[摘? 要] 單元復(fù)習(xí)課的上法有多種，如結(jié)構(gòu)圖式的知識點梳理、以思想方法為主線的設(shè)計. 文章基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念設(shè)計了一節(jié)“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，并淺析此節(jié)課中如何通過三個問題體現(xiàn)對應(yīng)的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);一元一次方程;單元復(fù)習(xí)

近年來，“核心素養(yǎng)”成為教育領(lǐng)域探討的“熱詞”. 在教育部2014年印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中，首次提出“核心素養(yǎng)體系”概念. 同時，普通高中課程標準修訂，也將核心素養(yǎng)作為重要的育人目標. 那么，何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組定義的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)[1] . 通俗地說，就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都遺忘后還能留下來的東西，或者說從數(shù)學(xué)的角度看問題，用理性思維思考問題，以及用清晰準確的語言表述問題.

高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可抽象成六個關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析[1] . 而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提到了八個詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想[2] . 無論是高中階段的六個詞還是義務(wù)教育階段的八個詞，其本質(zhì)都是一樣的，而且義務(wù)教育階段的八個詞經(jīng)過適當排序后也能和高中階段的六個詞完全對應(yīng)，這里就不再贅述了. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要靠教育者去落實，而最終與學(xué)生對接的是一線教師，所以，教師在常態(tài)課的設(shè)計中需要把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考慮進去，尤其在復(fù)習(xí)課的設(shè)計上更應(yīng)該注重這一點. 筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計了一節(jié)“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，現(xiàn)將實錄的過程及幾點思考整理出來，不當之處，請批評指正.

課堂實錄

師：什么是方程？什么是一元一次方程？

生1：含有未知數(shù)的等式叫方程.

生2：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫一元一次方程.

師：請你舉一個一元一次方程的例子.

生3：3x=5.

生4：x-6=1.

生5：1000x+200=-3.

師：這樣的例子能舉完嗎？

生（齊）：舉不完.

師：那能不能找一個一般的等式代表所有的一元一次方程？試試看！

生6：mx+n=a.

師：m，n，a有什么要求嗎？

生6：都是常數(shù).

師：很好. 還有補充的嗎？

生7：我覺得m≠0.

師：為什么？

生7：如果m=0，就不是一元一次方程了.

師：回答得非常好！這里老師再補充一點，既然n和a都是常數(shù)，那么就可以合并同類項了，于是可以得到一元一次方程的一般形式——mx+n=0（m≠0）. （教師板書一般形式）

問題1 ？搖解方程： =1- .

師：請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上解“問題1”的方程.

（教師來回巡視，試圖找那些解錯的例子）

生8： =1- ，3（2x-1）=1-（4x-1）…

師：誰來評價一下生8的解法？

生9：我覺得他的解法是錯的，第一步常數(shù)項“1”漏乘6.

師：那你能給生8解釋一下為什么“1”要乘6嗎？

生9：第一步去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)——等式兩邊同時乘6，所以每一項都要乘6.

師：我想生8應(yīng)該明白了，非常好，請坐！下面我們來看一下下面這位同學(xué)的解法.

生10： =1- ，3（2x-1）=6-4x-1…

師：誰來評價一下生10的解法？

生11：我覺得他的解法是錯的，第一步中（4x-1）是一個整體，作為減數(shù)要加括號.

師：分析得非常好！我們再來看下面這位同學(xué)的解法.

生12： =1- ，3（2x-1）=6-（4x-1），6x-3=6-4x+1，6x+4x=6-3+1…

生13：我覺得他的解法是錯的，第三步等號左邊的-3移項后沒有變號.

師：說得很好. 大家從解決這個方程的過程中可以回憶出解一元一次方程的步驟，以及在解方程過程中哪些地方比較容易出錯.

（教師板書解一元一次方程的步驟）

師：本題的答案是x=1. 它是一元一次方程嗎？它與原方程有何關(guān)系？

生14：它和原方程都是一元一次方程.

師：回答正確！還有補充的嗎？

生15：x=1是原方程的解.

師：很好！其實，解一元一次方程就是將方程變成“x=a”的形式.

師：為什么要學(xué)習(xí)一元一次方程？

生16：因為它能夠幫助我們解決實際問題.

