李和壁，田長海，張守帥，江雨星

（1.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081；3.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川成都 610031；4.蘭州交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，甘肅蘭州 730000）

準(zhǔn)確計(jì)算客貨共線鐵路通過能力是編制客貨運(yùn)輸計(jì)劃的重要依據(jù)，也是提高運(yùn)行圖利用率的基礎(chǔ)。作為傳統(tǒng)通過能力計(jì)算方法，扣除系數(shù)法利用不同類型列車時(shí)間占用比例反推區(qū)段通過能力，具有簡單方便等優(yōu)勢，一直是我國鐵路計(jì)算通過能力的主要方法。

近年來，扣除系數(shù)法的不足開始逐步凸顯。隨著我國高速鐵路的快速發(fā)展，連發(fā)追蹤旅客列車數(shù)量在運(yùn)行圖鋪畫中所占比重越來越大，而扣除系數(shù)法會(huì)引起連發(fā)追蹤旅客列車的時(shí)間占用因素互相重疊的比例升高，難以得到符合實(shí)際的計(jì)算結(jié)果，無法正確評(píng)估會(huì)讓、越行、停站帶來的時(shí)間損耗對(duì)區(qū)段整體通過能力的影響。

除扣除系數(shù)法外，現(xiàn)行的客貨共線鐵路區(qū)段通過能力計(jì)算方法有圖解法、UIC 406 壓縮法等，相關(guān)學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了卓有成效的研究，從不同角度予以改進(jìn)優(yōu)化。文獻(xiàn)［1—5］研究了不同等級(jí)列車共線時(shí)的扣除系數(shù)，并首次量化了扣除系數(shù)的計(jì)算式；文獻(xiàn)［6］提出了不同中速列車數(shù)量對(duì)扣除系數(shù)與通過能力的影響；文獻(xiàn)［7—9］從本質(zhì)上分析了扣除系數(shù)法在高速鐵路通過能力計(jì)算上無法繼續(xù)適用的原因；文獻(xiàn)［10］分析不同速度等級(jí)列車的混行比例與停站策略，確定了通過能力可達(dá)到最值的列車開行、停站比例；文獻(xiàn)［11］利用STA 模態(tài)離散事件模型優(yōu)化調(diào)度并計(jì)算區(qū)段通過能力；文獻(xiàn)［12］利用元胞自動(dòng)機(jī)模型，模擬分析了“高中速列車混行”模式下不同因素對(duì)通過能力的影響；文獻(xiàn)［13］提出了中速列車相對(duì)于高速直達(dá)列車平均扣除系數(shù)的變化趨勢；文獻(xiàn)［14］對(duì)扣除系數(shù)法和平均最小列車間隔法進(jìn)行了結(jié)合；文獻(xiàn)［15］對(duì)越行車站數(shù)量與通過能力的關(guān)系進(jìn)行了適用性研究；文獻(xiàn)［16］根據(jù)現(xiàn)有旅客列車開行方案數(shù)據(jù)計(jì)算了各區(qū)段的通過能力及其評(píng)估指標(biāo)；文獻(xiàn)［17］分析了混合類型條件對(duì)高速鐵路列車運(yùn)行計(jì)劃及通過能力計(jì)算平衡性影響；文獻(xiàn)［18］提出在混合交通流條件下列車數(shù)、平均速度、穩(wěn)定性、異質(zhì)性及其相互關(guān)系對(duì)通過能力的影響；文獻(xiàn)［19—24］采用基于UIC 406壓縮運(yùn)行圖法實(shí)現(xiàn)通過能力的計(jì)算，但由于我國鐵路存在大量跨線列車，該方法是否適用于我國鐵路尚待論證。

隨著我國鐵路路網(wǎng)的延展，線上開行列車和中間站數(shù)量不斷增加，因列車類型不同、列車停站位置不同產(chǎn)生的列車與鄰車間組合類型將越來越多，扣除系數(shù)法等傳統(tǒng)方法難以體現(xiàn)實(shí)際通過能力與非標(biāo)準(zhǔn)類型列車通行對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，以及不能量化因此產(chǎn)生的時(shí)間損耗，因此會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大。

本文提出1 種基于改進(jìn)Rotor 模型的全時(shí)迭代方法，可用于計(jì)算客貨共線鐵路通過能力。在確定運(yùn)行圖既有列車分層策略基礎(chǔ)上，將運(yùn)行圖通過能力最優(yōu)解問題轉(zhuǎn)化為基于平行運(yùn)行圖逐層鋪畫不同種類開行列車，并求解每次鋪畫對(duì)運(yùn)行圖總通過能力影響最小的最值問題；依托京滬鐵路徐州北下發(fā)場—蚌埠區(qū)段實(shí)際時(shí)刻表數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，并與其他迭代方法和通過能力計(jì)算方法對(duì)比，證實(shí)其效率。

