何吉祥 李聰波 呂 巖 李 娟

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400044

0 引言

數(shù)控機(jī)床作為現(xiàn)代制造業(yè)的核心裝備，分布量大面廣，能耗總量巨大，但能量效率(簡(jiǎn)稱“能效”)很低，平均只有10%～15%，節(jié)能潛力很大[1]。歐盟“下一代生產(chǎn)系統(tǒng)”研究計(jì)劃提出開發(fā)高能效綠色機(jī)床，國(guó)際生產(chǎn)工程學(xué)會(huì)(CIRP)近年來多次將能效作為主題組織召開學(xué)術(shù)會(huì)議。機(jī)床能效提升已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的研究前沿和關(guān)注熱點(diǎn)。目前關(guān)于機(jī)床節(jié)能優(yōu)化的研究大多關(guān)注機(jī)床的使用階段，如通過加工工藝參數(shù)優(yōu)化來提高機(jī)床能效。為了從根本上提升機(jī)床能效，研發(fā)新一代高能效綠色機(jī)床，迫切需要從設(shè)計(jì)階段入手。近年來，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織發(fā)布了機(jī)床節(jié)能設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)(ISO 14955-1，2014)，指出機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)、進(jìn)給系統(tǒng)和輔助系統(tǒng)是需要進(jìn)行節(jié)能優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要部件[2]。同時(shí)有研究表明，主傳動(dòng)系統(tǒng)是機(jī)床的主要能源和材料消耗源，其能耗占機(jī)床總能耗的15%以上[3]，因此，開展數(shù)控機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)節(jié)能設(shè)計(jì)研究意義重大。

目前一些學(xué)者開展了機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)能耗特性、建模等方面的研究。施金良等[4]建立了數(shù)控機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)的能量流模型，分析了機(jī)床機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的能量損耗功率，建立了主傳動(dòng)系統(tǒng)的功率平衡方程。ABELE等[5]通過機(jī)床主軸單元分析結(jié)果，概述了提高主軸系統(tǒng)效率的潛在方法。WOJCICKI等[6]研究數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)后發(fā)現(xiàn)，通過優(yōu)化主軸電機(jī)參數(shù)(如加速速率極限和電機(jī)功率極限)可以減少約10%的能耗。ALBERTELLI[7]建立了主軸系統(tǒng)能量模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，通過改進(jìn)傳動(dòng)部分實(shí)現(xiàn)了節(jié)能。以上研究闡明了數(shù)控機(jī)床的能耗特性，或建立了主軸的能耗模型，為機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)的節(jié)能優(yōu)化提供了基礎(chǔ)。

一部分學(xué)者對(duì)如何在設(shè)計(jì)階段提升主傳動(dòng)系統(tǒng)的傳統(tǒng)性能(如變形、振動(dòng)等)展開研究。朱成實(shí)等[8]通過分析主軸結(jié)構(gòu)和加工過程中的受載變形情況，以剛度、體積為優(yōu)化目標(biāo)，以固有頻率為約束條件建立主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，采用粒子群算法對(duì)主軸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。LIANG等[9]提出了一種主軸設(shè)計(jì)方法，通過優(yōu)化主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)改善主軸的顫振，從而大大提高機(jī)床主軸的設(shè)計(jì)精度。LIN等[10]提出了一種系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論，可以通過調(diào)節(jié)前后軸承位置來改善主軸一階頻率。上述研究主要通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化改善主傳動(dòng)系統(tǒng)的傳統(tǒng)性能指標(biāo)，如何在保證主傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)性能的同時(shí)實(shí)現(xiàn)節(jié)能是亟待解決的問題。

