高小蘋 梁景睿 劉堂昆 李宏 劉繼兵?

1) (湖北師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院， 黃石 435002)

2) (湖北師范大學(xué)， 光電技術(shù)與材料湖北省重點實驗室， 黃石 435002)

采用超級原子模型研究了一個巨梯型四能級里德伯原子系統(tǒng)與一個弱光場和兩個強控制場的相互作用.利用蒙特卡羅算法， 通過數(shù)值求解海森伯-朗之萬方程， 討論了系統(tǒng)的動力學(xué)演化， 研究了偶極-偶極相互作用對探測場透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響.在有限溫度下， 利用洛倫茲分布函數(shù)代替麥克斯韋分布函數(shù)，得到解析的探測場極化率， 討論了強場的失諧量對系統(tǒng)出射探測場透射譜對稱性質(zhì)的影響， 最后研究了多普勒效應(yīng)對探測場透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響.結(jié)果表明， 在電磁誘導(dǎo)透明條件下， 透明窗口處出射探測場的透射率隨著入射探測場強度的增強而減弱， 而當(dāng)系統(tǒng)入射探測場強度不變時， 通過改變強場的失諧量可以得到非對稱的透射譜.此外， 當(dāng)弱探測場和強場的傳播方向一致時， 多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的峰值有很小的影響.當(dāng)探測場和強場的傳播方向不一致時， 多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響可以忽略.

1 引 言

偶極-偶極相互作用是極性分子間最普遍的一種相互作用.里德伯原子系統(tǒng)中具有較強的偶極-偶極相互作用， 可用于量子計算中的多量子比特操作， 進而實現(xiàn)復(fù)雜的量子操控.因此吸引了大量的科研工作者從事相關(guān)研究.比如， 利用偶極-偶極相互作用可以研究不同原子能級之間的糾纏動力學(xué)問題[1—4]、實現(xiàn)可控的量子門方案[5]以及量子糾纏[6，7].除此之外， 對原子-分子相干操控[8，9]、慢光控制[10]、可控光柵[11，12]、以及原子系統(tǒng)的光學(xué)雙穩(wěn)性[13]、非線性孤立波[14—17]、玻色愛因斯坦凝聚體的結(jié)構(gòu)和磁化率等方面的研究也有促進作用[18—21].里德伯原子之間的偶極-偶極相互作用非常強， 利用電磁誘導(dǎo)透明技術(shù)， 可以實現(xiàn)單光子巨克爾效應(yīng)[22—24].利用超級原子模型理論方法[25—27]求解里德伯原子系綜的光學(xué)響應(yīng)問題， 將超級原子模型計算出的透射強度與實驗結(jié)果[28]進行對照， 結(jié)果表明兩組結(jié)果符合得非常好.利用干涉儀， 在三能級梯型系統(tǒng)中測量了系統(tǒng)的色散特性[29]; 在N型系統(tǒng)中實現(xiàn)了單光子開關(guān)[30]; 在倒Y型系統(tǒng)中， 實現(xiàn)了線性電磁誘導(dǎo)透明和非線性電磁誘導(dǎo)透明兩窗口的分離， 并且通過調(diào)節(jié)探測場強度實現(xiàn)了透射光譜由對稱向不對稱的轉(zhuǎn)換[31]; 在四能級梯型系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)系統(tǒng)滿足共振條件時， 出現(xiàn)無多普勒中心吸收的現(xiàn)象[32].

在有限的溫度下， 利用洛倫茲分布函數(shù)， 研究了二能級冷原子系統(tǒng)單光子里德伯激發(fā)， 發(fā)現(xiàn)原子溫度越高， 多普勒展寬可以減小雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域[33]; 對三能級梯型里德伯原子模型進行改進， 討論了三能級里德伯冷原子系統(tǒng)的相干效應(yīng)， 結(jié)果表明在低溫下多普勒展寬會削弱探測光的的非經(jīng)典性質(zhì)[34];利用數(shù)值計算方法， 討論了多普勒效應(yīng)對分子磁體介質(zhì)中透射光柵的影響[35，36].在四能級Y型系統(tǒng)中， 當(dāng)探測場的拉比頻率增加時， 探測場的電磁誘導(dǎo)透明會轉(zhuǎn)化為電磁誘導(dǎo)吸收[37]; 英國和美國的小組在四能級梯型里德伯原子系統(tǒng)中觀察到了電磁誘導(dǎo)透明， 探測光譜呈現(xiàn)亞多普勒特征， 由于交流斯塔克位移補償了多普勒頻移， 可以實現(xiàn)光譜增強[38].國內(nèi)的研究小組[39]提出了一個實驗上可行的方案， 通過三步級聯(lián)激發(fā)控制穩(wěn)態(tài)里德伯態(tài)布局， 該方案與傳統(tǒng)的雙光子電磁誘導(dǎo)透明不同， 穩(wěn)態(tài)里德伯態(tài)布局由兩個耦合場之間的相對強度決定， 而不取決控制場的絕對值.在此基礎(chǔ)上， 本文討論了不同強度入射探測場對里德伯原子系統(tǒng)的透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響， 計算了失諧量對系統(tǒng)對稱透射譜影響， 最后給出有限溫度下透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)隨探測失諧量的變化曲線.

