周澤堃，周峰，王剛

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安710072）

（2.中國商用飛機有限責(zé)任公司上海飛機設(shè)計研究院，上海201210）

0 引 言

飛行器結(jié)冰是危害飛行安全的嚴重問題之一，輕則影響飛行器的飛行性能，重則造成機毀人亡的慘重后果［1-2］。而對飛機進行結(jié)冰數(shù)值模擬則成為一種研究飛行器結(jié)冰問題的有效途徑。國際上商用的結(jié)冰數(shù)值模擬軟件包括美國NASA的Lewice［3］和加拿大的FENSAP-ICE［4］等。

在結(jié)冰數(shù)值模擬研究中，國內(nèi)起步較晚，目前也做了很多深入研究，易賢等［5］采用歐拉法計算了三維復(fù)雜外形表面的水滴收集率；周峰等［6］對部分典型二維翼型進行了結(jié)冰數(shù)值模擬；Xie L等［7］提出一種自適應(yīng)插值方法將拉格朗日法計算得到的水滴收集率插值到三維復(fù)雜外形上；桑為民等［8］在進行大粒徑水滴狀態(tài)下的結(jié)冰模擬時考慮了水滴變形破碎的影響；杜雁霞等［9］對結(jié)冰過程涉及的熱力學(xué)行為的研究現(xiàn)狀進行了總結(jié)和展望；王海濤等［10］對機翼進行結(jié)冰數(shù)值模擬并設(shè)計了一套防除冰系統(tǒng)。

飛行器結(jié)冰數(shù)值模擬主要包括網(wǎng)格生成、計算流場、水滴撞擊特性計算、結(jié)冰模型計算和結(jié)冰冰形生長計算五個模塊。在流場計算時，通常采用經(jīng)典的有限體積法求解N-S方程。相比于經(jīng)典CFD方法，離散渦方法［11］可以不考慮網(wǎng)格，數(shù)值耗散低，適用于結(jié)冰這類易產(chǎn)生分離流動問題的分析。國內(nèi)外研究者對離散渦方法進行了應(yīng)用和發(fā)展。國外，K.Ramesh等［12］運用離散渦方法模擬翼型前緣產(chǎn)生的間歇渦運動；E.G.A.Antonini等［13］提出一種改進的離散渦方法來模擬二維翼型俯仰中的動態(tài)失速現(xiàn)象。國內(nèi)，馬明憲等［14］使用離散渦方法計算了湍流混合層的問題；董婧等［15］運用離散渦方法模擬了圓柱繞流問題；吳文權(quán)等［16］采用拉格朗日粒子法對脹量項計算，從而實現(xiàn)離散渦方法在可壓縮流動下的計算；劉佳等［17］將離散渦方法應(yīng)用于計算結(jié)冰數(shù)值模擬，與經(jīng)典CFD下的結(jié)冰數(shù)值模擬過程相比，在保證精度的同時，計算效率得到提升。但是離散渦方法主要針對不可壓流動求解，對于可壓縮流動下的冰形模擬的應(yīng)用仍有所欠缺。

本文在基于離散渦方法結(jié)冰模擬的基礎(chǔ)上，引入普朗特—格勞爾特壓縮性修正，將該方法的計算結(jié)果拓展到可壓縮區(qū)間，結(jié)合改進的Messinger熱力學(xué)模型［18］實現(xiàn)可壓縮狀態(tài)下翼型的結(jié)冰模擬。通過部分二維翼型的結(jié)冰數(shù)值模擬，將模擬結(jié)果與基于有限體積法的經(jīng)典CFD方法下模擬結(jié)果及實驗值進行對比，并分析引入壓縮性修正前后對流場、結(jié)冰過程和結(jié)冰冰形的影響。