綜上所述，目前關(guān)于主傳動(dòng)系統(tǒng)的能效研究工作大多停留在能耗特性分析、建模與預(yù)測(cè)上，對(duì)主傳動(dòng)系統(tǒng)的節(jié)能優(yōu)化問題考慮較少；關(guān)于主傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要關(guān)注傳統(tǒng)的性能指標(biāo)，缺乏對(duì)主傳動(dòng)系統(tǒng)能耗指標(biāo)的考慮。面向節(jié)能的主傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)尚未見報(bào)道。本文綜合考慮主軸的能耗和傳統(tǒng)性能指標(biāo)，提出面向節(jié)能的機(jī)床主軸部件優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。首先，構(gòu)建機(jī)床主軸能耗模型，并分析主軸的靜動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上，基于均勻?qū)嶒?yàn)和靈敏度分析選取對(duì)主軸單元能耗和動(dòng)靜態(tài)性能指標(biāo)影響較大的尺寸作為優(yōu)化變量，通過響應(yīng)面法擬合指標(biāo)函數(shù)；同時(shí)，利用主成分分析方法降低指標(biāo)函數(shù)維度，建立綜合性能目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而建立主軸單元節(jié)能設(shè)計(jì)優(yōu)化模型。最后，使用融合模擬退火算法和粒子群算法的混合算法對(duì)所提模型進(jìn)行求解。

1 主軸單元能耗函數(shù)及動(dòng)靜態(tài)性能

1.1 主軸單元能耗函數(shù)

主軸單元主要包括主軸部件、切削刀具及待加工工件、三爪卡盤及附加部件和支撐軸承，本節(jié)通過對(duì)數(shù)控車床主軸單元?jiǎng)恿W(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及摩擦扭矩的分析，構(gòu)建主軸單元能源消耗數(shù)學(xué)模型。圖1為數(shù)控車床主軸單元簡(jiǎn)圖。

圖1 主軸單元示意圖

主軸單元能源消耗主要包括兩部分，一部分是由于機(jī)械系統(tǒng)的摩擦造成的能耗損失，包括主軸穩(wěn)態(tài)運(yùn)行過程中的軸承發(fā)熱損失和主軸動(dòng)態(tài)運(yùn)行過程中的動(dòng)能變化損失，另一部分是物料切除的能源消耗。主軸單元能耗方程為

主軸單元等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm由主軸部件、輸入齒輪、卡盤和工件等部件的綜合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組成，由于主軸單元中輸入齒輪、卡盤和工件結(jié)構(gòu)大致固定，其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化不大，故將其作為常量處理。數(shù)控車床主軸為多段式階梯軸，其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算如下：

式中，Ja為輸入齒輪、卡盤和工件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Di為第i段階梯軸的外徑；Li為第i段階梯軸的軸向長(zhǎng)度；d為主軸內(nèi)孔直徑；ρ為主軸材料密度。

主軸單元軸承損失功率Pfo為支撐軸承角速度ωma與軸承摩擦力矩Mfo的乘積，即Pfo=Mfoωma，摩擦力矩Mfo包括外部載荷引起的摩擦力矩M1和潤(rùn)滑劑黏性摩擦力矩M0，其計(jì)算式為[11]

M1=f1FβDm

(4)

f1=g(Fs/Cs)h

(5)

式中，ν為在工作溫度下潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)黏度；nb為軸承轉(zhuǎn)速；f0為與軸承類型和潤(rùn)滑方式有關(guān)的系數(shù)；Dm為軸承平均直徑；f1為取決于軸承結(jié)構(gòu)和軸承相對(duì)作用的摩擦因數(shù)；g、h數(shù)值查表可得；Fβ為軸承摩擦力矩計(jì)算負(fù)荷；Fs為軸承的當(dāng)量靜載荷；Cs為軸承的基本額定靜載荷。

根據(jù)對(duì)主軸單元等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm、軸承摩擦損失功率Pfo的分析，構(gòu)建主軸單元在使用過程中的功率模型如下：

因此，主軸單元能耗模型公式為

式中，t為主軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間。

1.2 主軸靜動(dòng)態(tài)性能

1.2.1主軸靜態(tài)性能

主軸靜態(tài)性能反映的是主軸在不變的切削載荷作用下抵抗變形的能力，它直接影響機(jī)床的加工精度。靜剛度是主軸靜態(tài)性能中的一個(gè)重要指標(biāo)，主軸變形主要受徑向剛度影響，因此一般選取主軸徑向剛度作為衡量指標(biāo)，以主軸受到徑向力時(shí)的變形量δ來度量。主軸部件徑向剛度為