2 理論模型

考慮圖1所示的巨梯型四能級原子系統(tǒng)[39]，由基態(tài)|g〉， 亞激發(fā)態(tài)|k〉， 激發(fā)態(tài)|e〉和一個里德伯態(tài)|r〉組成.一個頻率為ωp的探測場驅(qū)動躍遷|g〉到|k〉， 其拉比頻率為而兩個頻率為Ωc1和Ωc2的控制場分別驅(qū)動躍遷|k〉到|e〉和|e〉到|r〉， 對 應(yīng) 的 拉 比 頻 率 分 別 為Ωc1=Ec1μke/(2?) 和Ωc2=Ec2μer/(2?).其中Ec1和Ec2分別描述第一個控制場的振幅和第二個控制場的振幅，μxy(xy=g，k，e，r)表示|x〉→|y〉躍遷的電偶極矩，表示探測場的振幅算符，V表示里德伯原子的量子探測體積， 考慮偶極-偶極相互作用， 系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

其中，表示四能級原子的哈密頓量，表示四能級原子與三個場的相互作用哈密頓量，表示范德瓦耳斯偶極-偶極相互作用哈密頓量，表示第i個原子的投影算符，Rij表示i原子和j原子之間的距離.δp=ωp-ωkg表示弱探測場的失諧量，δe=Ωc1-ωek和δr=Ωc2-ωre分別表示兩個控制場的失諧量.

圖1 里德伯原子系統(tǒng)能級示意圖， 一個失諧量為 δp 的弱探測場驅(qū)動基態(tài)到亞激發(fā)態(tài)的躍遷， 第一個失諧量為 δe 的強控制場驅(qū)動亞激發(fā)態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷， 第二個失諧量為δr 的強控制場驅(qū)動激發(fā)態(tài)到里德伯態(tài)的躍遷.實際能級基于銫原子選取Fig.1.General energy level diagram for four levels Rydberg atomic system.A weak probe field， detuned from the intermediate level by δp ， drives transitions from the ground state | g〉 to the intermediate state | k〉.The first strong control field， detuned from the intermediate level by δe ，drives transitions from the intermediate state | k〉 to the excited state | e〉.State | r〉 is a Rydberg state directly coupled to state | e〉 by the second strong control field Ω c2.Real energy levels are shown based on Cs atoms.

假設(shè)弱探測光沿著Z軸方向傳播，σ^μν(r) 表示處在Z處微小體積 ΔV內(nèi)的所有的平均值， 利用弱場近似， 可以得到如下海森伯-朗之萬方程(令?=1):

式 中Δ1=γgκ+iδp，Δ2=γge+(iδp+iΔe)，Δ3=γgr+(iδp+iδe+iδr) ， 其中γgk，γge，γgr表示相應(yīng)能級的衰減率.表示由于范德瓦耳斯作用引起的里德伯態(tài)|r〉的總位移.在穩(wěn)態(tài)條件下， 假設(shè)原子最初狀態(tài)處在基態(tài)|g〉，有采用絕熱近似條件消除， 可以得到

借助超原子概念， 在偶極阻塞機制下， 一個超原子內(nèi)部只有一個原子被激發(fā)到里德伯態(tài)|r〉， 每個超原子的體積是偶極阻塞半徑[25]， 在這個模型中， 超原子的阻塞半徑Rb=超原子之間沒有偶極相互作用， 因此原子樣品可以看作是由無偶極相互作用的超級原子組成的.假設(shè)原子局域密度為ρ(r) ，則單個超原子中含有的平均原子數(shù)目nSA=ρ(r)VSA.