師：是的，因為方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種十分有效的模型.

問題2？搖 請編寫一個能用方程70x+50（120-x）=6300解決的實際問題（不需要求解）.

師：大家獨立思考3分鐘后在學(xué)習(xí)單上寫下來，然后小組交流.

（小組交流，教師巡視、旁聽）

生17：小明買了兩種水果，共120千克，其中蘋果70元/千克，橘子50元/千克，總共花去6300元. 小明買了多少千克蘋果？

師：根據(jù)生17編寫的問題能夠列出此方程，但老師老覺得哪里不對勁，你們看出來了嗎？

（部分同學(xué)偷笑）

生18：蘋果和橘子沒有這么貴.

師：是的. 作為一名中學(xué)生，我們應(yīng)該學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，所以對于一些生活中的數(shù)據(jù)，我們要有一個大概的認識. 誰能幫忙修改一下？

生19：小明買了兩種商品，共120個，其中A商品70元/個，B商品50元/個，總共花去6300元. 小明買了多少個A商品？

師：這下可以了. 還有小組有其他的情境嗎？

生20：甲、乙兩車從同一地點沿著相反的方向運動，某時刻兩車相距6300米. 已知甲車的速度是70米/秒，乙車的速度是50米/秒，兩車共用時120秒，求甲車用了多長時間.

師：這個行程問題描述得很好. 老師在巡視的時候還發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)寫了不一樣的情境，其實我們常見的實際問題的情境就幾大類——銷售、行程、工程、調(diào)配等，而每一類問題都有一些相應(yīng)的分析方法，如銷售問題常通過表格進行分析，行程問題常通過線段圖進行分析.

（教師板書表格、線段示意圖的大致框架）

師：接下來我們來看最后一個問題.

問題3 ？搖旅行社組織甲、乙兩個旅游團到游樂場游玩. 已知兩個旅游團的總?cè)藬?shù)為120，其中甲旅游團的人數(shù)不超過60，游樂場規(guī)定一次性購票60張以上可享受團隊票. 門票價格如下：

旅行社計算后發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙兩旅游團分開購買，總共要花費6300元. 求甲、乙兩旅游團報名的人數(shù).

師：請同學(xué)們先獨立思考，有思路后再舉手.

（除了幾個同學(xué)有點想法而外，其余同學(xué)呈苦思冥想狀）

師：我們先根據(jù)條件逐步分析.

師：從“兩個旅游團的總?cè)藬?shù)為120”中，你能得到什么？

生（齊）：甲旅游團人數(shù)+乙旅游團人數(shù)=120.

師：從“甲旅游團的人數(shù)不超過60”中呢？

生21：甲旅游團人數(shù)小于或等于60.

師：從“甲、乙兩旅游團分開購買，總共要花費6300元”中呢？

生21：甲旅游團費用+乙旅游團費用=6300元.

師：設(shè)甲旅游團有x人，則乙旅游團有（120-x）人. 下面請同學(xué)們繼續(xù)思考.

生22：70x+50（120-x）=6300.

師：有不同的意見嗎？

生23：70x+60（120-x）=6300.

師：這兩位同學(xué)的解法有何不同？

生24：若甲旅游團的人數(shù)不少于20，則乙旅游團的人數(shù)不多于100，此時為生23的方程;若甲旅游團的人數(shù)少于20，則乙旅游團的人數(shù)多于100，此時為生22的方程.

生25：上述說法都不正確，我認為第二個方程不需要考慮，因為解出的答案為負數(shù).

師：這種情況下解出的答案不合題意，但真的不需要考慮嗎？

生（齊）：要考慮.

師：是的，我們應(yīng)該按照生24的思路考慮兩種情況，分別列出方程，然后舍去不符合題意的解.

（教師板書例題正解，強調(diào)分類討論思想）

最后，讓學(xué)生回憶本節(jié)課的要點，并由教師從知識與思想方法兩個方面做出總結(jié)，結(jié)束本節(jié)課.