式中，F(xiàn)為作用在主軸上的徑向力。

1.2.2主軸動(dòng)態(tài)性能

機(jī)床在進(jìn)行加工時(shí)，刀具在切削過程中產(chǎn)生的激振力會(huì)引起主軸產(chǎn)生各種形式的振動(dòng)，產(chǎn)生動(dòng)力回應(yīng)，從而影響加工精度和加工效率,因此主軸單元不僅要有較好的靜剛度，還必須具備良好的動(dòng)態(tài)特性。

數(shù)控車床主軸可以看作是一個(gè)多自由度線性系統(tǒng)，在激振力的作用下會(huì)發(fā)生振動(dòng)，模態(tài)參數(shù)與外部激勵(lì)無關(guān)，同時(shí)忽略阻尼對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響[12]，可以得到主軸單元模態(tài)分析的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程：

在系統(tǒng)自由振動(dòng)中，所有的質(zhì)量單元都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可以得到主軸單元結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征方程：

式中，φj為第j階固有頻率。

2 主軸單元結(jié)構(gòu)節(jié)能設(shè)計(jì)優(yōu)化模型

數(shù)控車床主軸部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化受到許多約束，問題較為復(fù)雜，本節(jié)將綜合運(yùn)用均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)、靈敏度分析、響應(yīng)面分析和主成分分析四種方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立一個(gè)綜合性能優(yōu)化模型，流程如圖2所示。

圖2 主軸部件優(yōu)化模型建立流程

為了更好地闡述主軸單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，本文以重慶機(jī)床集團(tuán)研發(fā)的C2-6150HK/a數(shù)控車床主軸單元為例，來論述主軸單元的能耗建模及其優(yōu)化方法，機(jī)床及其主傳動(dòng)系統(tǒng)如圖3所示，機(jī)床的主要技術(shù)參數(shù)如表1所示。

圖3 C2-6150HK/a數(shù)控車床

2.1 初選優(yōu)化參數(shù)與目標(biāo)

2.1.1優(yōu)化參數(shù)

數(shù)控車床主軸為一個(gè)多段階梯軸，存在許多不影響主軸部件使用的結(jié)構(gòu)特征。為減小有限元分析過程的計(jì)算量，在維持主軸部件的安裝條件不被改變的情況下，將這些特征做簡(jiǎn)化處理，簡(jiǎn)化后的主軸如圖4所示，并初步確定以前端伸長(zhǎng)度a、前支承長(zhǎng)度L1、中間支承長(zhǎng)度L2、后支承長(zhǎng)度L3，中間階梯軸長(zhǎng)度L4、L5、L6，各階梯軸直徑D1、D2、D3與主軸內(nèi)徑d為試驗(yàn)變量。

圖4 數(shù)控車床主軸簡(jiǎn)圖

2.1.2優(yōu)化目標(biāo)

主軸優(yōu)化時(shí)應(yīng)考慮關(guān)鍵的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能指標(biāo)，徑向剛度能很好地反映主軸靜態(tài)性能，通過主軸徑向變形δmax來體現(xiàn)，應(yīng)力σmax也是?？紤]的靜態(tài)指標(biāo)，因此選擇主軸徑向變形與應(yīng)力作為靜態(tài)性能指標(biāo)。低階頻率對(duì)主軸動(dòng)態(tài)性能影響較大，主軸一階頻率表現(xiàn)為剛體運(yùn)動(dòng)，因此本文選擇二階頻率f2作為優(yōu)化指標(biāo)。

2.2 決策變量

初步選擇中有許多結(jié)構(gòu)參數(shù)，致使一些影響不大的因素也在決策變量中，這樣不僅使優(yōu)化模型變得復(fù)雜、冗余，而且使算法收斂速度變慢，無法快速得到理想的結(jié)果，因此本節(jié)首先采用均勻?qū)嶒?yàn)得到初選因素下的目標(biāo)值，然后利用靈敏度分析方法從中挑選出對(duì)優(yōu)化指標(biāo)影響較大的因素作為決策變量。

2.2.1均勻?qū)嶒?yàn)