根據(jù)超級原子的定義， 每個超原子結(jié)構(gòu)中含有很多集體態(tài)， 但是每個超原子中最多有一個原子被激發(fā)到里德伯態(tài)|r〉， 僅用四個集體態(tài)就可以很好地描述巨梯型原子系統(tǒng)， 即

則系統(tǒng)中探測場的極化率:

其中α3和α4分別表示梯型和巨梯型原子的極化率， 通過在穩(wěn)態(tài)時求解方程(3)—方程(6)， 可以得到α3和α4的表達式如下:

為了了解系統(tǒng)演化的詳細信息， 采用蒙特卡羅方法數(shù)值求解方程(13)—方程(17).首先在傳播方向上求出超級原子的個數(shù)L/(2Rb) ，L為原子樣品的長度，Rb為超級原子半徑.其次， 在每個超級原子處產(chǎn)生一個隨機數(shù)pz∈[0，1] ， 如果則令表明超級原子內(nèi)部有一個里德伯原子被激發(fā)， 此時系統(tǒng)表現(xiàn)為巨梯型原子系統(tǒng).反之，系統(tǒng)超級原子內(nèi)部沒有里德伯原子被激發(fā)， 表現(xiàn)為普通三能級梯型原子系統(tǒng).最后， 重復(fù)多次這樣的獨立過程， 然后對所有的數(shù)值結(jié)果取平均值.數(shù)值計算過程中采用Monte-Carlo方法， 可以保證系統(tǒng)狀態(tài)接近真實的原子隨機分布情況， 進而保證數(shù)值計算的可信度.

3 理論與數(shù)值計算

本文采用真實的超冷Cs原子參數(shù)[39]， 具體取值為Ωc2/(2π)=10 MHz， 激光線寬為 0.5MHz.原子的密度遵循分 布， 其中峰值為ρ0=1.32×1 07mm-3且半峰寬度為σz=0.7mm.超級原子模型封鎖半徑為Rb=4.58 μm，每一個超級原子內(nèi)含有的原子個數(shù)為nSA≈4.7 ，那么100個SA原子組成的介質(zhì)長度為L=0.9 mm.

圖2(a)給出了在不同初始探測光強度下的透射光譜隨單光子失諧量δp的變化圖， 變化趨勢與梯型三能級里德伯原子系統(tǒng)中的結(jié)果類似[24].在圖2(a)中可以清楚地觀察到在δp/(2π)=±5MHz處有兩個透明窗口， 在透明窗口處隨著探測光場強度的增加， 透射率逐漸降低， 對應(yīng)的EIT窗口受到抑制，Ip(L)/Ip(0) 最大值在0.3—0.6之間， 表明由于范德瓦耳斯相互作用導(dǎo)致的非線性效應(yīng)起到主要的作用.圖2(b)表明隨著探測光強度的增大， 在透明窗口處， 光子的反聚束效應(yīng)逐漸增大， 當(dāng)Ωp/(2π)=4MHz 時， 二階強度關(guān)聯(lián)達到=0.6.有限溫度情況下， 考慮多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)透射和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響.假定原子沿著Z軸傳播， 其運動速度分布遵循麥克斯韋分布規(guī)律， 在計算時，要做如下更改:δr+κ3v，其 中κ1，κ2，κ3為 對 應(yīng) 的 波 失， 且κ1=wp/(2π)，κ2=we/(2π)，κ3=wr/(2π).則多普勒效應(yīng)下系統(tǒng)的極化率可以改寫為

其中α3D和α4D的表達式為

其 中ΔF=iκ1+iκ2，B1=Δ1ΔF+iκ1Δ2和D1=表 達 式 詳見附錄A.

圖2 (a)透 射函數(shù) I p(L)/Ip(0) 隨 δ p/(2π) 變化的 曲線， 三條線對應(yīng)不同的初始探測場 Ω p/(2π)=0.1，2.0，4.0 MHz;(b)對應(yīng)的探測場的二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù) 隨δp/(2π) 變 化 的 曲 線， 其 他 參 數(shù) 取 值 分 別 為 δ e=δr= 0 ，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10MHzFig.2.(a) Probe field transmission I p(L)/Ip(0) versus detuning δp ， for different input intensities corresponding to Ωp/(2π)=0.1，2.0，4.0MHz; (b) corresponding intensity correlation functions .Other parameters are δe=δr=0 ， Ω c1/(2π)= Ω c2/(2π)=10 MHz.

