白茂軍

[摘? 要] 課堂教學(xué)的過程中，教師需要關(guān)注變式探究對課堂教學(xué)的促進(jìn)作用，組織開放高效的變式探究活動(dòng)，讓學(xué)生在嘗試、質(zhì)疑、探究、表達(dá)、歸納和提煉的過程中，積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)，拓寬數(shù)學(xué)思維，從而讓探究活動(dòng)從有效走向高效，使學(xué)生真正意義上學(xué)會(huì)科學(xué)學(xué)習(xí)的方法. 文章以一道習(xí)題的變式為例，對情境導(dǎo)入、變式引領(lǐng)和變式推廣的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行展示和分析，詳細(xì)闡述高中數(shù)學(xué)變式探究的價(jià)值，以創(chuàng)設(shè)高效的數(shù)學(xué)課堂.

[關(guān)鍵詞] 變式探究;數(shù)學(xué)課堂教學(xué);高效學(xué)習(xí)

教學(xué)活動(dòng)過程是教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”相互融合的一個(gè)過程，教法和學(xué)法在教學(xué)過程中都具有十分重要的意義. 然而一些教師著重關(guān)注教法，忽視對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，這對于學(xué)生的思考與探究十分不利;也有一些教師花費(fèi)心力指導(dǎo)學(xué)法，卻拋開教的過程，這樣的教學(xué)過程也是低效的. 筆者認(rèn)為，教學(xué)需要以學(xué)生為中心，融合教與學(xué)的過程，通過合理的教法激起學(xué)生的學(xué)，使學(xué)生高效學(xué)習(xí).

“變式探究”是教與學(xué)相互溝通的教學(xué)方式，就是通過典型問題，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作探究的展開提供有效保證，更進(jìn)一步的，通過對問題的變式精當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生有效學(xué)習(xí)，放手讓學(xué)生去嘗試、質(zhì)疑、探究、表達(dá)、歸納和提煉，從而啟發(fā)學(xué)生拓寬思路，多角度和多層次獲取各種信息，在不斷深化的過程中，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓探究活動(dòng)從有效走向高效，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新思維，最終使學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)學(xué)習(xí)的方法. 下面以一道習(xí)題為載體，闡述變式探究在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以期為高中數(shù)學(xué)教師提供幫助.

以情境導(dǎo)入，使學(xué)生的探究初露端倪

數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題的作用主要表現(xiàn)在：一是對學(xué)習(xí)動(dòng)力的促進(jìn)作用，可以激起學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的強(qiáng)烈欲望，為學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供動(dòng)力指引;二是對學(xué)生思維的激勵(lì)作用，問題是思維的起點(diǎn)，可以引起學(xué)生的注意力和興趣，可以為教學(xué)活動(dòng)的成功推進(jìn)提供良好的氛圍. 因此，教師需重視問題情境的導(dǎo)向作用，創(chuàng)設(shè)合理而有效的問題情境，激起學(xué)生的探究興趣，使學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)，使學(xué)生的探究初露端倪，從而為整節(jié)課的探究活動(dòng)做好前奏曲.

片段1：

例題導(dǎo)入：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，試在該橢圓上找出一點(diǎn)P，使得該點(diǎn)與F ，F(xiàn) 的連線相互垂直.

例題背景：本題是一道教材習(xí)題，看似簡單卻內(nèi)涵豐富. 在近幾年的高考中，命題專家曾多次以此類問題為背景，將數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想融合為一體，充分考查學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新意識(shí). 由于本題隱含深刻內(nèi)涵，教師通過追根溯源的方式進(jìn)行了如下教學(xué)：

師：請大家試著作出該題的圖形，并深入觀察，從中是否可以得出什么結(jié)論？

生1：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓，且與該橢圓有4個(gè)交點(diǎn).

師：非常棒！對于任意橢圓，是否滿足條件的點(diǎn)P都存在呢？（基于問題的指引，學(xué)生很快投入思考和探究的狀態(tài)中，在計(jì)算后得出結(jié)論）

生2：這樣的點(diǎn)P并非一定存在.

師：那么，若將點(diǎn)P視為題目的一個(gè)條件，則本題共有幾個(gè)條件？

生3：共3個(gè)條件：① + =1;②PF ⊥PF ;③P（3，4）.

……

設(shè)計(jì)說明：本節(jié)課中教師選用的題材并不新穎，但對于該課題的研究卻有著較高的立意，很好地體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念. 如何上出“新意”是探究性教學(xué)必須面對和解決的一個(gè)重要問題. 上例中，教師首先設(shè)計(jì)好的問題情境與探究活動(dòng)，并一步步地進(jìn)行指引，使得原本枯燥的問題變得靈動(dòng)起來，在提出不突兀的“問題鏈”的同時(shí)，開始慢慢抓住學(xué)生的“心”. 學(xué)生逐步感受到教師的匠心獨(dú)運(yùn)，愿意在這樣的氛圍中與教師逐步進(jìn)入探究活動(dòng)，走進(jìn)知識(shí)的殿堂，從而師生交流和生生互動(dòng)油然而生，同時(shí)為下文介紹的變式探究埋下了伏筆.