均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)的原則就是將變量實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)均勻分布，通過較少的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)、最佳的實(shí)驗(yàn)次數(shù)來獲得盡可能多的信息，適用于多因素、多水平的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

表2 均勻?qū)嶒?yàn)表及均勻?qū)嶒?yàn)結(jié)果

2.2.2靈敏度分析

敏感度反映了各結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)與能耗、靜動(dòng)態(tài)指標(biāo)之間的相互關(guān)聯(lián)性。無論參數(shù)之間交互作用如何，參數(shù)靈敏度都會(huì)反映出它對(duì)指標(biāo)值的影響。通過靈敏度分析可以將對(duì)指標(biāo)影響比較大的參數(shù)選擇出來，很大程度上降低計(jì)算的復(fù)雜程度。

若主軸單元運(yùn)動(dòng)部件性能指標(biāo)y可以描述為結(jié)構(gòu)尺寸影響因素(x1,x2, …,xn)的函數(shù)，那么，性能指標(biāo)函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)就是對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的靈敏度。因此，某一結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對(duì)某一性能指標(biāo)的靈敏度可以定義為[14]

式中，S為指標(biāo)y對(duì)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)xp的敏感程度。

基于均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)方法得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)，通過Simulink和ANSYS仿真軟件得出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的指標(biāo)數(shù)據(jù)，如表2所示。然后通過ANSYS計(jì)算出每個(gè)影響因素對(duì)指標(biāo)的靈敏度值，如圖5所示。圖5中直方圖的高度反映了該尺寸對(duì)指標(biāo)的影響程度，高度越大，影響也越大；直方圖的正負(fù)代表了指標(biāo)與變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)。從圖5中可以看出，對(duì)二階頻率f2影響顯著的尺寸參數(shù)有d、D2、L1、L3、L6；對(duì)最大變形δmax影響顯著的有d、D1、D2、D3、L1、L3；對(duì)最大應(yīng)力σmax影響顯著的有d、D1、D2、D3、L1、L3；對(duì)能耗E影響顯著的有d、D1、D2、L6。通過對(duì)比這11個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)主軸二階頻率、最大變形、最大應(yīng)力、能耗的靈敏度大小可以看出，對(duì)主軸部件性能指標(biāo)影響較大的結(jié)構(gòu)尺寸為d、D1、D2、D3、L1、L3、L6，因此將這7個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

(a) 二階頻率

2.3 目標(biāo)函數(shù)

針對(duì)主軸部件優(yōu)化變量與目標(biāo)眾多的特點(diǎn)，本節(jié)首先采取二階響應(yīng)面回歸模型來分析指標(biāo)與決策變量之間的關(guān)系。然后，為了使模型優(yōu)化過程能夠快速收斂得到理想的結(jié)果，使用主成分分析法進(jìn)行目標(biāo)降維。

2.3.1指標(biāo)函數(shù)擬合

數(shù)控機(jī)床主軸部件能耗、靜動(dòng)態(tài)性能(最大變形、最大應(yīng)力和二階共振頻率)與各個(gè)尺寸變量的關(guān)系復(fù)雜，因此采用二階響應(yīng)曲面模型表示能耗和靜動(dòng)態(tài)性能與尺寸變量之間的關(guān)系：

式中，y為運(yùn)動(dòng)部件擬合指標(biāo)(能耗、最大變形、最大應(yīng)力和二階共振頻率)；xh、xk為參與擬合的尺寸變量；β0、βh、βhk、βhh為回歸方程的系數(shù)；ε為回歸值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。

二階頻率、最大變形、最大應(yīng)力和能源消耗函數(shù)的擬合系數(shù)如表3所示。

表3 各指標(biāo)擬合系數(shù)

R-Sq表示回歸模型誤差占總誤差的百分比，R-Sq(adj)表示多變量調(diào)整后的R-Sq。R-Sq和R-Sq(adj)通常用來反映指標(biāo)擬合效果，其值越接近100%，說明擬合出來的函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越接近。二階頻率、最大變形、最大應(yīng)力和能源消耗函數(shù)的方差分析如表4所示,可以看出，各指標(biāo)函數(shù)的擬合效果良好，可以有效地預(yù)測(cè)各指標(biāo)在實(shí)驗(yàn)條件下的值。

表4 指標(biāo)函數(shù)方差分析

2.3.2主成分分析

考慮到主軸單元優(yōu)化指標(biāo)較多，而且各指標(biāo)

之間關(guān)聯(lián)性較大，在優(yōu)化過程中容易導(dǎo)致算法不易收斂，無法快速得到理想的結(jié)果，因此，本節(jié)采用主成分分析法對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行降維處理，建立目標(biāo)函數(shù)。主成分分析法的基本思想是用較少的幾個(gè)變量去替換原來較多的變量。而變換后的新指標(biāo)能夠最大程度地保留原始數(shù)據(jù)中的相關(guān)信息，新指標(biāo)在一定程度上能完全表征原始數(shù)據(jù)。

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，23組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與能耗E、最大變形δmax、最大應(yīng)力σmax和二階頻率f2構(gòu)成的指標(biāo)數(shù)據(jù)表示為U=(usm′)23×4，即在第s組實(shí)驗(yàn)點(diǎn)中第m′個(gè)性能指標(biāo)的值可以表示為usm′。然后對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)U進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Z=[Z1Z2Z3Z4]，然后建立標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Z的相關(guān)系數(shù)矩陣R(4×4)，假設(shè)在相關(guān)矩陣R中有4個(gè)大于0的特征值λ1≥λ2≥λ3≥λ4≥0，特征值對(duì)應(yīng)的規(guī)范正交特征向量為A=(a1,a2,a3,a4)T，則4個(gè)主成分為Y=AZT，如下式所示：

第q個(gè)主成分Yq所對(duì)應(yīng)的特征值λq定義為該主成分的方差；主成分Yq的方差與總方差的比值代表該主成分對(duì)原始數(shù)據(jù)信息的貢獻(xiàn)率，即

貢獻(xiàn)率wq反映了第q個(gè)主成分承載原始變量信息的百分比，第一主成分方差貢獻(xiàn)率最大，逐次遞減。如果前m個(gè)主成分的累積方差貢獻(xiàn)率達(dá)到90%，則取前m個(gè)主成分代替原有的所有指標(biāo)。由m個(gè)主成分構(gòu)成的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為

f=w1Y1+w2Y2+…w3Y3+wmYm

(15)

通過主成分分析法，對(duì)各性能指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到各個(gè)主成分系數(shù)以及各主成分的特征值及貢獻(xiàn)率，如表5所示，可以看出前3個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率為99.4%，因此，本文選取前三個(gè)主成分代替原來的四個(gè)指標(biāo)，建立綜合目標(biāo)函數(shù)：

表5 各主成分特征值及貢獻(xiàn)率

f=0.629Y1+0.244Y2+0.121Y3

(16)

2.4 優(yōu)化模型

數(shù)控車床主軸單元是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)械加工系統(tǒng)，其各項(xiàng)性能指標(biāo)影響機(jī)床加工能力和加工質(zhì)量。為了保證主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化后依然能達(dá)到數(shù)控車床的加工能力和加工質(zhì)量，在主軸結(jié)構(gòu)部件優(yōu)化過程中，主軸部件應(yīng)該滿足一系列機(jī)械性能方面的要求,因此，作如下約束。

2.4.1強(qiáng)度約束

車床主軸在齒輪嚙合力和車刀切削力的作用下，必須有足夠的強(qiáng)度去抵抗破壞，這樣才能保證主軸正常工作，因此主軸在切削加工過程中的最大切削應(yīng)力應(yīng)該小于主軸的許用切削應(yīng)力，即

C/D3-[τT]≤0

(18)

式中，P為最大切削力作用下的主軸電機(jī)功率；no為最大切削力作用下的主軸轉(zhuǎn)速；D為主軸外徑;[τT]為主軸結(jié)構(gòu)許用切削應(yīng)力。

2.4.2轉(zhuǎn)角約束

為了保證數(shù)控車床在使用過程中主軸前端不會(huì)因?yàn)樽冃芜^大而影響機(jī)床加工精度，數(shù)控車床在切削加工過程中的最大前軸頸處轉(zhuǎn)角θ應(yīng)小于許用值[θ]，即

