毛宜鈺 王一軍 郭迎 毛堉昊 黃文體

1) (中南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 長沙 410083)

2) (中南大學(xué)商學(xué)院， 長沙 410083)

3) (湖南航天建筑工程有限公司， 長沙 410205)

4) (中南大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院， 長沙 410083)

在實(shí)際的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)中， 接收端模數(shù)轉(zhuǎn)換器的有限采樣帶寬會(huì)導(dǎo)致脈沖峰值采樣結(jié)果不準(zhǔn)確， 從而使參數(shù)估計(jì)過程產(chǎn)生誤差， 給竊聽者留下了安全性漏洞.針對這個(gè)問題， 本文提出一種基于峰值補(bǔ)償?shù)倪B續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案， 利用高斯脈沖的基本特性來估計(jì)每個(gè)脈沖的最大采樣值與脈沖峰值之間的偏差， 從而對該采樣值進(jìn)行峰值補(bǔ)償， 使系統(tǒng)得到正確的采樣結(jié)果.本文詳細(xì)分析了有限采樣帶寬對系統(tǒng)安全性的影響， 闡述了峰值補(bǔ)償?shù)木唧w步驟， 并討論了峰值補(bǔ)償前后系統(tǒng)估計(jì)的過噪聲差別， 及其在高斯集體攻擊下的安全性.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 該方案能準(zhǔn)確找到每個(gè)脈沖的峰值， 糾正系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)誤差.與不采用峰值補(bǔ)償?shù)姆桨赶啾龋?本方案消除了系統(tǒng)重復(fù)頻率對密鑰比特率的限制， 具有更長的安全傳輸距離和更高的密鑰比特率.

1 引 言

量子密鑰分發(fā)是量子技術(shù)的一項(xiàng)重要應(yīng)用， 它能使遠(yuǎn)距離的通信雙方在不安全的環(huán)境中建立一串無條件安全的密鑰， 且這種無條件安全性是由量子力學(xué)的基本定律保證的.近年來， 量子密鑰分發(fā)技術(shù)取得了很大的進(jìn)展， 主要可以分為離散變量量子 密 鑰 分 發(fā)[1-3](discrete-variable quantum key distribution， DVQKD)和連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)(continuous-variable quantum key distribution，CVQKD)兩大類[4，5].相比于DVQKD， CVQKD將密鑰編碼在光場的連續(xù)正則分量上， 一般以相干激光作為光源， 并采用平衡零差探測器進(jìn)行探測，具有更高的密鑰率， 且能更好地與現(xiàn)有的光通信系統(tǒng)相結(jié)合[6，7].利用連續(xù)變量進(jìn)行密鑰分發(fā)的概念在1999年由澳大利亞學(xué)者Ralph[8]首次提出， 受到了量子保密通信研究者們的廣泛關(guān)注.2002年，Grosshans和Grangier[9]創(chuàng)造性地提出了一種基于弱相干態(tài)高斯調(diào)制和零差檢測的CVQKD協(xié)議，即著名的GG02協(xié)議.該協(xié)議充分體現(xiàn)了CVQKD的優(yōu)勢， 具有重大的實(shí)際意義， 但它使用的正向協(xié)商方法使協(xié)議受到3 dB傳輸損耗的限制.為了解決這個(gè)問題， Grosshans等[10]在2003年又提出了反向協(xié)商方案， 該方案可以突破3 dB損耗限制，并且具有更高的密鑰率.此后， 在GG02的基礎(chǔ)上，研究者們提出了大量改進(jìn)方案， 推動(dòng)了CVQKD的迅速發(fā)展.例如， Weedbrook等[11]在2004年提出一種基于外差檢測的no-switching協(xié)議， 使接收方能同時(shí)測量相干態(tài)的兩個(gè)正則分量來提取密鑰.2008年， Pirandola等[12]提出一種雙路方案來提升協(xié)議的性能.2009年， Leverrier和Grangier[13]提出了具有更遠(yuǎn)安全距離的離散調(diào)制方案， 并證明了其在線性量子信道條件下的安全性.2012年，Weedbrook等[14]提出以熱態(tài)或加噪相干態(tài)為光源的 CVQKD 方案， 并分析了其在微波頻段的可行性.2015年， Vladyslav等[15]提出了一維調(diào)制CVQKD方案， 通過只調(diào)制一個(gè)正則分量來簡化系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)過程.隨著協(xié)議的不斷改進(jìn)和發(fā)展， 其相應(yīng)的安全性證明也在持續(xù)跟進(jìn).2004年， Grosshans和Cerf[16]證明了CVQKD在單體攻擊下的安全性.兩年后，Navascués等[17]又發(fā)現(xiàn)了高斯攻擊是針對高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD協(xié)議的最優(yōu)攻擊， 同年， García-Patrón等[18]也用另一種方法進(jìn)一步證明了高斯攻擊的最優(yōu)性.2009年， Renner等[19]利用de Finetti定理證明了相干攻擊和集體攻擊對DVQKD和CVQKD而言都是等價(jià)的， 使得大部分CVQKD協(xié)議都可以基于簡單的高斯集體攻擊來進(jìn)行安全性分析.2010年， Leverrier等[20]在CVQKD協(xié)議的理論安全性分析中考慮了有限長效應(yīng)的影響， 并且在2015年完成了高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD協(xié)議的組合安全性證明[21].