1 結(jié)冰數(shù)值模擬方法

1.1 離散渦方法基本原理及改進

二維不可壓N-S方程的控制方程［19］可表示為

式中：ν為動力黏度；u為速度矢量；ω為渦量。

離散渦方法是將流場渦量離散化，在拉格朗日框架下模擬流場渦量。通過采用算子分裂法，式（2）可以分成兩部分，即對流項式（4）與擴散項式（5）。

在二維不可壓無黏條件下，得到：

流體微團在運動過程中渦量始終不發(fā)生改變，并且不隨流體質(zhì)點遷移運動。

式中：r為渦元距離原點的位移矢量；x s為渦元所處位置的坐標。

為了避免點渦在距離其無窮近處出現(xiàn)誘導(dǎo)速度無窮大的奇性問題，通過A.J.Chorin［20］提出的渦團法，渦量分布方程可變?yōu)?/p>

式中：N為渦團數(shù)；Γj為渦團的環(huán)量；δσ(x-x j)為渦量的分布函數(shù)。

在得到渦量分布后，依據(jù)Biot-Savart定律［21］得到速度場：

計算得到流場的速度分布后，就可以獲得渦元的運動軌跡，再計算出下一時刻的渦量場。通過隨機走步法［22］來模擬渦元的擴散運動，即：

式中：μ為滿足高斯分布的隨機數(shù)，其均值為零，方差為

在大多數(shù)工程問題中，必須滿足特定的邊界條件，流場才能求解。根據(jù)亥姆霍茲（Helmholtz）定理，得出在均勻流中不會產(chǎn)生渦量，只有在物體邊界或者流場受非保守力作用時才會有渦量產(chǎn)生。本文通過壁面無穿透邊界條件確定流場中生成的渦量。整個流場在滿足Kelvin環(huán)量定理的前提下，通過速度場與渦量場之間交替迭代計算，就能模擬出Lagrangian框架下的繞流流動。

上述是離散渦方法的基本原理，在基本原理的基礎(chǔ)上本文對離散渦方法進行一些改進，包括渦元合并、控制區(qū)高度修訂及壓力計算［23］等，具體參見文獻［17］。

1.2 二維結(jié)冰熱力學(xué)模型

基于改進的Messinger熱力學(xué)模型［18］，將結(jié)冰表面分為若干控制體，每個控制體的質(zhì)量流動情況如圖1所示。在一些假設(shè)條件下，該模型通過求解質(zhì)量和能量守恒方程［24］最終求解出結(jié)冰質(zhì)量。

圖1 控制體內(nèi)質(zhì)量流量示意圖Fig.1 Sketch of mass variation in control volume

建立質(zhì)量守恒方程（11）和能量守恒方程（12），定義每個控制體內(nèi)的凍結(jié)系數(shù)f如式（13）所示。

式中：為控制體內(nèi)的水滴撞擊質(zhì)量；為液態(tài)水溢流進入控制體的質(zhì)量為液態(tài)水溢流出控制體的質(zhì)量；為升華和蒸發(fā)質(zhì)量；為結(jié)冰質(zhì)量；為控制體內(nèi)水滴撞擊的動能；為控制體內(nèi)水滴撞擊的焓變；為液態(tài)水溢流進控制體的焓變?yōu)闅鈩幽Σ翢幔粸榻Y(jié)冰所釋放的潛熱；為液態(tài)水溢流出控制體的焓變；為液態(tài)水蒸發(fā)潛熱；為對流換熱熱能。

聯(lián)立式（11）、式（13），通過提取表面溫度作為試探參數(shù)，對方程組求解，從而確定壁面各控制體內(nèi)的壁溫、凍結(jié)系數(shù)和各個質(zhì)量項。在得到結(jié)冰表面各控制體內(nèi)的每個質(zhì)量項后，就可以依據(jù)結(jié)冰增長模型，計算出單次時間步長內(nèi)冰層的厚度。

1.3 普朗特—格勞爾特壓縮性修正

離散渦方法適用于不可壓流動，在當(dāng)下的研究進展中，已經(jīng)實現(xiàn)可壓縮流動下的離散渦方法。但是引入壓縮性修正，將離散渦方法的結(jié)果擴展到可壓縮區(qū)間仍是一種簡易的方法。

對二維翼型壁面附近的繞流速度采用小擾動假設(shè)，如圖2所示。

圖2 二維翼型繞流［25］Fig.2 Flow around two-dimensional airfoil［25］

假設(shè)流動的總焓不發(fā)生改變，構(gòu)建式（14）：

式中：H0為流動的總焓；h為當(dāng)?shù)亓黧w的焓值。

在式（14）中，給定遠場的靜溫，求解建立溫度場，結(jié)合理想氣體假設(shè)下的狀態(tài)方程對壓力場修正，并計算出當(dāng)?shù)孛芏龋?/p>

壁面參數(shù)采用式（17）進行修正：

通過式（15）～式（17）對采用離散渦方法計算得到的壓力、密度和壓力系數(shù)進行一次修正。

對二維不可壓N-S方程的動量守恒式進行簡化得到：

式（18）等價于：

在壁面處通過渦量對壁面壓力進行計算，而在壁面處u=0，式（2）簡化為

渦量流量為-ν?ω，通過邊界的流量為，即壁面渦量的生成比率。

壁面的法向和切向用s和n表示，在二維表面得到：

由式（19）～式（21）得到：

即：

因為在每個時間步均有新渦生成，所以上述環(huán)量生成率是已知的。根據(jù)梯形法則，由式（23）得到：

式中：pj+1和p j為沿壁面單元節(jié)點上的壓強；和為在一個時間步長Δt下的新生渦環(huán)量。

通過式（15）對壁面壓強進行修正，利用式（24）中修正的壁面壓強對渦團環(huán)量進行修正，將修正后的渦團環(huán)量分別代入式（8）和式（9），求解壁面渦量和速度場，最后通過式（14）～式（17）對壓強、密度和壓力系數(shù)再次修正。

2 算例驗證與分析

2.1 離散渦結(jié)冰模擬結(jié)果及驗證分析

基于離散渦方法進行不可壓流動下的結(jié)冰數(shù)值模擬，以NLF-0414翼型和Business Jet機翼翼型作為算例并與實驗值［26］進行對比，以驗證本文中未采用壓縮性修正下算法和程序的正確性。主程序是將翼型表面分成220塊主板塊，每塊主板塊分成5個次板塊。由于前緣易發(fā)生流動分離，壁面離散單元在前緣加密。計算流程如圖3所示，單次結(jié)冰模擬時長為60 s，若未滿足最終結(jié)冰模擬時長則再循環(huán)計算。

圖3 結(jié)冰數(shù)值模擬計算流程Fig.3 Workflow of icing numerical simulation

NLF-0414翼型計算條件如下：來流速度66.9 m/s，攻角0.3°，弦長0.9 m，靜壓93 182 Pa，水滴直徑20μm，液態(tài)水含量0.44 g/m3，來流靜溫-15.0℃（霜冰狀態(tài)），結(jié)冰總時長240 s。該工況下結(jié)冰模擬結(jié)果與實驗值［26］的對比如圖4所示。

圖4 NLF-0414翼型結(jié)冰冰形比較Fig.4 Comparison of ice shape for NLF-0414 airfoil

Business Jet機翼翼型計算條件如下：來流速度90 m/s，攻角6.1°，弦長0.9 m，靜壓94 562 Pa，水滴直徑20μm，液態(tài)水含量0.54 g/m3，來流靜溫-5.0℃（明冰狀態(tài)），結(jié)冰總時長360 s。該工況下結(jié)冰模擬結(jié)果及與實驗值［26］的對比如圖5所示。

圖5 Business Jet機翼翼型結(jié)冰冰形比較Fig.5 Comparison of ice shape for Business Jet wing airfoil

在未考慮壓縮性修正的情況下，基于離散渦方法的結(jié)冰模擬結(jié)果與實驗結(jié)果輪廓貼近，說明采取的方法在不可壓流動下可以較好地模擬翼型結(jié)冰過程，從而證明了本文求解流程和計算程序的正確性。然而，當(dāng)前方法未考慮流動的壓縮性，可以在此基礎(chǔ)上進行壓縮性修正，以提高程序在可壓縮流動下的預(yù)測能力。

2.2 引入修正后離散渦結(jié)冰模擬結(jié)果及驗證分析

選取NACA 0012翼型和Business Jet機翼翼型進行計算驗證。在選取相同結(jié)冰模型的情況下，分別采用未考慮壓縮性修正的離散渦方法（DVM without correction）、引入壓縮性修正的離散渦方法（DVM with correction）以及經(jīng)典CFD方法（Classical CFD）計算流場并最終得到結(jié)冰冰形。

算例1：NACA 0012翼型，來流速度129 m/s，攻 角4°，弦 長0.3 m，靜 壓90 750 Pa，水 滴 直 徑20μm，液態(tài)水含量0.5 g/m3，來流靜溫-12.6℃，結(jié)冰總時長120 s。

計算結(jié)果與文獻［27］中的Lewice軟件模擬結(jié)果和實驗值進行比對，如圖6所示，可以看出：基于離散渦方法引入修正前后結(jié)冰模擬結(jié)果上冰角接近，下冰角處有差異，考慮壓縮性修正的離散渦方法最終冰形的下冰角處與經(jīng)典CFD方法結(jié)果、文獻結(jié)果均符合的較好。

圖6 算例1結(jié)冰冰形比較Fig.6 Comparison of ice shape for Case 1

通過單次結(jié)冰模擬結(jié)果分析離散渦方法引入壓縮性修正對流場和結(jié)冰的影響，該算例第60 s結(jié)冰模擬結(jié)果如圖7所示。

圖7 算例1第60 s結(jié)冰冰形比較Fig.7 Comparison of ice shape for Case 1 in 60 s

從圖7可以看出：第60 s未考慮壓縮性修正的離散渦方法與經(jīng)典CFD方法的最終冰形輪廓不一致。相比未考慮壓縮性修正的離散渦方法，引入修正后方法與經(jīng)典CFD方法的最終冰形更符合。

在計算第60 s冰形時需要初始干凈翼型的流場數(shù)據(jù)。計算算例1的干凈翼型時，流場壓力系數(shù)對比如圖8所示，流場馬赫數(shù)對比如圖9所示，可以看出：修正后離散渦方法與經(jīng)典CFD方法計算得到的壓力系數(shù)和馬赫數(shù)更加接近，修正后離散渦方法可以較好地模擬流場。