(20)

式中，F(xiàn)max為設(shè)計(jì)的機(jī)床最大切削力；Deq為前軸頸等效直徑；L為主軸前軸承與軸前端距離；I為主軸慣性矩；E0為主軸彈性模量。

2.4.3扭轉(zhuǎn)變形約束

主軸在切削力的作用下會(huì)發(fā)生一定的扭轉(zhuǎn)變形，為了保證車床的加工精度，數(shù)控車床在切削加工過程中主軸結(jié)構(gòu)部件的最大扭轉(zhuǎn)角不得超過車床設(shè)計(jì)許用扭轉(zhuǎn)角[φ]，即

φ-[φ]≤0

(21)

α=d/Di

(24)

式中，Ti為主軸第i軸段的轉(zhuǎn)矩；li為主軸第i軸段的受扭長(zhǎng)度；G為主軸結(jié)構(gòu)材料的剪切模量；Ipi為主軸第i軸段的界面極慣性矩。

2.4.4尺寸約束

為保證優(yōu)化后的主軸結(jié)構(gòu)尺寸在一個(gè)合理的范圍內(nèi)，對(duì)各個(gè)尺寸變量做相應(yīng)的約束，即

綜上，可以得出優(yōu)化模型為

3 基于模擬退火-粒子群算法模型求解

模擬退火算法(simulated annealing，SA)是一種模擬固體退火降溫過程而設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法，因其獨(dú)特的優(yōu)化機(jī)制及通用性、靈活性而在組合優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[15]，但是卻存在效率低的問題。粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種全局隨機(jī)搜索算法，以其規(guī)則簡(jiǎn)單、運(yùn)行效率高、容易實(shí)現(xiàn)以及優(yōu)秀的智能背景，適合用于科學(xué)研究和工程應(yīng)用[16]。因此，本文融合兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，在保證全局搜索能力的同時(shí)，提高算法的運(yùn)行效率。

數(shù)控車床主軸部件結(jié)構(gòu)尺寸具有離散性，因此主軸部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化屬于典型的組合優(yōu)化問題。本文以模擬退火算法為基體搭載粒子群的集群尋優(yōu)方式，采用退火溫度控制相鄰解的慣性權(quán)重，在保持原有的模擬退火算法概率接受方式和Metropolis準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，將原來概率搜索迭代方式改變?yōu)槿后w智能搜索方法，以加快算法的迭代速度。

本算法主要流程如圖6所示，關(guān)鍵步驟描述如下：

圖6 算法流程

(1)初始化參數(shù)。設(shè)置最高溫度Tmax、截止溫度T0、降溫速率η、學(xué)習(xí)因子c1、c2。隨機(jī)生成30個(gè)粒子的種群H，每個(gè)粒子的位置矢量為主軸部件結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)(d,D1,D2,D3,L1,L3,L6),并定義每個(gè)參數(shù)的取值范圍。

(2)計(jì)算每組尺寸參數(shù)對(duì)應(yīng)的綜合目標(biāo)值，并且將每組尺寸參數(shù)組合的綜合目標(biāo)值作為當(dāng)前的歷史最優(yōu)值pbest，然后在30組尺寸參數(shù)組合中選取最優(yōu)的參數(shù)組合作為當(dāng)前全局最優(yōu)gbest。

(3)尺寸參數(shù)的更新。用下式對(duì)每一組尺寸參數(shù)大小及速度進(jìn)行更新：

為使在高溫階段粒子可以快速跳出局部最小值，而在低溫階段能夠快速收斂，選用溫度控制的慣性權(quán)重，表達(dá)式如下：

T=ηeTmax

(29)

式中,T為當(dāng)前退火溫度;e為當(dāng)前迭代次數(shù)；ωmax、ω′min分別為最大權(quán)重和最小權(quán)重。

(4)對(duì)更新后的每一組尺寸參數(shù)重新計(jì)算綜合性能目標(biāo)值，然后引入Metropolis準(zhǔn)則，對(duì)新的尺寸參數(shù)組合的綜合性能目標(biāo)值與對(duì)應(yīng)尺寸參數(shù)的歷史最優(yōu)值pbest進(jìn)行比較，如果f(xτ)pbest，則以一定概率接受更新后的尺寸參數(shù)。同理，對(duì)全局最優(yōu)尺寸參數(shù)值gbest也按Metropolis準(zhǔn)則進(jìn)行更新。

