高艷麗 劉賢虎

[摘? 要] “有序與計數(shù)”將幾冊教材中與“有序思考”相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用這種思想方法進(jìn)行復(fù)雜問題解決。這類課型從關(guān)注知識點走向知識結(jié)構(gòu)，從知識技能走向數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建學(xué)生的知識體系，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 串聯(lián);感悟;思維;思想方法

教學(xué)內(nèi)容

創(chuàng)編3個數(shù)字組成不同數(shù)的內(nèi)容（適合三年級上學(xué)期）

教學(xué)目標(biāo)

1. 通過排列數(shù)字，感知“有序思考”的數(shù)學(xué)思想方法，并用于解決數(shù)字排列問題。

2. 通過前后知識的方法聯(lián)想，體會“有序思考”在數(shù)學(xué)計數(shù)及生活中的應(yīng)用。

3. 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，滲透學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，學(xué)會數(shù)學(xué)思考。

教學(xué)重點

讓學(xué)生感悟有序思考

教學(xué)對象

三年級學(xué)生

教學(xué)過程

一、問題引發(fā)，以例說法

師：用以下3張卡片（3、4、6），可以排成幾個不同的兩位數(shù)？限時30秒，把你排列的兩位數(shù)寫下來。

生1：我能排列出6個不同的兩位數(shù)，34、36、43、46、63、64，我是先固定十位的。

生2：我聽明白了他的排法，就是3張卡片輪流固定在十位上。我有不同的順序，我是按從小到大的順序排列的。

生3：我來補(bǔ)充，其實他們兩個人的順序是一樣的，都是三十幾、四十幾、六十幾，只是說法不一樣而已。

生4：還可以倒過來排，就是34、43、36、63、46、64，這樣交換一下。

師：有的同學(xué)先固定十位，有的按數(shù)字大小順序，有的交換位置，大家之所以能快速排成6個不同的兩位數(shù)，是因為有個法寶——有序。按一定的順序來思考、排列，就能快速計數(shù)了。今天這節(jié)課，我們一起來研究“有序與計數(shù)”。（板書：有序與計數(shù)）

評析：以例說法，引發(fā)對“有序”的思考。用3張數(shù)字卡片排兩位數(shù)，是二年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，大部分學(xué)生都能有序排列出不同的6個數(shù)字，所用的思想方法指向“有序”，這樣引發(fā)，難度低、指向明、立意高。

二、問題探究，體驗悟法

在下面的學(xué)習(xí)中，還能發(fā)現(xiàn)什么順序呢？請看以下兩個問題：

1. 用以下3張卡片（3、4、6），可以排成多少個不同的數(shù)？（想一想，寫一寫）

2. 以前的學(xué)習(xí)中，還有哪些地方用到了有序思考？（舉例說明，寫下來）

師：同學(xué)們讀一讀以上問題，想一想，有什么疑問嗎？

生1：我想知道，6可以倒過來當(dāng)成9嗎？

生2：如果倒過來的話，一張卡片就相當(dāng)于兩張卡片了，這樣就變成4張卡片了。

師：現(xiàn)在我們不考慮把數(shù)字倒過來的情況。

生3：題目說“不同的數(shù)”，只要是數(shù)字就可以嗎？

生4：一位數(shù)可以嗎？

生5：我覺得一位數(shù)當(dāng)然可以，符合題目要求！

師：老師同意你的說法。接下來，請獨立思考，在學(xué)習(xí)單上完成以上兩個問題，遇到困難時可以請教同伴。

學(xué)生先獨立思考，再同伴協(xié)同學(xué)習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，并讓學(xué)生在黑板上板書作品。

評析：從排列“不同的兩位數(shù)”到“不同的數(shù)”，有序思考的方法不變，但思維深度更進(jìn)一層，要求排列“不同的數(shù)”，是序中有序，首先要按順序分成一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，接著排列兩位數(shù)、三位數(shù)時也有順序，如交換位置、固定數(shù)位等不同的順序。這兩個問題的設(shè)置，旨在從一個到一類，第一個問題讓學(xué)生在排列數(shù)字之中鞏固加強(qiáng)“有序思考”，第二個問題“學(xué)習(xí)中還有哪些地方用到了有序思考？”，從排列數(shù)字中跳出來，串聯(lián)其他已經(jīng)學(xué)過的“有序思考”，從“樹木”走向“森林”。