盡管高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD協(xié)議可以保證理論上的無條件安全， 但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的過程中， 器件的不完美或噪聲等因素都可能會(huì)被竊聽者Eve利用來獲取信息， 使系統(tǒng)的無條件安全性受到影響.目前已經(jīng)提出的幾種針對實(shí)際CVQKD系統(tǒng)的攻擊方案有: 特洛伊木馬攻擊[22]、校準(zhǔn)攻擊[23]、本振光抖動(dòng)攻擊[24]、波長攻擊[25-27]、飽和攻擊[28]、零差探測器致盲攻擊[29]、種子光注入攻擊[30]、不完美的態(tài)制備問題[31]及有限采樣帶寬影響[32]等.其中， 有限采樣帶寬影響是指接收端的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(analog-to-digital converter， ADC)的有限采樣帶寬會(huì)降低密鑰率的下界并限制密鑰率和系統(tǒng)重復(fù)頻率之間的關(guān)系， 從而被竊聽者利用來隱藏其攻擊.為了解決有限采樣帶寬的影響， 研究者們也提出了相應(yīng)的應(yīng)對措施.例如， Wang等[32]提出了一種雙采樣檢測方案， 用兩個(gè)由同一電路觸發(fā)的ADC同時(shí)對零差探測器的輸出和本振光進(jìn)行采樣， 來使散粒噪聲方差的測量值與量子態(tài)正則分量的測量值相對應(yīng)， 從而保證接收方Bob能估計(jì)到正確的信道參數(shù).但由于光電二極管(positive intrinsicnegative， PIN)和其他的光電因素之間存在差異，可能會(huì)使一個(gè)ADC的峰值與非峰值之比與另一個(gè)之間存在非線性， 從而對參數(shù)估計(jì)結(jié)果造成影響.Li等[33]利用一個(gè)動(dòng)態(tài)時(shí)延調(diào)節(jié)模塊和統(tǒng)計(jì)功率反饋控制算法來消除有限采樣帶寬的影響， 使Bob總是能采到脈沖的峰值.但這種方法需要進(jìn)行多步時(shí)延調(diào)節(jié)才能取得較好的效果， 可能會(huì)導(dǎo)致大量密鑰的浪費(fèi)， 也增加了系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)間成本.

針對實(shí)際CVQKD系統(tǒng)的有限采樣帶寬問題，本文提出了一種峰值補(bǔ)償方案， 通過對接收端的采樣結(jié)果的分析來判斷采樣值是否為峰值， 并在未采到峰值時(shí)對采樣結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償， 使通信雙方在后處理過程中能夠正確估計(jì)信道參數(shù)， 消除由有限采樣帶寬影響導(dǎo)致的安全性漏洞.這種方法可以直接在采樣后的數(shù)據(jù)處理階段完成， 不需要增加任何額外的設(shè)備， 相比之前提出的雙采樣方案和動(dòng)態(tài)時(shí)延調(diào)節(jié)方案， 具有更高的準(zhǔn)確性.本文第2節(jié)簡要介紹ADC的有限采樣帶寬對高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD系統(tǒng)的影響和峰值補(bǔ)償?shù)闹饕襟E; 第3節(jié)詳細(xì)地討論峰值補(bǔ)償后的參數(shù)估計(jì)過程及系統(tǒng)在集體攻擊下的安全性; 第4節(jié)對全文進(jìn)行總結(jié).

