溫永立 張善超 顏輝 朱詩亮?

1) (南京大學(xué)物理學(xué)院， 固體微結(jié)構(gòu)國家實驗室， 南京 210093)

2) (華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點實驗室， 廣州 510006)

3) (華南師范大學(xué)， 粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實驗室， 物理前沿科學(xué)研究院， 廣州 510006)

量子密度矩陣描述了量子態(tài)的性質(zhì)， 因此如何有效地測量密度矩陣是量子力學(xué)的核心課題之一.最近，幾個研究組發(fā)展了一種基于弱值的直接測量密度矩陣的方法.相較于常用的量子態(tài)層析技術(shù)， 這種方法能夠更直接和更簡便地重構(gòu)密度矩陣.然而這種方法需要耦合額外的測量指針， 從而也增加了測量的復(fù)雜度和測量系統(tǒng)的設(shè)計困難.本文先回顧并討論了量子態(tài)直接測量的相關(guān)研究， 然后基于δ-淬火直接測量波函數(shù)的方法提出了一種新的直接測量密度矩陣的方法.這種方法無需耦合外部測量指針， 因此可以降低測量的復(fù)雜度和測量系統(tǒng)的設(shè)計困難， 更進(jìn)一步地簡化了直接測量密度矩陣的實驗過程.基于此方法， 提出了更高信號強度以及更少操作次數(shù)等兩種無指針直接測量方案， 并對比分析了它們在不同的測量條件下的優(yōu)缺點.最后，具體設(shè)計了測量光子密度矩陣的實驗.

1 引 言

在量子力學(xué)中， 量子態(tài)用于描述一個量子系統(tǒng)的性質(zhì)， 是量子力學(xué)的核心概念之一.量子純態(tài)可以用波函數(shù)描述， 而更普遍的混合態(tài)必須用密度矩陣來刻畫， 所以密度矩陣的測量是量子力學(xué)的重要課題.測量量子態(tài)常用的方法是量子態(tài)層析技術(shù)[1-5].這種技術(shù)需要測量量子體系的系列不對易算符的期望值， 然后把測量結(jié)果通過計算來重構(gòu)量子態(tài).然而， 這種技術(shù)具有局限性， 如投影測量的次數(shù)較多， 以及重構(gòu)算法的復(fù)雜度也很大.而且隨著量子系統(tǒng)維度的增加， 量子態(tài)層析的復(fù)雜度急劇地增加.例如， 對于一個N維量子系統(tǒng)， 要完全重構(gòu)其密度矩陣， 則需要N2-1 個測量算符對應(yīng)的測量結(jié)果.對于高維度的量子態(tài)測量， 這是巨大的挑戰(zhàn).2011年， Lundeen等[6]提出一種直接測量量子態(tài)波函數(shù)的方法.首先將待測量子系統(tǒng)和測量指針進(jìn)行弱耦合， 然后對系統(tǒng)進(jìn)行后選擇[7-13]， 則量子波函數(shù)可以直接從指針態(tài)的測量結(jié)果中重構(gòu).該測量方法具有直接和簡潔的特點， 因此受到廣泛的關(guān)注[14-28].隨后， 這種直接測量波函數(shù)的方法也被推廣到量子密度矩陣的測量中[29，30].

在上述直接測量量子密度矩陣的方法中， 都需要將待測的量子系統(tǒng)和額外的指針態(tài)耦合.然而，將待測系統(tǒng)和額外的指針自由度耦合無疑也等價于增加了系統(tǒng)的維度.而對于部分量子系統(tǒng)， 甚至尋找合適的指針態(tài)本身也是很困難的， 這也會提高操控的復(fù)雜度以及引入額外的測量誤差.最近， 我們提出了一種基于δ-淬火的無指針直接測量量子波函數(shù)的方法[31]， 進(jìn)一步優(yōu)化了直接測量量子波函數(shù)方法.本文將這種δ-淬火無指針的直接測量方法推廣到量子密度矩陣的測量中.首先介紹有指針直接測量量子波函數(shù)及密度矩陣的相關(guān)工作; 然后提出弱測量條件下基于δ-淬火的無指針直接測量密度矩陣的方法.隨后提出了強測量條件下的δ-淬火直接測量密度矩陣的方法.通過對比， 討論了這兩種測量方法在特定情況下各自的優(yōu)勢.最后提出利用光學(xué)系統(tǒng)來實現(xiàn)本文提出的δ-淬火直接測量法的具體實驗設(shè)計.本文的研究對于量子態(tài)測量實驗具有指導(dǎo)意義.