三、互動建模，聯(lián)想明法

1. 橫向串聯(lián)，多維辨法

師：你能看明白他是怎樣排列的嗎？

生1：他是先寫出3個一位數(shù)，再寫兩位數(shù)，然后寫三位數(shù)的。

生2：他寫的一位數(shù)和三位數(shù)都是從小到大排列的，中間的兩位數(shù)有點亂。

生3：我來解答你的問題，中間的兩位數(shù)其實并不亂，他是先選兩張卡片，然后交換位置，就是先選了3、4兩張卡片，組成34和43，再把4換成6，組成36和63，再把3換成4，就是46和64。

生4：我聽明白了他的說法，但是他換來換去的很復(fù)雜，我可以畫給大家看，一共是3組。

生5：我有個建議，兩位數(shù)、三位數(shù)都按從小到大的順序排列，就會更清晰一點，三位數(shù)的前兩位就是上面的兩位數(shù)。

生6：我同意他的想法，其實，只要排出了兩位數(shù)，在兩位數(shù)的后面加上一張卡片就成了三位數(shù)，比如，34加上一張卡片就是346，36加一張就是364。

生7：他們說的都有道理，這個并不難，就是按3、4、6的順序，一位數(shù)就不說了，兩位數(shù)固定十位，三位數(shù)固定百位，后面的交換位置就可以了。

師：我也聽明白大家的意思了，不管是交換法，還是固定數(shù)位，還是從小到大，大家所強(qiáng)調(diào)的都是有序思考。那么，在我們以前的學(xué)習(xí)中，還有哪些地方用到了有序思考？

2. 縱向串聯(lián)，比較得法

教師發(fā)現(xiàn)作品并請學(xué)生板書在黑板上或用平板拍照。

師：大家想到的有序思考真不少，現(xiàn)在，黑板上有兩幅作品，你看懂了什么？

生1：我看明白了第一幅圖就是數(shù)一共有多少個角。他是先一個一個地數(shù)，有3個;再兩個兩個組合地數(shù)，有2個;最后數(shù)一個大的，一共就是6個角。

生2：聽他這么說，我突然想到，其實這跟剛才我們排數(shù)字有點像，一個角就好像是一位數(shù)嘛，然后兩個角合并的角就好像是兩位數(shù)，三個角就是三位數(shù)，好像是這樣的。

生3：其實你們說得不對，根本不是這樣的。我看到他畫的，他是這樣（走上前，指著一條邊說）從這里開始，1個角、2個角、3個角，然后從第二條邊開始，又?jǐn)?shù)1個角、2個角，再到第三條，1個角，他是這樣數(shù)的。

師：很了不起！除了你數(shù)角的順序，同學(xué)們讀出了不一樣的順序，他們讓你的數(shù)角方法更加豐富了！第二個作品呢，誰看懂了？

生4：這不就是我們一年級學(xué)過的10的加法嗎？

生5：我來補(bǔ)充一下，就是1+9等于10，2+8等于10，3+7等于10，一直這樣算下去。

生6：我聽明白了，我還想到一個跟10的分解差不多的，比如，有9顆珠子，能組成幾個兩位數(shù)，就是把珠子放在計數(shù)器上，有十位、有個位的。

師：還有其他的嗎？

生7：我覺得設(shè)密碼的時候有順序，比如密碼是兩位數(shù)，每個數(shù)字都有可能，可以是0至9的任意一個數(shù)字，它不是真正的兩位數(shù)，第一個數(shù)字是0也是可以的，這樣密碼就很難猜了，手機(jī)上也有密碼。