1 數(shù)據(jù)分層策略

傳統(tǒng)扣除系數(shù)法難以體現(xiàn)實(shí)際通過能力與非標(biāo)準(zhǔn)類型列車通行對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，且不能量化隨之而來的時(shí)間損耗，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大。為了解決這一局限，首先對(duì)1晝夜內(nèi)通過目標(biāo)區(qū)段的列車相關(guān)初始數(shù)據(jù)進(jìn)行分層，確定不同類型列車及天窗鋪畫順序；再根據(jù)列車開行優(yōu)先級(jí)，解決通過能力計(jì)算過程中不同類型列車互相干擾的問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)各類型列車開行時(shí)刻調(diào)整的量化，并據(jù)此判斷其對(duì)目標(biāo)區(qū)段整體通過能力的影響。分層鋪畫的優(yōu)先級(jí)層次如下。

（1）基礎(chǔ)編輯列車，包括區(qū)段貨物列車、直達(dá)貨物列車等在中間站不停車的列車，為了達(dá)到通過能力的極限值，統(tǒng)一取區(qū)間運(yùn)行速度最快的直達(dá)貨物列車。

（2）不可編輯列車，包括跨線旅客列車、貨運(yùn)五定班列［25］等當(dāng)前路局無權(quán)限調(diào)整（不可編輯）的列車，其特點(diǎn)為：開行時(shí)刻、停站方案均為定值。

（3）部分編輯列車，由局管內(nèi)旅客列車構(gòu)成，其特點(diǎn)為：開行對(duì)數(shù)、區(qū)間運(yùn)行速度、停站方案是定值，但開行時(shí)刻路局可以調(diào)整，為可變值。

（4）完全編輯列車，包括摘掛列車等開行時(shí)刻、停站方案均可變且級(jí)別較低的列車。

（5）天窗起止時(shí)刻，考慮天窗時(shí)間一定的情況下，其開始、結(jié)束的具體時(shí)間會(huì)對(duì)區(qū)段通過能力數(shù)量產(chǎn)生損耗，故要將其作為迭代因子。

通過考慮不同類型列車等級(jí)及其相互之間的復(fù)雜組合，對(duì)既有列車采取特定分層策略，將計(jì)算目標(biāo)區(qū)段客貨共線鐵路通過能力問題，轉(zhuǎn)換為以平圖基礎(chǔ)編輯列車列數(shù)為起始目標(biāo)值，逐層鋪畫并將每次鋪畫對(duì)目標(biāo)值影響最小作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，最終使得目標(biāo)值趨于最值的問題，再去除因?yàn)樵O(shè)置天窗導(dǎo)致的能力消耗，即是目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力。

2 改進(jìn)Rotor模型及優(yōu)點(diǎn)

2.1 簡單Rotor模型

由于不同類型列車的會(huì)讓、越行以及停站組合對(duì)整體通過能力的影響較大，而傳統(tǒng)迭代模型又有計(jì)算效率較低、無法隨著約束條件的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)迭代的劣勢，為了計(jì)算不同類型列車混合開行下的客貨共線鐵路通過能力，需要選用1 種能夠量化不同約束條件間相關(guān)性的模型結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)各類型時(shí)刻的無損耗迭代。

簡單Rotor 模型是1 種用于數(shù)據(jù)枚舉的迭代算法，主要通過模仿密碼鎖解鎖的方式為定義域是可列集的非連續(xù)多元方程尋優(yōu)。假定1 把密碼鎖由3個(gè)轉(zhuǎn)子構(gòu)成，每1 個(gè)轉(zhuǎn)子的遍歷區(qū)域?yàn)? 到10，則一定可以通過103次迭代找到密碼。

同理，若為某多元函數(shù)尋優(yōu)，其目標(biāo)函數(shù)Z為

式中：v為轉(zhuǎn)子函數(shù)的數(shù)量；fi(xi)為目標(biāo)函數(shù)的第i個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)，且1≤i≤v；xi為不同約束條件下的自變量。

假設(shè)fi(xi)的定義域基數(shù)為card(xi)，若所有card(xi)均為正整數(shù)，則一定存在正整數(shù)φ，使得

2.2 改進(jìn)Rotor模型

簡單Rotor 模型雖然證明了遍歷得解的必然性，但在解決某些復(fù)雜問題時(shí)，存在遍歷空間較大導(dǎo)致計(jì)算效率過低的缺點(diǎn)。為此通過比照密碼鎖解鎖過程中正確密碼附近存在寬容區(qū)域，并可通過監(jiān)聽機(jī)械輕微響動(dòng)提前確定上位密碼等方法，從轉(zhuǎn)子寬容度、分元枚舉、轉(zhuǎn)子約束3 個(gè)策略對(duì)簡單Ro?tor模型進(jìn)行優(yōu)化。

（1）針對(duì)轉(zhuǎn)子寬容度的改進(jìn)策略。假設(shè)某密碼鎖的某位密碼為x0，若該位密碼的寬容度為Δx0，則x0-Δx0，x0，x0+Δx0均可作為密碼子，即枚舉時(shí)可以將2Δx0作為迭代參數(shù)以減少迭代量。由此，為共同影響目標(biāo)函數(shù)Z的v個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)分別施加寬容度Δxi，取其步進(jìn)的步長分別為2Δxi，則式（1）中的迭代量可由降低為。