2 量子態(tài)直接測量方法

2.1 量子波函數(shù)的直接測量

在基于Von.Neumann 建立的量子測量理論中， 因為波函數(shù)是復(fù)數(shù)， 而可測量算符的觀測結(jié)果都是實數(shù)， 所以， 量子波函數(shù)被認(rèn)為是難以直接測量的.基于量子態(tài)層析技術(shù)， 通過測量系列非對易算符的期望值可以重構(gòu)量子波函數(shù)， 但這種技術(shù)需要測量大量結(jié)果以及比較復(fù)雜的計算.最近Lundeen及其合作者[6]基于弱值概念[7]提出了一種可以直接測量波函數(shù)的方法.以測量空間位置x的光子波函數(shù)ψ(x) 為例， 此時， 可以選擇光子的偏振自由度來作測量需要的指針態(tài).在他們提出的方法中， 將待測波函數(shù)和指針之間進(jìn)行一個足夠弱的耦合， 然后對系統(tǒng)進(jìn)行后選擇.最后， 波函數(shù)可以在指針態(tài)的測量結(jié)果中被重構(gòu)出來:

其中，α與測量過程選取的耦合強度有關(guān)， 而被稱為弱值， 它是一個復(fù)數(shù)， 其虛部和實部可以通過 測 量指針末 態(tài)|s〉在泡利 矩 陣和的 期望值得到.從(2)式可以看出， 所測出的弱值正比于波函數(shù)(k是一個歸一化常數(shù)).這種方法由于可以直接測量到波函數(shù)的實部和虛部， 所以被稱為波函數(shù)的直接測量方法.然而， 這種基于弱測量的直接測量方法也有局限性， 由于待測波函數(shù)與測量指針的耦合比較弱， 所以導(dǎo)致最終的測量結(jié)果的信號強度也很弱， 難以應(yīng)用在一些測量噪聲比較大的系統(tǒng)中.最近的研究發(fā)現(xiàn)， 直接測量波函數(shù)的方法并不需要局限于波函數(shù)與測量指針之間的弱耦合， 其耦合強度可以選取任意值[24]， 這種方法彌補了弱測量信號強度比較弱的缺陷， 同時也保留了測量的直接性和簡潔性.

2.2 量子密度矩陣的直接測量

2.1 節(jié)介紹的量子直接測量方法是在待測量子態(tài)是純態(tài)的基礎(chǔ)上討論的， 對于更一般的情況， 即待測量子態(tài)既可能是純態(tài)也可能是混合態(tài)時， 一般需要用密度矩陣來表示.前面介紹的量子波函數(shù)的直接測量思想也可以擴展應(yīng)用到對量子密度矩陣的直接測量.Thekkadath等[29]提出了基于弱測量的直接測量量子密度矩陣的方法.他們以光子的偏振為待測態(tài)， 以光子的橫向動量為指針.類似于波函數(shù)的弱測量方法， 該方案先把光子待測偏振態(tài)的某個本征態(tài)|j〉與指針進(jìn)行弱耦合.與波函數(shù)測量不同的是， 他們把對系統(tǒng)進(jìn)行后選擇改成對待測系統(tǒng)的相互無偏態(tài)(mutually unbiased bases，MUB)和指針的弱耦合， 此處MUB態(tài)可表示為為待測系統(tǒng)的維度.最后把光子投影到另外一個偏振本征態(tài)|k〉.此時可以通過測量光子在不同偏振態(tài)下的平均動量和平均位置分別求出弱值的實部和虛部.最后光子偏振態(tài)的密度矩陣元ρjk則正比于所測的弱值:

隨后， Calderaro等[30]的工作對這種直接測量密度矩陣的方法進(jìn)行了改進(jìn)， 待測系統(tǒng)與指針的耦合推廣到可取任意強度， 并且測量指針也采用了離散的系統(tǒng).該工作的測量方案的大致流程如圖1(a)所示， 此方案添加了兩個額外的量子比特作為測量指針.首先將以密度矩陣ρ描述的系統(tǒng)和指針A通過演化算符進(jìn)行耦合， 其中為待測系統(tǒng)本征態(tài)|j〉的投影算符，則為指針A的y方向泡利算符，θA為耦合強度.隨后進(jìn)行類似的耦合操作將系統(tǒng)與指針B耦合， 其中為相互無偏態(tài)|b〉=的投影算符.最后把待測系統(tǒng)投影至本征態(tài)|k〉〈k|， 此時對指針態(tài)進(jìn)行測量， 則密度矩陣元就可被直接重構(gòu):

其 中，NAB為常數(shù)，以及為指針末態(tài)分別在兩個指針組成的二體算符所測得的期望值.