以變式引領(lǐng)，使學(xué)生的探究步入正軌

？搖好的探究活動(dòng)不僅需做到“回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)”，還應(yīng)達(dá)到“既有寬度，又有深度”. 教師是探究活動(dòng)的組織者，因此，需要為學(xué)生的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)好的探究情境，營造一種適合探究的學(xué)習(xí)氛圍，并設(shè)置好的梯度問題，準(zhǔn)確把握探究的深度，促進(jìn)探究活動(dòng)的層層展開，使學(xué)生的探究步入正軌，探究教學(xué)的過程深入數(shù)學(xué)教育過程的核心.

片段2：

師：若老師將上例中條件的位置改變，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？若滿足條件的點(diǎn)P存在，其離心率的范圍是什么呢？讓我們帶著這些問題進(jìn)行如下探究：

探究1：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，且點(diǎn)P（3，4）在橢圓上，求∠F PF 的度數(shù).

探究2：已知橢圓 + =1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，點(diǎn)P在橢圓上，PF ⊥PF ，求離心率e的范圍.

探究3：已知橢圓 + =1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，問：在該橢圓上是否總能找到一點(diǎn)P，使得它與F ，F(xiàn) 的連線相互垂直？

設(shè)計(jì)說明：教師致力于將探究問題與例題建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，讓學(xué)生在思考、探究、討論和辨析中逐步探究解題方法，活躍其逆向思維. 學(xué)生經(jīng)歷了從正向思維向逆向思維自然過渡的過程，實(shí)現(xiàn)了思維的延伸，可見思維的生長也是由不斷探究而獲得的. 課堂探究進(jìn)入此處，學(xué)生的探究情緒越發(fā)高漲，思維也越發(fā)活躍，教師及時(shí)把握機(jī)會(huì)，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)：

探究4：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，且點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，若△F PF 的面積是20，∠F PF =90°，試求出該橢圓的方程.

探究5：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，且點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，∠F PF =90°，試求出△F PF 的面積.

探究6：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 和F ，且點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，試求出當(dāng)∠F PF =60°時(shí)△F PF 的面積.

設(shè)計(jì)說明：以一個(gè)典型問題為載體，以變式的形式，由問題導(dǎo)思，引來學(xué)生的探究活動(dòng). 整個(gè)過程中，變式間互相聯(lián)系卻又層層推進(jìn)，貫穿了多個(gè)數(shù)學(xué)思想和方法，所有問題最終回歸了核心數(shù)學(xué)知識(shí). 學(xué)生在探究的過程中，處于不斷思考和解決問題的活動(dòng)之中，不斷體驗(yàn)成功的喜悅，這樣的探究活動(dòng)是學(xué)生喜愛的，是真實(shí)的，是高效的.

以變式推廣，使學(xué)生的探究走向深入

變式推廣是變式教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是促進(jìn)學(xué)生知識(shí)外化的過程. 在這個(gè)過程中，我們不僅需要進(jìn)一步推廣以上問題，使學(xué)生在課后有更充裕的時(shí)空進(jìn)行更深層次的探究，還要關(guān)注到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，關(guān)注到問題的難度，讓學(xué)生在知識(shí)的深化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)往往可以使學(xué)生的探究走向深入. 為此，教師又一次設(shè)計(jì)了如下變式問題，為學(xué)生課余時(shí)間的探究提供幫助：

變式1：試著說一說使得橢圓 + =1（a>b>0）上的一點(diǎn)P與該橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)A ，A 的連線相互垂直的充要條件.

變式2：試著說一說使得橢圓 + =1（a>b>0）上的一點(diǎn)P與該橢圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A和B相互垂直的充要條件.

變式3：已知AB為橢圓 + =1（a>b>0）的一條焦點(diǎn)弦，試著說一說該橢圓上的一點(diǎn)P使得∠APB為直角的充要條件.

設(shè)計(jì)說明：變式推廣是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)用好數(shù)學(xué)思想和方法的必要過程，是將知識(shí)技能轉(zhuǎn)化為能力的必要手段. 好的變式推廣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，還可以強(qiáng)化思維訓(xùn)練，從而完善其思維品質(zhì). 上述活動(dòng)中，教師通過有效的變式讓學(xué)生的課后探究更加具有活力，更加深入，更加具有靈氣.

總之，變式探究活動(dòng)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)、數(shù)學(xué)概念教學(xué)等多種課型中都具有十分重要的意義. 我們應(yīng)當(dāng)深入了解變式探究的特征和策略，在平時(shí)的教學(xué)中，將變式探究活動(dòng)與教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)等自然地融合在一起，設(shè)計(jì)開放、愉悅和寬松的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生帶著問題投入課堂學(xué)習(xí)，帶著更高層次的問題走出課堂，使數(shù)學(xué)課堂扎實(shí)、高效、有智慧，真正意義上提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效性，創(chuàng)設(shè)高效的數(shù)學(xué)課堂.