（2）針對(duì)分元枚舉的改進(jìn)策略。對(duì)于式（1）中共同影響目標(biāo)函數(shù)Z的v個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)，考慮到轉(zhuǎn)子函數(shù)之間并無互相約束關(guān)系，因此可針對(duì)不同轉(zhuǎn)子函數(shù)分別進(jìn)行枚舉，在后續(xù)迭代中只需對(duì)這v個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)分別進(jìn)行迭代并求解最值，則式（1）中的迭代量可由再次降低為。

（3）針對(duì)轉(zhuǎn)子約束的改進(jìn)策略。對(duì)于式（1）中共同影響目標(biāo)函數(shù)Z的v個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)，若以γ為轉(zhuǎn)子函數(shù)間存在的某種互相約束條件，即存在f1(x1)=γ()f2(x2)，將其代入式（1）中，則目標(biāo)函數(shù)Z可表示為

至此，可將改進(jìn)Rotor 模型的原理總結(jié)為：非線性函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)Z中，有v個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)，任一轉(zhuǎn)子函數(shù)所對(duì)應(yīng)的定義域的集合均為可列集，若第i個(gè)轉(zhuǎn)子函數(shù)的定義域集合基數(shù)為card(xi)，則可通過不大于次迭代，找到符合目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；同時(shí)，還可以通過寬容度、分元枚舉與約束條件這3 種策略，進(jìn)一步優(yōu)化迭代空間。由此形成的改進(jìn)Rotor模型如圖1所示。

圖1 改進(jìn)Rotor模型運(yùn)算過程示意圖

2.3 改進(jìn)Rotor模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）能夠適應(yīng)客貨共線鐵路通過能力的復(fù)雜計(jì)算。根據(jù)前文數(shù)據(jù)分層策略，客貨共線鐵路通過能力的目標(biāo)函數(shù)為非連續(xù)函數(shù)，對(duì)于基礎(chǔ)編輯列車、路局有權(quán)限調(diào)整的部分編輯列車與完全編輯列車，其開行時(shí)刻與合理的天窗時(shí)刻均在0～24 時(shí)范圍內(nèi)循環(huán)，且各類型列車數(shù)量可數(shù)，只有處于枚舉狀態(tài)的每個(gè)變量都達(dá)到最優(yōu)值，才能使目標(biāo)區(qū)段通過能力取到最大值。由改進(jìn)Rotor 模型的原理可知，模型可解決這一復(fù)雜計(jì)算過程并為其尋得最優(yōu)解。此外，利用改進(jìn)Rotor 模型計(jì)算客貨共線鐵路通過能力，不僅可量化實(shí)際通過能力與非標(biāo)準(zhǔn)類型列車通行對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，而且還可以考慮到越行、停站等因素對(duì)通過能力的影響，繼而優(yōu)化扣除系數(shù)法無法準(zhǔn)確評(píng)估現(xiàn)行不同列車比例導(dǎo)致區(qū)段通過能力影響計(jì)算不準(zhǔn)的問題。

（2）能夠大幅減少迭代量。與同屬于迭代方法的窮舉法相比，改進(jìn)Rotor 模型既可依據(jù)目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解，還可利用寬容度、分元枚舉與轉(zhuǎn)子約束這3 種策略大幅減少迭代量，使最終優(yōu)化結(jié)果快速趨于收斂。例如，為求解某三元次方程在2 個(gè)約束條件下的最大值，在相同的計(jì)算機(jī)配置下，利用C#編程環(huán)境與GraphPad Prism 平臺(tái)，采用常規(guī)窮舉法、簡單Rotor模型、改進(jìn)Rotor模型3種方法得到的迭代曲線分別如圖2所示。由圖可知，以10 s為計(jì)算界限，常規(guī)窮舉法因效率太低，無法在既定迭代次數(shù)既定計(jì)算時(shí)長內(nèi)完成收斂；簡單Ro?tor 模型的迭代次數(shù)為10 億次，可在既定迭代次數(shù)內(nèi)完成計(jì)算，但計(jì)算耗時(shí)較長，為6.43 s；改進(jìn)Rotor模型的迭代次數(shù)為1萬次，大大低于簡單Ro?tor 模型，不僅可在最少迭代次數(shù)內(nèi)完成計(jì)算，而且計(jì)算耗時(shí)較短，為0.54 s?？梢姼倪M(jìn)Rotor 模型不僅優(yōu)化了性能，還提升了效率。

圖2 3種迭代策略的效率曲線與耗時(shí)對(duì)比

3 基于改進(jìn)Rotor 模型的通過能力計(jì)算方法

由前文數(shù)據(jù)分層策略可知，需要迭代的參數(shù)是基礎(chǔ)編輯列車時(shí)刻、部分編輯列車時(shí)刻、完全編輯列車時(shí)刻和天窗起止時(shí)刻。因此，算法中首先按照前述分層策略處理既有列車并使其集合化；再利用1 晝夜內(nèi)通過目標(biāo)區(qū)段的列車數(shù)一定為非連續(xù)正整數(shù)且可數(shù)的特點(diǎn)，將列車必須滿足的最小追蹤間隔時(shí)間作為參數(shù)，在考慮下層列車鋪畫對(duì)上層列車數(shù)量影響的基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)Rotor 模型實(shí)現(xiàn)無損耗迭代；以直達(dá)貨物列車平圖通過能力作為起始目標(biāo)值，通過逐層鋪畫使得目標(biāo)值逐步優(yōu)化，最終使得區(qū)段通過能力達(dá)到有效收斂?；诟倪M(jìn)Rotor模型計(jì)算客貨共線鐵路通過能力的迭代流程如圖3所示。

圖3 基于改進(jìn)Rotor模型計(jì)算客貨共線鐵路通過能力的迭代流程

3.1 模型參數(shù)及變量定義

定義如下模型參數(shù)：M為目標(biāo)客貨共線區(qū)段（簡稱目標(biāo)區(qū)段）的區(qū)間數(shù)量，m為其中第m個(gè)區(qū)間；Z通為目標(biāo)函數(shù)，即目標(biāo)區(qū)段當(dāng)前計(jì)算階段的最大通過能力；N基礎(chǔ)，N不可，N部分和N完全分別為運(yùn)行圖中當(dāng)前鋪畫的基礎(chǔ)編輯列車、不可編輯列車、部分編輯列車和完全編輯列車的數(shù)量；N天窗為因設(shè)置天窗而無法在運(yùn)行圖中鋪畫或從運(yùn)行圖中抽減的列車數(shù)量；T基礎(chǔ)，T不可，T部分和T完全分別為當(dāng)前運(yùn)行圖中鋪畫的基礎(chǔ)編輯列車、不可編輯列車、部分編輯列車和完全編輯列車的占用時(shí)間；T天窗為天窗作業(yè)的占用時(shí)間，即天窗起止時(shí)刻內(nèi)的時(shí)間；T交疊為因?yàn)樵叫?、?huì)讓等因素造成的交疊折損時(shí)間；T空閑為運(yùn)行圖總空閑時(shí)間；l基礎(chǔ)，l不可，l部分，l完全和l天窗分別為區(qū)間內(nèi)實(shí)際開行的基礎(chǔ)編輯列車、不可編輯列車、部分編輯列車、完全編輯列車和天窗作業(yè)導(dǎo)致無法開行或從運(yùn)行圖中抽減的列車；L基礎(chǔ)，L不可，L部分，L完全和L天窗分別為基礎(chǔ)編輯列車、不可編輯列車、部分編輯列車、完全編輯列車和天窗作業(yè)導(dǎo)致無法開行或從運(yùn)行圖中抽減的列車所對(duì)應(yīng)的有序集合；Ts為模型整體迭代步寬。

對(duì)目標(biāo)區(qū)段定義如下迭代參數(shù)：I追客和I追貨分別為旅客列車、貨物列車的最小追蹤間隔時(shí)間；I發(fā)發(fā)，I發(fā)通和I發(fā)到分別為自前行列車從車站出發(fā)時(shí)起，至同方向后行列車從該站發(fā)出、后行列車從該站通過、后行列車到達(dá)該站時(shí)止的最小間隔時(shí)間；與之對(duì)應(yīng)，I通發(fā)，I通通和I通到分別為自前行列車通過車站時(shí)起，至同方向后行列車從該站發(fā)出、后行列車從該站通過、后行列車到達(dá)該站時(shí)止的最小間隔時(shí)間；I到發(fā)，I到通和I到到分別為自前行列車到達(dá)車站時(shí)起，至同方向后行列車從該站發(fā)出、后行列車從該站通過、后行列車到達(dá)該站時(shí)止的最小間隔時(shí)間。

3.2 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

依據(jù)數(shù)據(jù)分層策略中的列車類型分層，提出計(jì)算目標(biāo)區(qū)段通過能力的目標(biāo)函數(shù)及其約束條件分別如下。

1）目標(biāo)函數(shù)

2）約束條件

運(yùn)行圖中N基礎(chǔ)列基礎(chǔ)編輯列車的占用時(shí)間T基礎(chǔ)為

運(yùn)行圖中N不可列不可編輯列車的占用時(shí)間T不可為

運(yùn)行圖中N部分列部分編輯列車的占用時(shí)間T部分為

運(yùn)行圖中N完全列完全編輯列車的占用時(shí)間T完全為

運(yùn)行圖中因天窗作業(yè)導(dǎo)致通過能力折損的時(shí)間T天窗為

此外根據(jù)運(yùn)行圖可知，算法迭代過程中還需滿足式（9）的約束條件。

運(yùn)行圖鋪畫時(shí)，越行、會(huì)讓等因素會(huì)帶來列車安全距離上的交疊和空閑，由此產(chǎn)生交疊折損時(shí)間T交疊和T空閑。以完全編輯列車越行基礎(chǔ)編輯列車為例，2列列車產(chǎn)生的T交疊和T空閑如圖4所示。圖中：l完全j和l基礎(chǔ)p為產(chǎn)生交疊的列車；黃色和灰色陰影部分分別為這2 列列車的前后安全距離，其交疊部分即為T交疊；白色部分為相鄰列車及其安全距離無法發(fā)生交疊的時(shí)間，即T空閑；所有類型列車及前后安全距離所構(gòu)成的時(shí)間總和應(yīng)滿足運(yùn)行圖1晝夜時(shí)間等比例折算后的長度與區(qū)間數(shù)量M之積。

圖4 完全編輯列車越行基礎(chǔ)編輯列車時(shí)產(chǎn)生的交疊時(shí)間和空閑時(shí)間（局部）

3.3 迭代參數(shù)

由問題的復(fù)雜程度可知，式（3）中的目標(biāo)函數(shù)難以通過常規(guī)方法求解，因此考慮借助改進(jìn)Ro?tor 模型，通過有限迭代尋優(yōu)的方法，計(jì)算得到目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力。

為了得到可以滿足上述間隔時(shí)間的插入時(shí)刻，插入非基礎(chǔ)編輯列車時(shí)需分別遍歷得到前行車站第1 個(gè)滿足參數(shù)的出站時(shí)刻與后行車站第1 個(gè)滿足參數(shù)的到站時(shí)刻，以此為基礎(chǔ)，分別向后以1 min 為間隔步進(jìn)迭代，直至滿足如圖5所示的5 個(gè)參數(shù)，則構(gòu)成可以插入的第1 列非基礎(chǔ)編輯列車。圖中：l前行基礎(chǔ)為前行基礎(chǔ)編輯列車；l后行基礎(chǔ)后行基礎(chǔ)編輯列車；l待插入為待插入運(yùn)行圖中的非基礎(chǔ)編輯列車；T1，T2，T3，T4和T5為目標(biāo)區(qū)段行車過程中應(yīng)滿足的時(shí)間條件，其中T1，T2分別為l前行基礎(chǔ)出站、到站時(shí)間與l待插入出站、到站時(shí)間的間隔，T3，T4分別為l待插入出站、到站時(shí)間與l后行基礎(chǔ)出站、到站時(shí)間的間隔，T5為l待插入的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間。

圖5 運(yùn)行圖中插入非基礎(chǔ)編輯列車需滿足的條件（局部）

由圖5 可知：為求得能插入貨物列車的極限數(shù)量，T1，T2和T5須與目標(biāo)區(qū)段I發(fā)發(fā)，I通通，I到到，I通發(fā)，I發(fā)通，I通到，I到通，I發(fā)到，I到發(fā)，I追客和I追貨這11種時(shí)間間隔適配，即T1，T2和T5剛好等于能滿足這些間隔的運(yùn)行時(shí)間；同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)通過能力的極值計(jì)算，假設(shè)在插入列車后才允許時(shí)間出現(xiàn)一定冗余，即T3和T4不僅須與這11 種時(shí)間間隔適配，而且還需要大于等于滿足這些間隔的運(yùn)行時(shí)間，并在后繼的運(yùn)算過程中將這些時(shí)間間隔作為迭代參數(shù)。

3.4 計(jì)算過程

步驟1：分類與集合化

根據(jù)數(shù)據(jù)分層策略，按時(shí)刻表將某區(qū)間實(shí)際開行的列車類型劃分為與轉(zhuǎn)子函數(shù)對(duì)應(yīng)的有序集合，有

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

其中，

L基礎(chǔ)=L不可=L部分=L完全=L天窗=0

步驟2：過濾并鋪畫平行運(yùn)行圖底圖

取速度最快的1 列直達(dá)貨物列車作為數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，對(duì)應(yīng)式（10）中的L基礎(chǔ)，從0 時(shí)開始，將這一直達(dá)貨物列車最小追蹤間隔I追貨鋪滿全圖，作為客貨共線鐵路通過能力計(jì)算的基礎(chǔ)，如圖6所示。

圖6 鋪滿直達(dá)貨物列車的平行運(yùn)行圖底圖

由圖6 可知，此時(shí)有L不可=L部分=L完全=L天窗=0，迭代初始時(shí)間時(shí)分為0，代入式（15），得到現(xiàn)階段目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力Z通為

步驟3：插入不可編輯列車集合L不可

式中：L貨平為作為平行運(yùn)行圖底圖鋪畫的貨物列車的有序集合。

不可編輯列車集合下的跨線旅客列車或五定班列在本區(qū)段無調(diào)整權(quán)限，對(duì)應(yīng)式（11）中的L不可，故其到發(fā)時(shí)刻均是固定的，每插入1 列此類列車，均需要滿足前節(jié)的迭代參數(shù)，而這必定會(huì)對(duì)上層的列車基礎(chǔ)編輯列車的數(shù)量產(chǎn)生影響，即：會(huì)使之前鋪畫的直達(dá)貨物列車整體后移并導(dǎo)致現(xiàn)有列車總數(shù)降低。插入L不可之后，得到的運(yùn)行圖如圖7所示，圖中紅色線條為新插入的所有不可編輯列車。

圖7 插入不可編輯列車集合之后的運(yùn)行圖

由圖7 可知：在1 晝夜可容納列車總數(shù)可數(shù)的約束下，插入L不可后，L基礎(chǔ)的基數(shù)減少，則現(xiàn)階段目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力Z通為

其中，

L部分=L完全=L天窗=0式中：L基礎(chǔ)'為因插入L不可而發(fā)生改變的基礎(chǔ)列車集合；角標(biāo)'代表因插入下層列車而發(fā)生的上層列車集合改變，后同。

步驟4：插入部分編輯列車集合L部分

部分編輯列車集合下各元素的開行對(duì)數(shù)、區(qū)間運(yùn)行速度、停站策略是定值，即其運(yùn)行線線型不變，但位置可變，對(duì)應(yīng)式（12）中的L部分。要找到對(duì)當(dāng)前通過能力影響最小的插入時(shí)刻，可利用改進(jìn)Rotor 模型迭代，固定基礎(chǔ)編輯列車有序集合中的第1 個(gè)元素，即固定l基礎(chǔ)1在Ti時(shí)分，在（Ti+1）時(shí)分插入部分編輯列車有序集合中的首個(gè)元素l部分1，看是否可以滿足迭代參數(shù)，如果滿足則插入該元素對(duì)應(yīng)的列車；如果不能，則讓l部分1以1 min的間隔步進(jìn)。2 種不同L部分的插入時(shí)刻對(duì)目標(biāo)區(qū)段整體通過能力的影響如圖8所示，圖中藍(lán)色線條為新插入的所有部分編輯列車。

圖8 2種不同的部分編輯列車插入時(shí)刻對(duì)目標(biāo)區(qū)段通過能力的影響

由圖8 可知：圖（a）中l(wèi)部分1，l部分2沒有產(chǎn)生過多的交集，因此帶來的T交疊比較大，導(dǎo)致L基礎(chǔ)減少6 列；圖（b）中n部分1插入位置靠近l部分2，只使得L基礎(chǔ)減少3 列。因此第2 種L部分的插入時(shí)刻是更優(yōu)的選擇，而第1 種l部分1的插入時(shí)刻會(huì)在迭代中被遺棄。

繼續(xù)步進(jìn)l部分1，最終迭代次數(shù)為運(yùn)行圖1 晝夜總分鐘數(shù)減Ts所在的時(shí)刻，即（60×24-1）次，得到Z通并取其中的最大值，這即是插入l部分1可產(chǎn)生的最佳列車總和。取L部分中的第2 個(gè)元素l部分2，繼續(xù)上述循環(huán)迭代，直至L部分中所有的元素均被迭代，即每列列車以及每列列車在每個(gè)區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間均滿足迭代參數(shù)中的11 種間隔時(shí)間，且由此產(chǎn)生的時(shí)間損耗T交疊最小，所得各類通過列車的數(shù)量之和最大，即Z通為

其中，

L完全=L天窗=0式中：min(N交疊)為因?yàn)椴迦胂聦恿熊囋斐稍叫谢蛲Ｕ疽蛩貙?dǎo)致通過能力減少的列數(shù)。

步驟5：插入完全編輯列車集合L完全

L完全下的各元素主要是摘掛列車等開行時(shí)刻、停站策略均是可變值且級(jí)別較低的列車，在優(yōu)化過程中不僅位置、線型均可變，而且沒有停站時(shí)間的限制，對(duì)應(yīng)式（13）中的L完全。因此，這里的插入策略主要是不改變之前已插入列車位置數(shù)量的前提下，在間隙中插入列車，如圖9所示，圖中黃色線條為新插入的所有完全編輯列車。

圖9 插入N完全編輯之后的運(yùn)行圖

由圖9 可知，則現(xiàn)階段目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力Z通為

其中，

L天窗=0

步驟6：迭代天窗作業(yè)的占用時(shí)間T天窗

排除天窗時(shí)間對(duì)通過能力的影響，這里取客貨共線最常用的“V”型天窗模式。選擇區(qū)段內(nèi)第1個(gè)區(qū)間，從0點(diǎn)0分開始，至23點(diǎn)59分止，按T天窗時(shí)間為步長，得到每次迭代之后的目標(biāo)區(qū)段整體通過能力，并取其最大值；接著取第2 個(gè)區(qū)間，繼續(xù)上述循環(huán)，直到找到1組關(guān)于T天窗的起止時(shí)刻，不僅可滿足所有T天窗均以I追貨為等差遞增排列，且由此產(chǎn)生的時(shí)間損耗T交疊最小。如圖10所示。圖中藍(lán)色斜線區(qū)域?yàn)榈玫降奶齑白鳂I(yè)占用時(shí)間。

圖10 迭代T天窗之后的運(yùn)行圖

步驟7：確定模型整體迭代步寬Ts

將Ts迭代I追貨次，每次迭代時(shí)均需得到該次迭代所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)通過能力，并求得每次迭代所得Z通的最大值。至此，可得出既滿足不調(diào)整跨線列車，又滿足可調(diào)整的區(qū)段旅客列車，兼顧鋪滿普通貨物列車，同時(shí)每列車之間的關(guān)系滿足3.3中的11種列車間隔，也能考慮到最優(yōu)的天窗起止時(shí)刻，從而得到此區(qū)段非平行運(yùn)行圖的最大通過能力，即Z通為

同時(shí)，各類型列車的總運(yùn)行時(shí)間還需滿足

步驟8：填充運(yùn)算過程中刪除的基礎(chǔ)編輯列車N補(bǔ)全

為得到通過能力的余量，在已經(jīng)迭代成功的運(yùn)行圖上，將運(yùn)算過程中被刪除的基礎(chǔ)編輯列車進(jìn)行補(bǔ)全。為了不影響已經(jīng)迭代成功的能力，只對(duì)圖9中的黑色虛線進(jìn)行分段補(bǔ)全，分別取目標(biāo)區(qū)段每個(gè)區(qū)間滿足迭代參數(shù)要求的可補(bǔ)全數(shù)量并組成集合，該集合最小值即為最終可通過補(bǔ)全邏輯增加的能力N補(bǔ)全。

式中：N1為目標(biāo)區(qū)段第1 個(gè)區(qū)間可以增加的能力；Nm為目標(biāo)區(qū)段第m個(gè)區(qū)間可以增加的能力，1≤m≤M。

若N1—N補(bǔ)全均滿足既不影響固有線型又符合3.3 中的迭代參數(shù)，則可通過式（20）和式（22），最終計(jì)算得到目標(biāo)區(qū)段的最大通過能力為

4 算例驗(yàn)證

4.1 數(shù)據(jù)描述

為驗(yàn)證本文方法的有效性，選取京滬鐵路徐州北下發(fā)場—蚌埠區(qū)段時(shí)刻表數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，并采用鐵路局通用的EXCEL 格式列車時(shí)刻表作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，因鐵路使用習(xí)慣并不適用作為模型輸入結(jié)構(gòu)，故將其做標(biāo)準(zhǔn)化算法處理，得到表1，表中行表示目標(biāo)區(qū)段經(jīng)由車站；列表示路局提供原始時(shí)刻表列車車次；點(diǎn)及其取值表示該點(diǎn)縱向?qū)?yīng)的列車車次經(jīng)由橫向?qū)?yīng)車站時(shí)的到發(fā)時(shí)刻。

表1 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理之后的數(shù)據(jù)實(shí)例（局部）

為對(duì)比不同計(jì)算方法對(duì)目標(biāo)區(qū)段通過能力的計(jì)算影響，將標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)作為構(gòu)建計(jì)算模型的輸入數(shù)據(jù)源，結(jié)合站場布局，將徐州北下發(fā)場—符離集區(qū)段定義為數(shù)據(jù)集1，符離集—蚌埠東區(qū)段定義為數(shù)據(jù)集2，按記錄區(qū)段內(nèi)各類開行列車的相關(guān)信息示意圖如圖11所示，圖中不同色塊代表原始時(shí)刻表中不同類型列車的比例。該區(qū)段的運(yùn)營里程為177 km，設(shè)站16 座，平行運(yùn)行圖通過能力為188 列。由圖11 可知：數(shù)據(jù)集1 中有旅客列車69列、貨物列車51列；數(shù)據(jù)集2 中有旅客列車74列、貨物列車65列。

圖11 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分層

4.2 迭代參數(shù)

列車間隔種類與間隔時(shí)間發(fā)生改變會(huì)引起算法運(yùn)行過程中待插入列車的起止時(shí)刻的改變。在改進(jìn)Rotor 模型中，為了將所有時(shí)刻進(jìn)行無損耗迭代，且滿足3.3 中迭代參數(shù)要求，經(jīng)查定，統(tǒng)計(jì)目標(biāo)區(qū)段行車過程中會(huì)產(chǎn)生的列車間隔見表2。

表2 徐州—蚌埠間列車間隔 min

4.3 計(jì)算驗(yàn)證

基于上述數(shù)據(jù)、參數(shù)與評(píng)價(jià)指標(biāo)，使用配置為CPU I7-7700、內(nèi)存16G 的計(jì)算機(jī)，采用C#語言環(huán)境，建立客貨共線鐵路的通過能力計(jì)算模型，求解徐州北下發(fā)場—符離集區(qū)段與符離集—蚌埠東區(qū)段客貨共線鐵路的整體通過能力，并依托2 個(gè)數(shù)據(jù)集，分別進(jìn)行不同迭代方法間的縱向效率對(duì)比與不同計(jì)算方法間橫向性能對(duì)比，對(duì)改進(jìn)Rotor 模型的計(jì)算效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1）縱向效率對(duì)比

分別計(jì)算枚舉法、簡單Rotor 模型法與改進(jìn)Rotor 模型法得到的通過能力，3 種算法的耗時(shí)以及優(yōu)化過程如圖12所示。由圖可知，縱向?qū)Ρ?種迭代算法，簡單Rotor 模型法與枚舉法無法在既定計(jì)算時(shí)間內(nèi)達(dá)到有效收斂，而基于改進(jìn)Rotor 模型的算法能夠在既定計(jì)算時(shí)間內(nèi)達(dá)到有效收斂，證實(shí)了算法效率。