(5)降低溫度，判斷是否滿足迭代終止條件。如果迭代終止條件未達(dá)到，那么迭代到步驟(3)開始繼續(xù)執(zhí)行；否則，結(jié)束迭代，輸出gbest。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

由于改變主軸尺寸后進(jìn)行重新加工的周期長(zhǎng)、成本高，實(shí)際條件下難以實(shí)現(xiàn)，因此本節(jié)用現(xiàn)有主軸進(jìn)行臺(tái)架實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證仿真結(jié)果的可靠性，再通過仿真實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)主軸的結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化，并進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1 實(shí)驗(yàn)條件與結(jié)果

以重慶機(jī)床集團(tuán)研制生產(chǎn)的C2-6160HK/a車床為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)原始主軸在安裝條件下進(jìn)行能耗與振動(dòng)數(shù)據(jù)采集，主軸及其安裝如圖7所示。

圖7 數(shù)控車床原始主軸

4.1.1能耗數(shù)據(jù)采集

為了與本文理論模型中的能耗計(jì)算條件一致，實(shí)驗(yàn)時(shí)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速在0～1800 r/min均勻變化，采用HIOKI公司的日置功率測(cè)量?jī)x采集機(jī)床主軸功率信號(hào)(圖8)，然后對(duì)時(shí)間積分得到能耗。

圖8 能耗數(shù)據(jù)采集

4.1.2振動(dòng)數(shù)據(jù)采集

將通過實(shí)驗(yàn)采集的振動(dòng)位移數(shù)據(jù)與諧響應(yīng)分析得到的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來驗(yàn)證ANSYS仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)時(shí)采用3個(gè)PCB(printed circuit board)振動(dòng)傳感器分別采集主軸X、Y、Z三個(gè)方向的振動(dòng)位移，由于振動(dòng)數(shù)據(jù)采集的間斷性，實(shí)驗(yàn)時(shí)選擇轉(zhuǎn)速分別為300，500，800，1200 r/min四個(gè)常用工況為代表進(jìn)行振動(dòng)采集，如圖9所示。

圖9 振動(dòng)數(shù)據(jù)采集

4.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將通過日置功率測(cè)量?jī)x采集的能耗數(shù)據(jù)與振動(dòng)數(shù)據(jù)與優(yōu)化前的主軸仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表6所示，可以發(fā)現(xiàn)，能耗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)誤差僅為7.46%，主軸轉(zhuǎn)速為300，500，800，1200 r/min時(shí)，主軸位移仿真誤差分別為4.85%，5.32%，7.91%，4.52%，說明本文所建立的能耗模型與仿真結(jié)果具有較高的可靠性。

表6 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

設(shè)置最高溫度Tmax=100，降溫目標(biāo)溫度為T0=0.01，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，粒子群粒子數(shù)H=30，最大權(quán)重ωmax=1.2，最小權(quán)重ωmin=0.2。采用SA-PSO混合算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，收斂對(duì)比圖見圖10。從圖中可以看出，粒子群-模擬退火算法相對(duì)單純的粒子群算法與模擬退火算法，最先達(dá)到收斂點(diǎn)，且收斂時(shí)適應(yīng)值最小，說明該算法求解速度更快，準(zhǔn)確性更高。

圖10 算法求解收斂圖

將算法求解得到的結(jié)果進(jìn)行圓整，對(duì)主軸模型修改之后導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)性能分析，再采用MATLAB Simulink進(jìn)行能耗仿真，可得到優(yōu)化后尺寸參數(shù)及優(yōu)化結(jié)果。同時(shí)為了驗(yàn)證多目標(biāo)綜合優(yōu)化的必要性，再以傳統(tǒng)的質(zhì)量作為單目標(biāo)對(duì)主軸進(jìn)行優(yōu)化，最終仿真優(yōu)化結(jié)果如表7所示，主軸優(yōu)化前后的應(yīng)力、變形量及二階模態(tài)振型如圖11～圖13所示。

圖11 原始主軸靜動(dòng)態(tài)性能

圖12 綜合優(yōu)化后主軸靜動(dòng)態(tài)性能

圖13 質(zhì)量單目標(biāo)優(yōu)化后主軸靜動(dòng)態(tài)性能

表7 求解結(jié)果

對(duì)比主軸優(yōu)化前后的各個(gè)性能指標(biāo)發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量單目標(biāo)優(yōu)化后的主軸部件的最大變形量相對(duì)優(yōu)化前增大了13%，而綜合優(yōu)化變形量減小了1.67%；單目標(biāo)優(yōu)化后與原始主軸結(jié)構(gòu)相比二階頻率提高了2.38%，綜合優(yōu)化后提高了6.83%；單目標(biāo)優(yōu)化的應(yīng)力增大了1%，綜合優(yōu)化后減小了7%；單目標(biāo)優(yōu)化后主軸質(zhì)量減小了2.191kg，能耗減少了5.23%，綜合優(yōu)化后的主軸質(zhì)量減小了1.445kg，能耗減少了3.69%。

通過上述分析發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量單目標(biāo)優(yōu)化后的主軸質(zhì)量更小，能耗也較小，但相對(duì)綜合優(yōu)化來說，主軸的靜動(dòng)態(tài)性能較差，能耗優(yōu)化效果也不明顯。機(jī)床主軸的優(yōu)化是一個(gè)綜合問題，需要考慮多方面因素，因此綜合優(yōu)化后的效果更好。實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)，主軸的質(zhì)量與能耗有一定的關(guān)系，如圖14所示。圖14表明，主軸的能耗不僅受質(zhì)量影響，還會(huì)受到形狀等其他因素的影響。

圖14 主軸質(zhì)量和能耗的關(guān)系

對(duì)優(yōu)化后的主軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析，施加與優(yōu)化前相同的約束載荷，由于主軸前端面對(duì)工件的加工精度影響最大，且模態(tài)分析結(jié)果表明Z向變形最大，因此選取主軸前端面Z向進(jìn)行分析，得到主軸Z向的諧響應(yīng)曲線，如圖15所示。分析可知，在Z方向，主軸第一次共振頻率由1536 Hz提高到了1641 Hz，第二次共振頻率由1776 Hz提高到了1820 Hz，且振幅均有所下降。綜上分析，主軸在減小質(zhì)量的同時(shí)，在能耗以及動(dòng)靜態(tài)性能上都有所改善，可見優(yōu)化效果良好。

圖15 主軸前端面Z向諧響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

(1)本文建立了主軸單元能耗函數(shù)，分析了主軸單元?jiǎng)屿o態(tài)性能，設(shè)計(jì)了機(jī)床主軸部件結(jié)構(gòu)參數(shù)均勻?qū)嶒?yàn),通過靈敏度分析選取對(duì)主軸部件運(yùn)行能耗、靜動(dòng)態(tài)性能影響較大的結(jié)構(gòu)尺寸作為優(yōu)化變量，利用響應(yīng)面法對(duì)各指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而通過主成分分析方法對(duì)指標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行降維，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法設(shè)計(jì)各指標(biāo)點(diǎn)的綜合權(quán)重，綜合考慮機(jī)床主軸單元能耗、靜動(dòng)態(tài)性能，建立主軸綜合優(yōu)化模型。

(2)本文融合模擬退火算法全局尋優(yōu)能力強(qiáng)與粒子群算法效率高的優(yōu)點(diǎn)，提出了模擬退火-粒子群算法流程。在通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真結(jié)果可靠性的基礎(chǔ)上，使用混合算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，并將優(yōu)化后的參數(shù)代入Simulink和ANSYS Workbench軟件進(jìn)行指標(biāo)分析，與將質(zhì)量作為單目標(biāo)的傳統(tǒng)優(yōu)化方法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明所提出的優(yōu)化方法能夠在有效降低主軸能耗的同時(shí)提高靜動(dòng)態(tài)性能。