圖1 (a) 文獻(xiàn)[30]中有指針直接測量密度矩陣的方法;(b) 本文提出的無指針直接測量密度矩陣的方法Fig.1.(a) Schematic of direct measurement method of the density matrix with pointer in Ref.[30]; (b) our proposal of direct measurement method of the density matrix without pointer.

這種直接測量密度矩陣的方法與2.1節(jié)直接測量波函數(shù)的方法類似， 總體來說， 可以認(rèn)為這種測量方法是把待測量的信息從待測系統(tǒng)本身轉(zhuǎn)移到指針系統(tǒng)， 然后通過指針在不同算符的測量結(jié)果分別重構(gòu)出待測量的實部和虛部.

3 無指針δ-淬火法直接測量量子密度矩陣

由2.2節(jié)的介紹可知， 要直接測量密度矩陣需要把待測系統(tǒng)與額外的指針進(jìn)行耦合.例如在文獻(xiàn)[30]中， 其指針態(tài)為兩個外加的量子比特， 最終的密度矩陣元也需要對待測系統(tǒng)和兩個外加量子比特組成的復(fù)合系統(tǒng)進(jìn)行耦合操作以及測量.然而， 在很多量子系統(tǒng)中， 這個耦合過程往往會極大地增加實驗的復(fù)雜度.而且， 耦合指針之后， 待測系統(tǒng)和指針?biāo)鶚?gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)維度更高， 從而也容易引入更多的測量誤差.最近我們提出了不需要指針態(tài)的直接測量量子波函數(shù)的方法， 該方法先對待測系統(tǒng)進(jìn)行一個δ-形式的擾動， 隨后對體系進(jìn)行后選擇， 最終波函數(shù)可以通過測量對擾動的響應(yīng)結(jié)果而直接重構(gòu)出來.因為這種方法是測量對δ形式擾動的響應(yīng)， 所以被稱為δ-淬火方法[31].這種無指針的直接測量法降低了測量方案的復(fù)雜度.基于δ-淬火測量波函數(shù)的新方法， 本節(jié)提出一種無指針密度矩陣直接測量方法.

3.1 基于弱測量的 δ -淬火直接測量量子密度矩陣的方法

本文提出的基于δ-淬火方式測量密度矩陣的方法示意圖見圖1(b).設(shè)待測的密度矩陣為， 且是一個N×N的方陣，ρjk為 密 度矩陣中第j行第k列的矩陣元.由于該方法不使用外部指針， 所以不需要進(jìn)行指針耦合的操作， 取而代之的是系統(tǒng)相位偏移操作.相應(yīng)的演化算符可以表示為

這里的為單位矩陣，θ為相位偏移對應(yīng)的相角，為第j個本征態(tài)的投影算符.由(5)式可以看出，事實上是對系統(tǒng)中的某一特定的本征態(tài)|j〉增加了一個相位因子 eiθ， 除|j〉以外的部分則不受任何影響.在連續(xù)變量體系， 這可以看作是對待測量子系統(tǒng)加了一個δ形式的擾動.這里參考一下弱測量的處理方法， 當(dāng)θ很小時， 可以僅保留算符中關(guān)于θ的一階項， 所以， (5)式可以近似寫為

此時，經(jīng)過演化后的密度矩陣就變?yōu)?/p>

接下來， 對系統(tǒng)進(jìn)行另外一個相位偏移操作， 相應(yīng)的演化算符可以表示為

這里的投影算符對應(yīng)的態(tài)是一個MUB態(tài)它是一個由所有本征態(tài)等概率疊加而成的態(tài).與(5)式類似， 僅保留中β的一階項，需要注意的是， 這兩個演化必須按順序且無間隔地執(zhí)行， 因為這兩個演化算符和并不對易.經(jīng)過和演化后的末態(tài)可以表示為

事實上， 可以把這個測量結(jié)果Pθ理解為末態(tài)處在本征態(tài)|k〉的概率.如果把第一個相位移動的操作改成一個強度衰減操作， 對應(yīng)的演化算符改為

類似地，γ為一個很小的值， 可以僅保留一階項.這個強度衰減操作相當(dāng)于對系統(tǒng)中的某一特定的本征態(tài)|j〉進(jìn)行一個微小的強度衰減， 而系統(tǒng)其他部分則不受影響.這樣， 可以得到與(11)式類似的一個測量結(jié)果，

