高度誤差的約束，提出了雙波長干涉測量的雙約束標(biāo)定方法。通過確定波長比值與波長算術(shù)關(guān)系對波長數(shù)值進(jìn)行約束求解，進(jìn)而得到準(zhǔn)確的等效波長，為表面高度重構(gòu)提供基礎(chǔ)參數(shù)。標(biāo)定只需要一個標(biāo)準(zhǔn)高度的臺階即可完成，但比傳統(tǒng)的臺階高度檢測多了一個約束，提高了波長標(biāo)定精度。仿真與實驗結(jié)果表明，波長標(biāo)定精度可達(dá)到亞納米量級，實際測量表面高度的精度優(yōu)于0.5%或更高。雖然本方法只對雙波長光干涉展開討論，但也可拓展到三波長干涉，或者應(yīng)用于數(shù)字全息技術(shù)。