圖8 算例1流場壓力系數(shù)對比Fig.8 Comparison of pressure coefficient in flow field for Case 1

圖9 算例1流場馬赫數(shù)對比Fig.9 Comparison of Mach number in flow field for Case 1

分析離散渦方法引入修正前后對結(jié)冰模型計算過程的影響，算例1第60 s通過結(jié)冰模型得到的表面水含量如圖10所示，橫坐標為沿駐點兩側(cè)翼型弧長s與弦長c比值的無量綱距離，0為駐點位置；縱坐標表面水含量表示單位表面積上撞擊和溢流入當(dāng)前單元的質(zhì)量流量與流出蒸發(fā)的質(zhì)量流量的差值。

圖10 算例1第60 s表面水含量對比Fig.10 Comparison of water quality on surface for Case 1 in 60 s

算例1第60 s通過結(jié)冰模型計算得到的凍結(jié)系數(shù)如圖11所示。

圖11 算例1第60 s表面凍結(jié)系數(shù)對比Fig.11 Comparison of freezing factor on surface for Case 1 in 60 s

從圖10～圖11可以看出：引入壓縮性修正后經(jīng)結(jié)冰模型得到的表面水含量和凍結(jié)系數(shù)與經(jīng)典CFD方法經(jīng)結(jié)冰模型得到的結(jié)果更為接近，說明引入修正后的離散渦方法相比未考慮修正的方法模擬結(jié)冰過程更準確。

算例2：Business Jet機翼翼型，來流速度129 m/s，攻角1.5°，弦長0.9 m，靜壓89 040 Pa，水滴直徑20μm，液態(tài)水含量0.31 g/m3，來流靜溫-5℃，結(jié)冰總時長360 s。

計算結(jié)果與文獻［26］中實驗結(jié)果對比如圖12所示，可以看出：未考慮修正的離散渦方法最終模擬冰形與實驗值相比，最終冰形輪廓相差過大，而引入修正后最終模擬冰形與實驗值貼近。

圖12 算例2結(jié)冰冰形比較Fig.12 Comparison of ice shape for Case 2

算例2第60 s結(jié)冰模擬結(jié)果如圖13所示，可以看出：引入修正后最終模擬冰形與經(jīng)典CFD方法的結(jié)果更符合。

圖13 算例2第60 s結(jié)冰冰形比較Fig.13 Comparison of ice shape for Case 2 in 60 s

計算算例2采用干凈翼型時，流場壓力系數(shù)對比如圖14所示。

圖14 算例2流場壓力系數(shù)對比Fig.14 Comparison of pressure coefficient in flow field for Case 2

從圖14可以看出：相較修正前離散渦方法計算結(jié)果，修正后計算得到的壓力系數(shù)與經(jīng)典CFD方法結(jié)果更加接近。

將算例2第60 s通過結(jié)冰模型得到的表面水含量和凍結(jié)系數(shù)進行對比，如圖15～圖16所示，可以看出：引入修正后經(jīng)結(jié)冰模型得到的表面水含量和凍結(jié)系數(shù)與經(jīng)典CFD方法經(jīng)結(jié)冰模型得到結(jié)果更為接近；未考慮修正時經(jīng)結(jié)冰模型計算出的表面水量在駐點附近基本沒有，此時駐點附近無流入水量，而撞擊到壁面的水量全部流入附近的單元內(nèi)，最終凍結(jié)系數(shù)在駐點附近接近為0。引起這一問題的主要原因是未考慮壓縮性的離散渦方法在結(jié)冰模型中壁面單元附近的壁溫與引入修正后結(jié)果有明顯差異，未修正方法計算駐點附近的壁溫大于0℃，液態(tài)水無法凍結(jié)而流向其他單元。而引入修正后方法與經(jīng)典CFD方法在結(jié)冰模型中的駐點附近壁溫小于或等于0，使液態(tài)水在駐點附近結(jié)冰。

圖15 算例2第60 s表面水含量對比Fig.15 Comparison of water quality on surface for Case 2 in 60 s

圖16 算例2第60 s表面凍結(jié)系數(shù)對比Fig.16 Comparison of freezing factor on surface for Case 2 in 60 s

3 結(jié) 論

（1）相比未考慮修正前的方法，引入壓縮性修正后的離散渦方法可以較好地模擬可壓縮流動狀態(tài)下的翼型的流場，最終模擬冰形與實驗值和經(jīng)典CFD方法結(jié)果更為接近。

（2）在可壓縮流動下的結(jié)冰數(shù)值計算中，引入修正的離散渦方法對結(jié)冰過程中的凍結(jié)系數(shù)和表面水含量的計算結(jié)果改進明顯，與經(jīng)典CFD計算方法結(jié)果符合較好。