如果把第一個演化操作取消， 也就是僅僅對系統(tǒng)進(jìn)行操作， 然后把系統(tǒng)投影至|k〉下進(jìn)行測量， 則測量結(jié)果可表示為

由于密度算符是一個厄密算符， 其矩陣元滿足ρkj=所以可得到關(guān)系式:

最終， 矩陣元ρjk的實部和虛部可以通過Pθ，Pγ和P0的測量結(jié)果重構(gòu)出來:

而對于密度 矩 陣 的對角元ρjj， 則可以簡單 地 將投影 至本 征態(tài)|j〉下測量得到， 即

文獻(xiàn)[30]的方法中， 重構(gòu)一個密度矩陣元需要兩個算符的8個投影測量結(jié)果.相比之下， 從(16)式的結(jié)果可以看出， 本文提出的基于δ-淬火的無指針直接測量方法僅僅需要三個操作對應(yīng)的投影測量結(jié)果便可直接重構(gòu)密度矩陣的矩陣元.而且， 值得注意的是， 其中P0是和j無關(guān)的投影測量結(jié)果， 也就是P0對于不同的密度矩陣元的測量， 也僅需同一個P0參與計算， 這無疑更增加了測量的簡潔性.

3.2 基于強測量的 δ -淬火直接測量量子密度矩陣的方法

3.1 節(jié)介紹了基于弱測量的無指針直接測量量子密度矩陣的方法.然而， 這種方法也有其局限性.觀察(16)式的結(jié)果可知， 測量結(jié)果Pθ-P0和Pγ-P0需要分別乘以因子才能得到ρjk的實部和虛部， 而 s inθ， s inβ和γ都是比較小的值，便是很大的數(shù)值， 換言之， 實際測量到的信號事實上是非常微弱的.所以在弱測量方案中， 信噪比也相應(yīng)地會比較低.為了解決這個問題， 本節(jié)提出一個信號強度更高的測量方案.

強測量和弱測量的主要區(qū)別在于演化算符中的相移角度θ和β的大小.現(xiàn)在， 設(shè)置θ=π/2 以及β=π/2 可得

經(jīng)過這兩個演化過程之后， 把系統(tǒng)投影至本征態(tài)|k〉下進(jìn)行測量， 所得測量結(jié)果為

同理， 還可改變θ和β的不同數(shù)值組合， 可得到下列測量結(jié)果:

對于的對角矩陣元， 可以通過求得.N=2時， 結(jié)果可以簡化為:

對比結(jié)果(27)式和(16)式可以看出，N/8 要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于換言之， 強測量方案具有更高的信號強度.但是， 由于弱測量方案中，重構(gòu)密度矩陣元需要執(zhí)行的演化操作次數(shù)比強測量要少， 所以在操作簡潔性上比強測量更有優(yōu)勢.所以， 實際的實驗中， 當(dāng)測量的系統(tǒng)擁有比較低的測量噪聲時， 可以采用弱測量的方案， 因為該方案在操作上更加簡單， 所需的測量次數(shù)也更少.而如果測量的系統(tǒng)本身有比較大的噪聲， 這樣弱測量方案所得的測量結(jié)果可能會因為信噪比太低而影響精確度，所以此時可以采用強測量的方案來提高信噪比.

3.3 δ -淬火直接測量量子密度矩陣的實驗方案

現(xiàn)在， 根據(jù)上述理論設(shè)計一個光學(xué)實驗.實驗方案如圖2(b)所示， 待測的密度矩陣為光的路徑量子比特.作為對比， 圖2(a)也給出了文獻(xiàn)[30]提出的有指針直接密度矩陣測量實驗方案.