圖12 不同迭代算法計(jì)算耗時(shí)及優(yōu)化過程對(duì)比

2）橫向性能對(duì)比

分別計(jì)算扣除系數(shù)法、圖解法、路局反推法與改進(jìn)Rotor 模型法得到的通過能力，4 種算法計(jì)算結(jié)果如圖13所示。由圖可知，橫向?qū)Ρ?種通過能力計(jì)算方法，改進(jìn)Rotor 模型法基于2 個(gè)數(shù)據(jù)集得到的通過能力最大，其結(jié)果不僅最接近于路局反推法，而且還能找出其他方法無法得到的能力余量（路局反推法雖無科學(xué)依據(jù)，但經(jīng)過多年現(xiàn)場實(shí)用，在一定程度上具有指導(dǎo)意義），證實(shí)了算法性能。

圖13 不同通過能力計(jì)算方法結(jié)果對(duì)比

4.4 性能評(píng)價(jià)

1）評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)置

因要滿足3.3 中提到迭代約束，插入不同層次列車必然會(huì)對(duì)上層列車在圖列數(shù)產(chǎn)生影響，即每次插入列車會(huì)使式（3）中目標(biāo)函數(shù)Z通改變，針對(duì)下層列車集合中的每種插入時(shí)刻均會(huì)產(chǎn)生1個(gè)對(duì)插入前目標(biāo)函數(shù)的影響值，且不同的插入時(shí)刻對(duì)通過能力的影響不同，若將可插入時(shí)刻集合化，則可利用式（23）作為性能指標(biāo)，判定新插入列車是否可行。

式中：β為空閑時(shí)間占用率，即目標(biāo)區(qū)段運(yùn)行圖總空閑時(shí)間占總運(yùn)行時(shí)間的比例。

2）評(píng)價(jià)結(jié)果

通過改進(jìn)Rotor 模型計(jì)算目標(biāo)區(qū)段客貨共線鐵路通過能力，并利用前文評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果見表3，其中優(yōu)化前的數(shù)據(jù)來自路局實(shí)際運(yùn)行圖。由表3 可知，優(yōu)化后，區(qū)段通過能力平均提升9 列（以作為平行運(yùn)行圖底圖的基礎(chǔ)編輯列車衡量），區(qū)段空閑時(shí)間占用率平均降低11.05%，實(shí)現(xiàn)了對(duì)算例線路的通過能力挖潛。

表3 算法評(píng)價(jià)結(jié)果

4.5 算例性能總結(jié)

綜合橫向效率對(duì)比、縱向性能對(duì)比以及性能評(píng)價(jià)可知，改進(jìn)Rotor 模型法不僅可以充分考慮目標(biāo)區(qū)段各類型列車條件，更可以計(jì)算得到空閑時(shí)間占用率較低的區(qū)段通過能力，兼?zhèn)湫逝c性能優(yōu)點(diǎn)，對(duì)鐵路運(yùn)輸企業(yè)現(xiàn)場分析區(qū)段通過能力、提高平圖通過能力以及制定行車組織方案有一定參考意義，可用于客貨共線鐵路運(yùn)輸計(jì)劃的編制與挖潛。

4 結(jié)論

（1）依據(jù)密碼鎖轉(zhuǎn)子解鎖原理，提出1 種基于改進(jìn)Rotor 模型的區(qū)段通過能力計(jì)算方法，將運(yùn)行圖的通過能力最優(yōu)解問題轉(zhuǎn)化為基于平行運(yùn)行圖逐層鋪畫開行列車，并使每次鋪畫對(duì)運(yùn)行圖影響最小的最值求解問題。

（2）充分考慮情況復(fù)雜的不同類型列車間運(yùn)行關(guān)系及天窗作業(yè)，提出由基礎(chǔ)編輯列車、不可編輯列車、部分編輯列車、完全編輯列車以及天窗起止時(shí)刻組成的列車分層策略，并基于改進(jìn)Rotor 模型，解決當(dāng)前客貨共線鐵路通過能力計(jì)算中，因列車類型不同、列車停站位置不同以及列車與鄰車間組合類型太多導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際能力存在誤差的問題。

（3）基于京滬鐵路徐州北下發(fā)場—蚌埠區(qū)段時(shí)刻表的2 個(gè)數(shù)據(jù)集對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證。縱向?qū)Ρ? 種不同迭代方法的計(jì)算效率，與枚舉法、簡單Rotor 模型法相比，本文算法收斂耗時(shí)最短、計(jì)算效率最高；橫向?qū)Ρ? 種不同通過能力計(jì)算方法的性能，與扣除系數(shù)法、圖解法、路局反推法相比，本文算法平圖利用率充分、計(jì)算性能最優(yōu)；對(duì)比路局的實(shí)際運(yùn)行圖數(shù)據(jù)，本文算法得到的區(qū)段通過能力平均提升9 列（以作為平行運(yùn)行圖底圖的基礎(chǔ)編輯列車衡量），區(qū)段空閑時(shí)間占用率平均降低11.05%。本文方法可指導(dǎo)實(shí)際，用于鐵路運(yùn)輸企業(yè)客貨共線鐵路運(yùn)輸計(jì)劃的編制與挖潛。

（4）本文提出的模型目前只用于客貨共線區(qū)段通過能力計(jì)算，算法所列皆為雙線運(yùn)行圖，若單線情形，則復(fù)雜性大大增加，一些步驟無法適用，未來可考慮應(yīng)用在單線鐵路區(qū)段上進(jìn)行改進(jìn)。