幾點思考

1. 問題1：“數(shù)學(xué)運算”——“量”上求精簡

運算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中提到的八個核心詞之一，有著非常重要的地位. 運算能力也是知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等教學(xué)目標實現(xiàn)的基本條件. 近年來，初中生的運算能力存在普遍下滑的趨勢，為了扭轉(zhuǎn)這一局面，各地中考開始加強對運算能力的考查，其目的是讓教師在平時的課堂上注重對學(xué)生運算能力的培養(yǎng).

對于“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，教師都能意識到這節(jié)課的重點之一是加強數(shù)學(xué)運算能力，于是不少人在本節(jié)復(fù)習(xí)課上設(shè)置了多個不同形式的一元一次方程作為例題，再配上多個形式相當?shù)姆匠套鳛橥骄毩?xí). 表面上看，學(xué)生將一元一次方程的解法系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了一遍，但這畢竟是復(fù)習(xí)課，這樣的“題海戰(zhàn)術(shù)”學(xué)生早已厭倦，效果堪憂. 而本節(jié)課只在“問題1”中要求學(xué)生解一個方程，不是過去幻燈片上一下出現(xiàn)多個方程的形式，所以學(xué)生會用心地“呵護”這僅有的方程，于是發(fā)現(xiàn)犯低級錯誤的情況減少了. 但在講評的時候筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生依然會出現(xiàn)“漏乘”“移項沒變號”等錯誤. 出現(xiàn)這些錯誤的同學(xué)并不是簡單的粗心，而是算理模糊，所以這個環(huán)節(jié)要慢下來，要讓其他同學(xué)指出錯誤的根源，讓出錯的同學(xué)能夠在其他同學(xué)講解的過程中慢慢厘清算理，從而提高解方程的正確率.

2. 問題2：“數(shù)學(xué)建?！薄皩崱鄙锨笸黄?/p>

數(shù)學(xué)建模就是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達和解決問題的過程. 數(shù)學(xué)建?？疾榈氖菍W(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力. 整個建模過程有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題，以及用數(shù)學(xué)的語言表達問題的能力.

“一元一次方程”復(fù)習(xí)課的第二道“大菜”是用方程解決實際問題. 以往筆者都是從銷售、行程、工程及調(diào)配等類型中挑選一題或者兩題作為例題來講解，這種用方程模型解決問題的方式是發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！蹦芰Φ囊环N有效方式. 而本節(jié)課是在此基礎(chǔ)上做了一個突破——給定一個一元一次方程，讓學(xué)生來補充相應(yīng)的情境. 這個突破不僅在于知識點的突破，還在于考查了學(xué)生對生活的觀察和思考. 比如，課堂上生17就舉了一個從數(shù)學(xué)角度計算沒有問題，卻不符合實際生活的買水果例子. 再比如行程問題，學(xué)生在做一般的行程問題時通常都覺得不太容易，于是教師在講解的時候反復(fù)強調(diào)要通過線段示意圖來分析，不過還是有許多學(xué)生不會這樣做. 所以，在給定一個一元一次方程，讓學(xué)生補充行程情境的情況下，由于難度加大，便逼著學(xué)生通過畫線段圖進行分析.

3. 問題3：“綜合素養(yǎng)”——“新”上求發(fā)展

當今社會，各行各業(yè)都在追求“創(chuàng)新”，教師教學(xué)同樣需要創(chuàng)新，課件設(shè)計更需要創(chuàng)新. 筆者在設(shè)計“一元一次方程”復(fù)習(xí)課時，總會思考一個問題——為什么要學(xué)習(xí)一元一次方程？其中一個重要的答案就是課堂上學(xué)生的回答——為了解決實際問題. 而這些實際問題除了課本上、習(xí)題冊上出現(xiàn)的各類情境問題外，還包含真正的“實際問題”. 如每逢“雙11”，商家都會推出一系列打折滿減活動;再比如“問題3”給出的團購門票問題等，這些都是日常生活中常見的可以利用方程解決的例子. 從這個意義上講，“問題3”的設(shè)置是“新”，但并不止于此：表格的加入可以鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力;解法的不唯一考查的是學(xué)生的分類思想. 細心的同學(xué)還會發(fā)現(xiàn)，“問題3”列出的方程似曾相識——就是“問題2”中的方程，這樣的處理使得整節(jié)課的結(jié)構(gòu)更加完整.

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.