在圖2(a)中給出的有指針測量方案中， 光子從光纖發(fā)出， 先后由四分之一波片(quarter-wave plate， QWP)、半 波 片(half-wave plate， HWP)和一個偏振光束偏移器(beam displacer， BD)制備出路徑量子比特的初態(tài)， 兩條路徑分別對應(yīng)著本征態(tài)|1〉H和|2〉V， 這里用下標(biāo)H和V分別表示水平和垂直偏振.由于BD可使兩相互正交的偏振光橫向分離， 所以兩路徑也分別對應(yīng)著特定的偏振方向.隨后， 分別用放置在|1〉H和|2〉V的兩個HWP實現(xiàn)待測系統(tǒng)(路徑)和測量指針(偏振)的耦合，對應(yīng)的耦合算符為其耦合強度可以通過調(diào)整HWP的光軸角度來改變.此處若選取QWP進(jìn)行耦合操作， 則對應(yīng)的耦合算符便是在完成耦合后， 用一個HWP和BD進(jìn)行合束， 這里使用的HWP可以將|1〉H和|2〉V轉(zhuǎn)換為|1〉V和|2〉H， 其目的在于在合束的過程中消除之前分束時引起的兩路徑的光程差.合束后再用一個HWP將|1〉V和|2〉H逆變換為|1〉H和|2〉V.然后， 再用同樣的方法實現(xiàn)待測系統(tǒng)和指針的第二次耦合， 實現(xiàn)的耦合算符為最后， 本征態(tài)的投影測量可由一個偏振分束器(PBS)和兩個光子探測器(detector)來實現(xiàn).

圖2 (a) 文獻(xiàn)[30]提出的有指針直接測量密度矩陣的實驗方案; (b) 本文提出的無指針直接測量密度矩陣實驗方案Fig.2.(a) Schematic of direct measurement of the density matrix with pointer in Ref.[30]; (b) experimental proposal of our direct measurement without pointer.

圖2 (b)為δ-淬火直接測量方案.類似地， 先用QWP， HWP和BD制備出路徑量子比特的初態(tài).然后， 放置一個液晶相位延遲器(liquid crystal retarder， LCR)， 這個LCR可調(diào)節(jié)兩相互垂直的偏振光的相位差， 相當(dāng)于在其中一條路徑產(chǎn)生一個可調(diào)的相位偏移.這個操作等效于實現(xiàn)算符LCR設(shè)置的相位延遲角度對應(yīng)著算符中的θ，通過調(diào)節(jié)相位延遲角度的大小可以分別實現(xiàn)強測量和弱測量兩種方案.隨后， 同樣使用HWP和BD進(jìn)行合束操作， 并在合束后用HWP進(jìn)行逆變換.在此之后， 放置另一個LCR， 該LCR的光軸方向與水平偏振(H)的夾角為 π /4 ， 這樣可以使得MUB態(tài)產(chǎn)生一個角度為β的相位偏移.這個操作可以實現(xiàn)第二次的相位偏移算符圖2(b)虛線框中的裝置用于實現(xiàn)弱測量方案中所需的強度衰減操作， 其中使用了一個中性密度衰減片(neutral density filter，NDF).這個NDF僅在其中一條路徑進(jìn)行一個小幅度的強度衰減， 這樣可以實現(xiàn)弱測量方案中所需的強度衰減算符最后， 使用一個PBS和兩個光子探測器實現(xiàn)本征態(tài)的投影測量.

對比圖2(a)和圖2(b)可以看出， 有指針的方案中由于需要兩次指針的耦合， 所以也進(jìn)行了兩次分束和合束的操作.另外還需要在兩條路徑分別放置波片來旋轉(zhuǎn)光的偏振方向， 從而實現(xiàn)指針耦合.相比之下， 圖2(b)對應(yīng)的無指針方案只需一次分束和合束， 同時不需要使用波片來對兩個路徑進(jìn)行單獨的偏振旋轉(zhuǎn)， 僅需使用LCR來對特定路徑實現(xiàn)相位偏移.總體上， 無指針直接測量法在實驗設(shè)計上相比有指針的方案更為簡便.

4 結(jié) 論

本文提出了利用無指針δ-淬火直接測量量子密度矩陣的方法.由于不需要待測系統(tǒng)和測量指針的耦合操作， 這種方法明顯地簡化了測量過程.結(jié)果顯示， 有指針的直接測量法中， 需要用兩個量子比特對應(yīng)的8個投影測量結(jié)果才可重構(gòu)密度矩陣;而在本文提出的基于弱測量的無指針直接測量方法中， 僅需3個操作對應(yīng)的投影測量結(jié)果便可以重構(gòu)密度矩陣元.另外還提出了基于強測量的實現(xiàn)無指針直接測量量子密度矩陣的方案.相比于弱測量方案， 強測量方案的信號強度有明顯的增強， 但需要執(zhí)行的操作更多.這兩種方案在特定的應(yīng)用場景下有著各自的優(yōu)勢.最后， 根據(jù)本文提出的理論方案提出了一個其在光學(xué)系統(tǒng)中的實驗設(shè)計.本文提出的無指針直接測量方法是對密度矩陣測量方法的重要優(yōu)化， 在量子態(tài)測量實驗中有應(yīng)用價值.