生8：我還想到一個問題，就是我們在安排車的時候，比如安排車運(yùn)煤，表格里面是有順序的，從幾輛車開始想，然后接著想下去。

師：用列表法解決問題時，思考是有序的，看到表格里面的順序了嗎？

生7：我說的就是這個意思，你看，先從5輛車開始，然后是4、3、2、1這樣的順序。

師：大家說了不少關(guān)于有序思考的案例，我們先來整理一下。首先，我們在排列數(shù)字的時候用了有序思考，比如排列兩位數(shù)，設(shè)置密碼，10的分解也可以歸到這一類;接著，同學(xué)們想到了有序數(shù)角，這是與圖形有關(guān)的，其實還有數(shù)長方形、數(shù)線段等等，都用到了有序思考;接著同學(xué)提出用列表法解決問題時，也需要遵循一定的思維順序。數(shù)學(xué)原來有這么多知識用到了有序思考。

評析：在交流中從“有序排列不同的數(shù)”到“其他內(nèi)容用到有序思考”，通過對有序的不同形式表征，實現(xiàn)從數(shù)學(xué)知識之間關(guān)聯(lián)到數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的聯(lián)通，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力所在。同時，在傾聽中汲取知識、啟迪思維，圍繞“有序”話題，學(xué)生自由探討，深度碰撞。

四、解決問題，拓展用法

例1? （播放小視頻“游戲的煩惱”：5個小朋友比賽跳繩，爭論要比賽的場次）A、B、C、D、E，5個小朋友進(jìn)行跳繩比賽，每兩個人要比一場，一共要比多少場？

學(xué)生解決問題，教師巡視，學(xué)生板書解決過程在黑板上。

師：看看黑板上的三種解決問題的方法，你欣賞哪一種？為什么？

生1：我看不明白跳繩比賽與數(shù)角有什么關(guān)系？李偉齊是不是沒弄清楚我們要解決什么問題。

師：其他幾個同學(xué)也在點頭，說明他們也有同樣的疑問。有哪位同學(xué)能看明白嗎？

生2：我覺得我應(yīng)該懂李偉齊的意思，就是一條邊代表一個人，這里有5條線就是5個人，第一個人先跟第二個人比、再跟第三個人比，就是這樣，跟數(shù)角是一樣的了。

師：又有不少同學(xué)在點頭，聽懂她的解釋了嗎？

生3：我想的跟她差不多，在每條邊上標(biāo)上A、B、C、D、E幾個人，就能看明白了！不過我很佩服她能想到這樣的方法。（教師相應(yīng)板書ABCDE）

師：李偉齊同學(xué)的思路讓大家耳目一新，用數(shù)角的方法解決了跳繩問題！表揚(yáng)剛剛說看不明白的同學(xué)，大膽提出自己不理解的地方，這種學(xué)習(xí)態(tài)度是我們的榜樣！也感謝為我們解讀的孩子，你們也是善于思考的孩子！咱們繼續(xù)看看其他的幾種方法。

生4：我寫的跟郭智彬的一樣，我覺得把郭智彬的跟李偉齊的放在一起，是一樣的，一個是用字母寫出來，一個是用圖畫出來，他們倆的順序都是一樣的呀。

生5：我還是覺得李偉齊畫的角好一點，雖然一開始看不懂，但是我覺得這樣畫的好處是可以不用從A開始數(shù)，我從E開始也是可以的，從任何一個人開始都是可以的。

師：聽聽，從A作為起點，想到了其實每個人都可以作為起點，只要有序思考，從誰開始都是一樣的，有突破，不錯！

生6：我看了一下王燕的作品，用點表示每個人，然后連線表示他們比賽，可以看出，A跟BCDE比了4場，然后B跟CDE比了3場，他因為剛剛跟A比過，所以不用再比了，然后就是C跟DE比，最后剩下D跟E比。

生7：順序還是跟前面的一樣啊，我覺得用字母寫下來更清楚，連線的話如果人很多的話，連線就比較亂。

師：各有各的想法，表達(dá)方式不一樣，但剛才同學(xué)們都強(qiáng)調(diào)了一點，思考的順序是一樣的！有序思考會讓我們更有條理、更加智慧。

例2? 小明有1元、5元、10元的紙幣各1張，可以組合多少種不同的幣值？

例3? 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)多3。我能找到（? ? ）個這樣的數(shù)。

師：解決這兩個問題有難度嗎？分享一下大家的想法吧。

生1：我說第2題吧，我和同桌討論過，總共有7種不同的幣值，首先是單張的，有3種，然后是2張的3種，再就是3張一起。

生2：我剛剛漏了3張一起的，是同桌告訴我的。

生3：跟前面的排數(shù)字有點一樣，又有點不一樣。

生4：對，我也跟前面的排數(shù)字對比過，方法是一樣的，都是從1開始的，一位數(shù)就好像是一張錢，兩位數(shù)就好像是兩張錢這樣的。

生5：我想說第三題，第三題十位上最小是1，最大只能是6，按順序一共有6個。

師：同學(xué)們不僅能用有序思考來解決問題，而且能把解決問題的方法進(jìn)行對比！非常了不起！今天，我們把以前學(xué)過的有序思考串成一條線、織成一張網(wǎng)，在以后的學(xué)習(xí)及生活中，這條有序思考的線會越來越豐富，這張網(wǎng)會捕獲更多的數(shù)學(xué)知識！

評析：解決問題設(shè)計了三道題，有循環(huán)比賽的計數(shù)問題、幣值的計數(shù)、兩位數(shù)的計數(shù)等，學(xué)生在解決問題的過程中，進(jìn)一步運(yùn)用有序、感受有序，讓有序用到生活實處，落到思維深處。

全課評析

方法聯(lián)想課是我校數(shù)學(xué)問題教學(xué)的一種課型，顧名思義，就是用數(shù)學(xué)思想方法將教材中某一單元、幾個單元、某一冊教材或幾冊教材相關(guān)的內(nèi)容串起來，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用這種思想方法進(jìn)行復(fù)雜問題解決。這類課型從關(guān)注知識點走向知識結(jié)構(gòu)，從知識技能走向數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建學(xué)生的知識體系，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

1. 用數(shù)學(xué)思想方法帶動相關(guān)知識的學(xué)習(xí)

鄭毓信教授指出，我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)更好地結(jié)合起來，即用數(shù)學(xué)思想的分析帶動具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)。以本課為例，用“有序思考”這一方法，解決在數(shù)字、圖形、列表及生活中的計數(shù)問題，讓不同的知識內(nèi)容統(tǒng)一到“有序思考”這一方法之下?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也明確提出：“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程或結(jié)果?！痹趶?fù)雜問題解決中，需要多個步驟，缺乏有序思考這個重要的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生就很難解決。我們借助有序思考，通過方法聯(lián)想課幫助學(xué)生“學(xué)活”“學(xué)懂”和“學(xué)深”。

2. 以相關(guān)知識的串聯(lián)感悟數(shù)學(xué)思想方法

用1、2、3三張卡片能排列出多少個不同的兩位數(shù)？這是人教版數(shù)學(xué)二年級下冊數(shù)學(xué)廣角安排的學(xué)習(xí)內(nèi)容，二年級下冊安排了一道類似的思考題，即“用3、4、6三張卡片能排列出多少個不同的三位數(shù)？”三年級時，同學(xué)們再一次感悟到“列表法”解決問題時的有序性、用16個小正方形方框拼長方形或正方形時，也需要有序思考。不同的數(shù)學(xué)知識都承載了相同的數(shù)學(xué)方法，而教材的編排是按知識邏輯來編排的，思想方法是隨著知識邏輯的教材呈現(xiàn)若隱若現(xiàn)，幾乎沒有集中呈現(xiàn)，因此學(xué)生的感悟也是支離破碎。正是基于此，方法聯(lián)想課應(yīng)運(yùn)而生。用聯(lián)想的方式把不同板塊知識中蘊(yùn)含的相同數(shù)學(xué)思想方法集中在一起，連成串，織成網(wǎng)，讓學(xué)生深入感悟。

方法聯(lián)想課讓以上兩者緊密結(jié)合，如同劃動思想方法的雙槳，相輔相成，水乳交融。通過相關(guān)知識的學(xué)習(xí)讓思想方法生根發(fā)芽，讓生命拔節(jié);同時借助思想方法讓知識技能形成結(jié)構(gòu)，串木成林。