圖3 探 測 光 和 控 制 光 同 向 傳 播 時， (a)透 射 函 數(shù)Ip(L)/Ip(0) 和(b)光子二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)隨 δp 的變化， 其中 δ e=δr=43 MHz， Ω p/(2π)=1.5 MHz，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz， 實 線 表 示 T =0.3K ， 虛線表示 T =0 KFig.3.When probe and control fields travel in the same direction， (a) the transmission of probe fieldIp(L)/Ip(0)and (b) the corresponding intensity correlation functionsversus the probe detuning δp.Other parameters are selected as δ e=δr=43 MHz，Ωp/(2π)=1.5 MHz， Ω c1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz.The solid curve denotes T =0.3 K， and the dashed curve denotes T =0 K.

圖4 探 測 光 和 控 制 光 反 向 傳 播 時， (a)透 射 函 數(shù)Ip(L)/Ip(0) 和(b)光子二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù) 隨 δp 的變化， 其中 δ e=δr=43 MHz， Ω p/(2π)=1.5 MHz，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz， 實 線 表 示 T =0.3 K， 虛線表示 T =0 KFig.4.When probe and control fields travel in opposite directions， (a) the transmission of probe fieldIp(L)/Ip(0)and (b) the corresponding intensity correlation functions versus the probe detuning δp.Other parameters are selected as δ e=δr=43 MHz，Ωp/(2π)=1.5 MHz， Ω c1(/2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz.The solid curve denotes T =0.3 K， and the dashed curve denotes T =0 K.

光同向傳播的條件下， 圖3給出了T=0K 和T=0.3K時透射函數(shù)和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著單光子失諧量δp的變化圖.圖3(a)與圖2(a)對比可知， 當(dāng) 調(diào) 節(jié) 失 諧 量 (δe，δr) 的 值 從0 MHz變 為43 MHz時， 系統(tǒng)的對稱透射譜轉(zhuǎn)變?yōu)榉菍ΨQ透射譜， 而且透射率相對于圖2(a)的透射率略高， 在δp=0MHz 的右側(cè)幾乎沒有光透過， 造成這一現(xiàn)象的原因是失諧量可以影響范德瓦耳斯力產(chǎn)生的能級移動.當(dāng)兩束控制光反向傳播時， 圖4給出了T=0K 和T=0.3K 時透射函數(shù)和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著δp的變化圖.可以看出，T= 0 K和T=0.3 K的兩條曲線基本重合， 表明調(diào)節(jié)控制光的傳播反向， 可以有效消除多普勒效應(yīng)對透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響， 原因是當(dāng)反向傳播時， 由于λp，λc1和λc2相差不大， 三光子失諧中-κ1ν+κ2ν相互抵消， 多普勒效應(yīng)的影響可以被抵消[34].

4 結(jié) 論

本文研究了巨梯型四能級超冷里德伯原子系統(tǒng)與三個光場的相互作用， 通過調(diào)節(jié)兩束強光強度和失諧量， 可以有效調(diào)節(jié)弱探測光場的透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)， 隨著弱探測場的初始強度的增加， 透明窗口處探測場的透射率減小， 表明里德伯態(tài)之間偶偶相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)的非線性效應(yīng)增強且起主要作用.選取合適的控制場強度， 當(dāng)失諧量由δe=δr=0 ， 改 變 為δe=δr=43MHz 時， 系 統(tǒng)可透射譜由對稱變?yōu)椴粚ΨQ.最后考慮多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)透射譜的影響， 為了準(zhǔn)確評估多普勒效應(yīng)的影響， 在積分時采用洛倫茲分布函數(shù)M(v)=代替克斯韋速度分布函數(shù)， 得到了系統(tǒng)解析的探測極化率.研究結(jié)果表明， 在低溫條件下，當(dāng)探測光和控制光同向傳播方時， 多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)透射的影響主要集中在透明窗口處.當(dāng)光場異向傳播時， 多普勒效應(yīng)對系統(tǒng)的透射譜和二階強度關(guān)聯(lián)函數(shù)的譜線幾乎重合， 即通過控制光的傳播方向， 可以有效消除溫度對系統(tǒng)的影響.

附錄A

K1，K2，K2表達式如下:

對應(yīng)的B2，C2，E，F(xiàn)，G，E1和E2的表達式如下: