黃云明

[摘? 要] “成長型課堂”的研究注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，其中猜想驗(yàn)證式探究能力的培養(yǎng)是提升學(xué)生自主探究能力的一個(gè)重要方面。猜想只是一種猜測、假想，需要通過驗(yàn)證活動(dòng)去證實(shí)猜想是否正確，從而獲得結(jié)論。提升學(xué)生的猜想驗(yàn)證式探究能力，可以從三個(gè)要點(diǎn)入手：一是提供生成猜想的“源”，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生猜想;二是提煉明晰驗(yàn)證的“法”，保障驗(yàn)證順利進(jìn)行;三是經(jīng)歷真實(shí)探究的“悟”，深度分析所獲結(jié)論。

[關(guān)鍵詞] 猜想;驗(yàn)證;探究能力

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度。在有些情況下，猜想比教會(huì)證明更重要，有了猜想，更能激發(fā)學(xué)生的探索欲望?！庇纱丝梢姡孪朐跀?shù)學(xué)思維活動(dòng)中的重要性，也是小學(xué)階段常用的思考方法之一。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的猜想意識，通過探究活動(dòng)，提升學(xué)生驗(yàn)證猜想的能力。

猜想，它是一種數(shù)學(xué)猜想，是指“人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)多方面的聯(lián)想”，是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了一定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的思考、質(zhì)疑、假想，是有經(jīng)驗(yàn)的生長。猜想只是一種猜測、假想，需要通過驗(yàn)證活動(dòng)去證實(shí)猜想是否正確，從而獲得結(jié)論。在江北新區(qū)“成長型課堂”的研究下，教師們注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，結(jié)合《猜想驗(yàn)證式探究能力指標(biāo)》，從提出問題、合理猜想、設(shè)法驗(yàn)證、獲得結(jié)論、回顧反思這五個(gè)方面來培養(yǎng)學(xué)生的猜想驗(yàn)證式探究能力。筆者就以一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的實(shí)例來談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的猜想驗(yàn)證式探究能力。

一、提供生成猜想的“源”，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生猜想

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程來看，數(shù)學(xué)猜想的產(chǎn)生有多種途徑，可“由歸納而產(chǎn)生”，也可“由類比而產(chǎn)生”，還可“由問題而產(chǎn)生”和“由直觀而產(chǎn)生”。但不管是哪一種途徑，都是學(xué)生在有參與、有體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)概念或規(guī)律產(chǎn)生了聯(lián)想推斷的結(jié)果。

在課堂教學(xué)中，教師可以通過合理地改編教材內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生圍繞核心問題進(jìn)行猜想。在數(shù)學(xué)活動(dòng)課《神奇的小O》中，通過創(chuàng)設(shè)神奇的小O這個(gè)情境，讓學(xué)生觀察隨意移動(dòng)的小O而形成的涂色部分面積，不斷產(chǎn)生新的猜想而采取驗(yàn)證的探究活動(dòng)。

師：這是一個(gè)長方形，看，小O來了，它和四個(gè)頂點(diǎn)組成了這樣的涂色部分，你能計(jì)算出涂色部分的面積嗎？請你在研學(xué)單上完成。（學(xué)生獨(dú)立完成）

生1：涂色部分分成了兩個(gè)三角形，把三角形的面積分別求出來再相加就可以了，結(jié)果是30平方厘米。（圖2）

師：神奇的小O開始移動(dòng)了，小O可以移到這兒，它可以隨意地移動(dòng)，你會(huì)產(chǎn)生什么疑問呢？

生2：我想問一下，當(dāng)我們改變這兩個(gè)三角形的形狀時(shí)，它的面積會(huì)不會(huì)改變呢？還是會(huì)相等呢？

師：提出問題比解決問題更難，你提出了一個(gè)值得我們?nèi)パ芯康膯栴}，特別棒！（板書：提出問題）那涂色部分的面積會(huì)不會(huì)改變呢？誰想來猜一猜。（板書：合理猜想）

生3：我猜測它是不會(huì)改變的，因?yàn)榘研往上拉的話，那你下面的三角形就會(huì)變大，上面的三角形就會(huì)變小;如果往下拉的話，上面的三角形就會(huì)變大，下面的三角形就會(huì)變小。所以說應(yīng)該是不會(huì)變化的。

生4：我覺得涂色部分的面積不會(huì)變，因?yàn)槿切蔚拿娣e公式是底×高÷2，如果底和高都不改變的話，那它的面積是不會(huì)改變的。

師：這是你們的猜想，那你能想辦法來驗(yàn)證你的猜想嗎？（板書：設(shè)法驗(yàn)證）

學(xué)生的猜想是基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)展開的，在學(xué)生的猜想中，都能依據(jù)已有的知識經(jīng)驗(yàn)說明猜想的理由，也是圍繞核心的數(shù)學(xué)問題而展開的猜想，讓猜想變得更有價(jià)值，為驗(yàn)證提供了很好的起點(diǎn)。

二、提煉明晰驗(yàn)證的“法”，保障驗(yàn)證順利進(jìn)行

猜想是“不知其真假”的數(shù)學(xué)敘述，驗(yàn)證其實(shí)不是直接針對猜想進(jìn)行的，而是針對猜想進(jìn)行了提煉歸并以后所做出的假設(shè)進(jìn)行的。有了相關(guān)的假設(shè)，驗(yàn)證環(huán)節(jié)的實(shí)踐就有了明確的方向。對于小學(xué)生而言，最好的驗(yàn)證是“舉例驗(yàn)證”，有時(shí)也可采用推理驗(yàn)證。

教學(xué)片段二：

探究活動(dòng)一：涂色部分的面積會(huì)不會(huì)變化？

小組匯報(bào)。

生1：我們組猜想在相同的長方形內(nèi)，小O的位置移動(dòng)后涂色部分的面積是不變的。

生2：我們分別在長方形中畫出三角形的高是1厘米和5厘米，算出兩個(gè)三角形的面積和是30平方厘米;三角形的高是4厘米和2厘米，算出來也是30平方厘米;畫出的兩個(gè)三角形的高都是3厘米，它們的面積之和還是30平方厘米。

生3：我們可以看一下列出的三個(gè)算式，都可以化簡成同一個(gè)算式，即10×6÷2，另外從三角形的意義上來說，其實(shí)兩個(gè)三角形可以變成一個(gè)三角形，都可以直接用底×高÷2來算。大家還有什么補(bǔ)充的嗎？

生4：我還有一個(gè)補(bǔ)充，因?yàn)槲覀兛梢园岩粋€(gè)長方形分為上下兩個(gè)長方形，我們可以發(fā)現(xiàn)，上面的三角形是上面長方形的一半，下面的三角形是下面這個(gè)長方形的一半，所以兩個(gè)三角形的面積之和就是整個(gè)長方形面積的一半。

生5：我覺得最后一幅圖最能證明涂色面積是10×6÷2，因?yàn)殚L方形的長是10，寬是6，而三角形的面積公式是長×寬÷2，所以用這個(gè)圖形更能說明涂色面積就是10×6÷2。

師：剛才兩個(gè)小組解釋了為什么面積不變，他們舉的例子都是從O點(diǎn)在不同位置上進(jìn)行觀察的。（板書：不同位置）這些O點(diǎn)在不同位置上所形成的涂色部分什么變了，什么不變？

生6：我覺得是三角形的形狀變了，但是它們的面積之和沒有變。

生7：我覺得它們的底沒有變，它們的高變了，但是它們高的總和沒有變。

生8：我想說的是這幅圖經(jīng)過計(jì)算之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)O點(diǎn)在長方形外面的時(shí)候，這個(gè)涂色部分的面積也是不會(huì)變的。上面的三角形底是10厘米，高是4厘米，最后算出來也是30平方厘米。但是有一個(gè)地方我還沒有想到，就是如果把O點(diǎn)移到下面，我不確定這樣移動(dòng)之后面積是否還會(huì)相同，有哪位同學(xué)愿意為我解答一下嗎？

在電腦屏幕上將O點(diǎn)移動(dòng)到長方形的下面。

生9：在你剛才畫的這個(gè)圖形上，涂色面積應(yīng)該是變化的，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)三角形的高已經(jīng)超出了6厘米，所以這兩個(gè)三角形的面積比我們之前兩個(gè)三角形的面積要大，因此涂色部分的面積是變化的。最后我覺得O點(diǎn)是可以移到外面的，但是面積不可以有重復(fù)的部分。

師：多有想法的姑娘呀，掌聲送給她！

學(xué)生驗(yàn)證環(huán)節(jié)的探究活動(dòng)，是先對猜想進(jìn)行了一定的假設(shè)再采取驗(yàn)證的行動(dòng)。學(xué)生在小組匯報(bào)中，生生、師生交流中運(yùn)用舉例歸納驗(yàn)證自己的猜想，同時(shí)能從不同的角度進(jìn)行舉例歸納，讓驗(yàn)證更具有科學(xué)性。

三、經(jīng)歷真實(shí)探究的“悟”，深度分析所獲結(jié)論

學(xué)生的學(xué)習(xí)必須是真實(shí)經(jīng)歷探究的過程，得到的結(jié)論才具有自己的思考。再通過自主探究、合作交流等形式，將探究的結(jié)論進(jìn)行深度的分析，層層推理，對比分析，逐步深入，這樣才能感悟內(nèi)化探究結(jié)論。

教學(xué)片段三：

師：通過你們剛才的探究，你們獲得了怎樣的結(jié)論？（板書：獲得結(jié)論）

生1：我們獲得的結(jié)論是，同一個(gè)長方形中，無論小O點(diǎn)移動(dòng)到哪里，它們的涂色面積不變。

師：剛才我們是通過舉不同的例子，歸納得出了這樣的結(jié)論。（板書：舉例歸納）那在舉例、歸納的過程中需要注意些什么呢？

生2：我覺得我們應(yīng)該要根據(jù)題意舉例，就是舉例要合理。

生3：我們在舉例的時(shí)候要注意選取長方形里面的、邊上的，還有點(diǎn)上的這些不同位置上的點(diǎn)，這樣的研究才具有科學(xué)性。

師：現(xiàn)在來看看我們獲得的結(jié)論，為什么涂色部分的面積會(huì)不變呢？我們用圖形來理解一下。這是長方形的兩個(gè)涂色部分，它們的底都是長方形的長，用字母a來表示，上面三角形的高用h1來表示，下面三角形的高用h2來表示，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式“底×高÷2”，那涂色部分的面積我們可以寫成ah1+ah2，根據(jù)乘法分配律還可以寫成a（h1+h2），看到這個(gè)式子，你能明白為什么涂色部分的面積不變了嗎？

生4：因?yàn)楫?dāng)我們移動(dòng)小O的時(shí)候，h1+h2是永遠(yuǎn)不會(huì)改變的，所以最后它們的面積是不會(huì)改變的。

生5：我還想說它的a也是不變的，都是長方形的底。

師：這個(gè)式子除了可以看出涂色部分的面積不變，還能看出什么？

生6：我還能看出來這兩個(gè)三角形的面積之和，它們都是長方形面積的一半。

學(xué)生在驗(yàn)證環(huán)節(jié)更多用到的是舉例歸納，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行字母式的推理演繹，幫助學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識更加深刻。推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高是一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。

總之，在猜想驗(yàn)證式探究能力培養(yǎng)的實(shí)施中，引發(fā)猜想是起點(diǎn)，是基礎(chǔ)，驗(yàn)證是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的落實(shí)，也是學(xué)生歸納思維、演繹思維等邏輯思維能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。作為一線教師，要基于課程標(biāo)準(zhǔn)，積極開發(fā)和利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。