喬貴方，呂仲艷，張 穎，宋光明，宋愛國

（1.南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，江蘇 南京211167；2.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210096）

1 引言

近年來，工業(yè)機(jī)器人逐漸被應(yīng)用于航天發(fā)動機(jī)的葉片智能磨拋、航天工業(yè)中鉆鉚/裝配以及制造現(xiàn)場在線測量系統(tǒng)等高端制造領(lǐng)域［1-3］。“智能機(jī)器人”重點(diǎn)專項(xiàng)指出工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用于高端制造領(lǐng)域時，其絕對定位精度應(yīng)優(yōu)于±0.1 mm，姿態(tài)角精度應(yīng)優(yōu)于±0.1°。目前，工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度最高能夠達(dá)到0.01 mm，而絕對定位精度仍為毫米級，無法滿足高端制造領(lǐng)域的精度要求。

機(jī)器人標(biāo)定技術(shù)常被用于提高工業(yè)機(jī)器人的絕對定位精度［4-5］。機(jī)器人定位誤差的誘因較多，其中運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差是影響機(jī)器人定位精度的主要誤差源之一［6-7］。目前，機(jī)器人標(biāo)定方法主要包含誤差模型法和軸線測量法，相比于軸線測量法，誤差模型法的標(biāo)定精度更高［8］?；谡`差模型法的機(jī)器人標(biāo)定過程主要有誤差建模、誤差測量、參數(shù)辨識及誤差補(bǔ)償4個基本步驟。運(yùn)動學(xué)模型對誤差模型的建模影響較大，當(dāng)前機(jī)器人控制器中廣泛使用的運(yùn)動學(xué)模型有DH模型，MDH模型，POE模型和ZRM模型等。誤差模型的完整性決定了運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)的辨識精度。根據(jù)測量數(shù)據(jù)的不同，誤差模型主要分為位姿誤差模型、位置誤差模型和距離誤差模型，其中位姿誤差模型完整描述了機(jī)器人的位置誤差和姿態(tài)誤差特性［9］；從建模方法主要分為微分變換［10］和誤差傳遞兩種［11］，兩者在建模過程中忽略的高階誤差項(xiàng)不同，目前尚未有針對兩者精度性能對比的相關(guān)研究。

誤差測量主要采用激光跟蹤儀、測量臂、拉線傳感器和多目視覺測量系統(tǒng)等。其中，激光跟蹤儀因其高精度、測量范圍大等特點(diǎn)，是最為常用的測量設(shè)備［12-13］。參數(shù)辨識是非線性函數(shù)求解問題，主要采用Levenberg-Marquardt法、極大似然法［14］等傳統(tǒng)優(yōu)化算法，但算法的收斂速度和精度依賴于目標(biāo)函數(shù)的雅克比矩陣的奇異值。而智能優(yōu)化算法則不存在此類問題，LIU等人利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)六自由度串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定［15］。房立金等人基于量子粒子群算法分別實(shí)現(xiàn)了串聯(lián)/并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定［16］。溫秀蘭等人利用改進(jìn)烏鴉算法辨識機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，將史陶比爾TX 60機(jī)器人的位姿精度提升了70%［17］。

本文針對六自由度串聯(lián)機(jī)器人定位精度的提升方法展開研究，提出了一種基于天牛須搜索和粒子群優(yōu)化（Beetle Antennea Search-Particle Swarm Optimization，BAS-PSO）算法的運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了不同誤差模型構(gòu)建方法的辨識精度和穩(wěn)定性。

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型建立

2.1 建立M-DH運(yùn)動學(xué)模型

如圖1（a）所示，傳統(tǒng)的DH模型利用連桿長度a、連桿距離d、連桿扭角α和關(guān)節(jié)零位θ4個參數(shù)描述了機(jī)器人連桿間的位姿關(guān)系。而M-DH解決了傳統(tǒng)DH模型在機(jī)器人相鄰兩軸平行或接近平行時的奇異性問題，該模型在傳統(tǒng)DH模型基礎(chǔ)上添加了一個角度參數(shù)β來描述相鄰平行軸的位置關(guān)系［18］，如圖1（b）所示。依據(jù)M-DH模型的建立規(guī)則，機(jī)器人連桿相鄰坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為：

圖1 非平行關(guān)節(jié)（a）與平行關(guān)節(jié)（b）的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換Fig.1 Coordinate transformation between non-parallel joints（a）and parallel joints（b）

式中：ai，d i，αi，θi，βi分別表示機(jī)器人第i個關(guān)節(jié)的連桿長度、連桿距離、連桿扭角、關(guān)節(jié)零位及關(guān)節(jié)扭角，i=1，2，…，6。n表示該轉(zhuǎn)換矩陣帶入名義運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)。

因此，機(jī)器人的名義末端位姿可由矩陣Tn求取：

式中：Rn和Pn分別為名義旋轉(zhuǎn)矩陣和名義位移向量。

本文待標(biāo)定的工業(yè)機(jī)器人Staubli TX60的M-DH模型參數(shù)的名義值如表1所示。由于關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3理論上是平行關(guān)系，則運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)d2=0，β2=0。其余關(guān)節(jié)的βi參數(shù)均為0，則式（1）變化為傳統(tǒng)DH模型。

表1 Staubli TX60機(jī)器人M-DH運(yùn)動學(xué)模型的名義參數(shù)Tab.1 Nominal parameters of M-DH kinematics model of Staubli TX60 robot

而實(shí)際情況中機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)ai，d i，αi，θi，βi存在一定誤差Δai，Δd i，Δαi，Δθi，Δβi，因此，機(jī)器人實(shí)際末端位姿可由矩陣Tr計(jì)算：

式中：Rr和Pr分別為實(shí)際的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移向量。r表示該轉(zhuǎn)換矩陣帶入的實(shí)際運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)。

建立機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型是機(jī)器人標(biāo)定技術(shù)的關(guān)鍵步驟之一，誤差模型決定了運(yùn)動學(xué)參數(shù)的辨識精度。誤差模型類型主要有位姿誤差模型、位置誤差模型和距離誤差模型，其中位姿誤差模型能夠較為完整地描述機(jī)器人的誤差特性。建模方法主要分為微分變換和誤差傳遞兩種，本文通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了兩種不同運(yùn)動學(xué)誤差模型用于標(biāo)定的實(shí)際效果。

2.2 基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型

機(jī)器人末端的位姿誤差矩陣dT表示為：

對Tn每一列的運(yùn)動學(xué)參數(shù)進(jìn)行微分，并忽略高階項(xiàng)（即2階及以上），可以得到機(jī)器人的位姿誤差模型：

2.3 基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型

由于各運(yùn)動學(xué)參數(shù)存在誤差，相鄰連桿坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣存在誤差，即：

式中：d i=（d xi，d yi，d zi）T，代表連桿i的一階微分平移向量；δi=（δxi，δyi，δzi）T，代表連桿i的實(shí)際姿態(tài)與名義姿態(tài)間的誤差。

式（7）中給出了連桿i的誤差在連桿i-1坐標(biāo)系下的位姿誤差和微分變化，因此，相對于機(jī)器人基坐標(biāo)系的末端位姿可以表示為：

當(dāng)僅考慮一階模型，忽略高階項(xiàng)后，可得：

將各連桿相對于前一連桿的微分運(yùn)動均轉(zhuǎn)換為相對機(jī)器人基坐標(biāo)系的微分運(yùn)動，可得：

式中：dΔ=（d xΔ，d yΔ，d zΔ）T，代表機(jī)器人末端的一階微分平移向量；δΔ=（δxΔ，δyΔ，δzΔ）T，代表機(jī)器人末端實(shí)際姿態(tài)與名義姿態(tài)的誤差。

3 基于BAS-PSO的運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識

3.1 BAS-PSO混合優(yōu)化算法

天牛須搜索算法（Beetle Antennae Search，BAS）是2017年提出的一種新型智能優(yōu)化算法，具有求解速度快、精度高、運(yùn)算量少等特點(diǎn)［19］。BAS是模擬天牛覓食原理，天牛的兩只觸角感知食物氣味的強(qiáng)弱實(shí)現(xiàn)覓食，若左邊觸角感知的氣味強(qiáng)度比右邊大，天牛就往左飛；否則就往右飛，具體示意圖如圖2所示。BAS算法與其他智能優(yōu)化算法類似，無需梯度信息就可以實(shí)現(xiàn)高效尋優(yōu)。并且BAS算法中僅需一個個體，運(yùn)算量大為降低，但容易陷入局部最優(yōu)。

圖2 天牛須搜索算法的仿生原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of bionic principle for beetle antennae search algorithm

群體智能算法具有并行運(yùn)算特性，通過多個個體的相互協(xié)作實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，不易陷入局部最優(yōu)。粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一種經(jīng)典的群體智能算法，通過群體中粒子個體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解，粒子個體通過跟蹤個體極值和全局極值來更新位置。為提高粒子個體的多樣性，同時提高BAS算法的并行性，本文提出一種BAS-PSO混合優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)的誤差辨識。

BAS-PSO混合優(yōu)化算法求解最優(yōu)問題時，粒子個體的位置更新有兩種途徑：一是根據(jù)天牛須搜索算法更新當(dāng)前位置；二是根據(jù)個體的最優(yōu)值和個體群的全局最優(yōu)值決定其更新位置。因此，第i個個體在k+1時刻的位置更新如下：

從抽樣調(diào)查的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，城陽區(qū)鄉(xiāng)村旅游者大都有2次以上的鄉(xiāng)村旅游經(jīng)歷，由此得知本次調(diào)查的鄉(xiāng)村旅游相關(guān)數(shù)據(jù)比較客觀。

天牛個體的速度主要由左/右須位置的函數(shù)值決定，為保證該項(xiàng)在精度和全局收斂速度之間的平衡，通過變步長實(shí)現(xiàn)粗略搜索后再精細(xì)化搜索。因此，天牛個體的速度更新依據(jù)如下：

式中：r3是［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，為天牛個體的須寬，為天牛個體的運(yùn)動步長，d0與δ0分別確定了最小須寬和最小步長。

通常個體的初始位置是通過偽隨機(jī)數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生的，但其隨機(jī)性過強(qiáng)而均勻性不足。根據(jù)文獻(xiàn)［20］可知，擬隨機(jī)序列相比于偽隨機(jī)序列能夠更加均勻地充滿采樣空間，可以提升優(yōu)化算法的收斂速度，使計(jì)算結(jié)果更加穩(wěn)定可靠。鑒于擬隨機(jī)Halton序列概念清晰，算法易實(shí)現(xiàn)，用于產(chǎn)生BAS-PSO的初始位置。

3.2 誤差模型的適應(yīng)度函數(shù)

在采用BAS-PSO優(yōu)化計(jì)算機(jī)器人的幾何參數(shù)誤差時，其適應(yīng)度函數(shù)為：

式中：N為標(biāo)定點(diǎn)數(shù)目，k為調(diào)節(jié)因子。由于位置誤差和姿態(tài)誤差的量綱不同，并且誤差值相差較大，利用調(diào)節(jié)因子k平衡位置誤差向量和姿態(tài)誤差向量在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重。

由式（14）可知：f是幾何參數(shù)誤差集（Δai，Δd i，Δαi，Δθi，Δβi）的函數(shù)，經(jīng)優(yōu)化算法搜索機(jī)器人的幾何參數(shù)誤差集（Δai，Δd i，Δαi，Δθi，Δβi），使適應(yīng)度函數(shù)f最小。本文中待標(biāo)定的Staubli TX60六自由度串聯(lián)機(jī)器人2，3關(guān)節(jié)的軸線理論上是平行的。因此，參數(shù)d2，β1，β3，β4，β5，β6不需要辨識，因此待辨識參數(shù)的個數(shù)為24，屬于復(fù)雜的多參數(shù)非線性優(yōu)化問題，非常適合采用智能優(yōu)化算法求解。

4 運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)

圖3為本文所搭建的機(jī)器人標(biāo)定實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)使用Leica AT 960激光跟蹤儀，其測量不確定度為±（15μm+6μm/m）。配套使用的測量分析軟件為Spatial Analyzer，該軟件提供了擬合幾何體、建立坐標(biāo)系等功能。該系統(tǒng)待標(biāo)定的工業(yè)機(jī)器人為Staubli TX60，該機(jī)器人的重復(fù)定位精度為±0.02 mm，額定負(fù)載為3 kg，最大負(fù)載為5 kg。激光跟蹤儀的T-MAC工具安裝在工業(yè)機(jī)器人的末端法蘭盤上。本文所涉及的測量過程均符合GB/T-12642-2013及ISO-9283工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)。

圖3 工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)Fig.3 Photo of industrial robot calibration system

實(shí)驗(yàn)中以Staubli TX 60機(jī)器人的基坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，以坐標(biāo)值（550，0，550）為中心點(diǎn)，在邊長為1000 mm的正方體空間內(nèi)隨機(jī)選擇50個測量點(diǎn)用于運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)標(biāo)定，并使這50個測量點(diǎn)要盡可能地分布在整個正方體空間內(nèi)，同時在相同空間內(nèi)選擇30個驗(yàn)證點(diǎn)來驗(yàn)證運(yùn)動學(xué)模型精度。

4.1 基于BAS-PSO的運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識

本文首先基于位姿微分變換構(gòu)建的運(yùn)動學(xué)誤差模型，利用BAS-PSO算法辨識機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)，并與PSO算法和BAS算法進(jìn)行對比。算法優(yōu)化過程如圖4所示，從圖中可以看出，BASPSO算法的收斂速度比PSO算法和BAS算法快，并且適應(yīng)度函數(shù)的值也比PSO算法的小。

圖4 不同優(yōu)化算法的計(jì)算過程對比Fig.4 Calculation process comparison of different opti?mization algorithms

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)的辨識精度如圖5和圖6所示。平均綜合位置誤差（Average Comprehensive Position Error，ACPE）和平均綜合姿態(tài)誤 差（Average Comprehensive Attitude Error，ACAE）的計(jì)算如下：

圖5 標(biāo)定前后機(jī)器人的平均綜合位置誤差Fig.5 Average comprehensive position errors（ACPE）of robot before and after calibration

圖6 標(biāo)定前后機(jī)器人的平均綜合姿態(tài)誤差Fig.6 Average comprehensive attitude error（ACAE）of robot before and after calibration

利用BAS-PSO算法辨識機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差，TX60機(jī)器人的ACPE，ACAE分別從（0.312 mm，0.221°）降低為（0.0938 mm，0.0442°）。而經(jīng)過PSO算法和BAS算法辨識后的TX60機(jī)器 人 的ACPE，ACAE分 別 為（0.0942 mm，0.0459°）和（0.0977 mm，0.0632°）。從以上結(jié)果可以看出，BAS-PSO算法辨識得到的運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差具有更好的精度特性。為進(jìn)一步驗(yàn)證辨識模型精度，本文分別計(jì)算30個驗(yàn)證點(diǎn)的ACPE和ACAE。利用BAS-PSO算法辨識后的機(jī)器人的ACPE，ACAE分別從（0.301 mm，0.233°）降 低 為（0.111 mm，0.047°）。而 經(jīng) 過PSO算法和BAS算法辨識后的TX60機(jī)器人的ACPE，ACAE分 別 為（0.113 mm，0.051°）和（0.113 mm，0.062°）。由此說明，BAS-PSO算法辨識得到的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型的泛化能力相比其他兩種算法較好。

4.2 運(yùn)動學(xué)誤差模型精度分析

前文已介紹機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型的兩種建模方法，理論上在建立基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型過程中，僅作一次高階項(xiàng)忽略；而建立基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型時，做兩次高階項(xiàng)忽略。因此，基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型的精度理論上要優(yōu)于基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型。同時，由于智能優(yōu)化算法不用必須建立誤差模型，本文可直接利用式（4）構(gòu)建的正運(yùn)動學(xué)模型辨識M-DH運(yùn)動學(xué)模型參數(shù)，此種方式未做任何誤差忽略，其理論精度會比其他兩種誤差模型高。

由于BAS-PSO是一種隨機(jī)優(yōu)化算法，其辨識結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，主要體現(xiàn)在初始種群選取及個體位置更新。為評價誤差模型的標(biāo)定效果，本文利用相同的數(shù)據(jù)集對3種模型分別標(biāo)定10次，標(biāo)定結(jié)果如圖7所示。為評價模型的性能，本文利用平均位置誤差（Average Posi?tion Error，APE）和平均姿態(tài)誤差（Average Atti?tude Error，AAE）作為評價指標(biāo)，其計(jì)算公式如下：

圖7 不同誤差模型辨識后平均綜合位置/姿態(tài)誤差的對比Fig.7 Comparison of average comprehensive position and attitude errors（ACPE/ACAE）after identifi?cation with different error models

從圖7可以看出，基于運(yùn)動學(xué)模型辨識的實(shí)際運(yùn)動學(xué)模型的精度更為穩(wěn)定，而基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型和基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型辨識得到的實(shí)際運(yùn)動學(xué)模型的精度穩(wěn)定性較差。其中，基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型（誤差模型1）辨識后的機(jī)器人APE和AAE分別為0.1035 mm和0.1642°，基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型（誤差模型2）辨識后的機(jī)器人APE和AAE分別為0.1009 mm和0.1565°，而基于正運(yùn)動學(xué)模型（誤差模型3）直接辨識后的機(jī)器人APE和AAE分別為0.0975 mm和0.0986°。因此，基于正運(yùn)動學(xué)模型直接辨識的機(jī)器人精度更高。

5 結(jié)論

本文首先闡述了工業(yè)機(jī)器人基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型和基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型的構(gòu)建方法；其次，提出了一種基于BAS-PSO算法的運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識方法，相比于PSO和BAS算法，該算法具有更好的辨識精度和收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)該算法辨識后TX60機(jī)器人的ACPE，ACAE分別從（0.312 mm，0.221°）降低為（0.0938 mm，0.0442°）。最后，分析了基于位姿微分變換的運(yùn)動學(xué)誤差模型、基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型以及基于正運(yùn)動學(xué)模型在機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識中的精度特性。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，基于正運(yùn)動學(xué)模型辨識的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)具有更好的穩(wěn)定性和精度，而基于坐標(biāo)誤差傳遞的運(yùn)動學(xué)誤差模型辨識的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)精度相對較差。