2 實(shí)際CVQKD系統(tǒng)的峰值補(bǔ)償方案

2.1 有限采樣帶寬影響

在高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD協(xié)議中， 發(fā)送方Alice選擇兩組均值為0， 方差為VX=VAN0的服從高斯分布的隨機(jī)數(shù)， 用振幅調(diào)制器和相位調(diào)制器將這兩組數(shù)據(jù)分別編碼在信號(hào)光脈沖的正則分量XA和PA上， 得到相干態(tài)|XA+iPA〉， 并將它們同本振光一起通過偏振復(fù)用和時(shí)分復(fù)用發(fā)送給接收方Bob.Bob使用的接收裝置如圖1所示， 偏振分束器將接收到的信號(hào)光和本振光分離出來， 本振光接著被一個(gè)10∶90的分束器分離成兩部分， 一部分連接光電二極管用于監(jiān)測本振光強(qiáng)度， 另一部分與信號(hào)光干涉進(jìn)行零差探測.本振光路上的相位調(diào)制器隨機(jī)將相位調(diào)整為0或 π /2 來選擇測量基.最后，ADC以頻率fsamp對零差探測器的輸出結(jié)果采樣，采樣后的數(shù)據(jù)保存到Bob的電腦中進(jìn)行后處理.在這個(gè)過程中， Bob測量到的相干態(tài)的正則分量值由零差探測器輸出電脈沖的峰值決定[33].當(dāng)ADC的采樣頻率無限大時(shí)， Bob總是能準(zhǔn)確采到脈沖的峰值得到信號(hào)光的正則分量， 從而估計(jì)到正確的信道參數(shù).但在實(shí)際系統(tǒng)中， ADC的采樣帶寬是有限的， 這使得采樣值可能與脈沖的峰值之間存在偏差， 如圖2所示.

圖1 CVQKD系統(tǒng)的接收端設(shè)備結(jié)構(gòu)圖.PBS為偏振分束器， BS為光分束器， PM為相位調(diào)制器， PIN為光電二極管， ADC為模數(shù)轉(zhuǎn)換器Fig.1.Structure of receiver’s apparatus of a CVQKD system.PBS， polarization beam splitter; BS， beam splitter;PM， phase modulator; PIN， positive intrinsic-negative;ADC， analog-to-digital converter.

圖2 零差探測器輸出脈沖的時(shí)域波形， 箭頭表示采樣位置.ts 為 采 樣 間 隔， U p 為 脈 沖 的 峰 值， U m 為 最 大 測 量 值，T0為脈沖持續(xù)時(shí)間Fig.2.Time-domain shape of an output pulse from the balanced homodyne detector.ts ， sampling interval; U p ， peak value of the pulse; U m ， maximal measurement value; T 0 ，duration of each pulse.

通常， 對于一個(gè)高斯調(diào)制相干態(tài)CVQKD系統(tǒng)，零差探測器的帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)重復(fù)頻率frep[34，35]，因此能保證零差探測器工作在其線性區(qū)域， 且探測器的響應(yīng)相對于輸入光場的正則分量是線性的.在這種情況下， 探測前后的脈沖信號(hào)一般為高斯分布， 波形函數(shù)為[32，33，36]

其中，Up為高斯脈沖的峰值，μ和σ2分別代表均值和方差.為了簡單起見， 我們選擇μ=T0/2 ，σ2=T0/8 ，T0=1/frep為脈沖持續(xù)時(shí)間.如圖2所示， 在一個(gè)脈沖時(shí)間T0內(nèi)， ADC進(jìn)行了多次采樣， 采樣間隔為ts=1/fsamp， 由于受到有限采樣帶寬的影響， 最大采樣值Um和Up之間存在偏差， 定義為

因此， 我們可以得到Um和Up之比為

在這種情況下， Alice和Bob會(huì)錯(cuò)誤地估計(jì)信道參數(shù)t和ε， 得到[32]

其中:k=Um/Up;t=ηT，η為零差探測器的探測效率，T為信道透射比;ε為系統(tǒng)的過噪聲;t′和ε′分別表示t和ε的估計(jì)值.因此， 在沒有采到脈沖的峰值時(shí)， Alice和Bob會(huì)錯(cuò)誤地估計(jì)系統(tǒng)的過噪聲， 給竊聽者留下安全漏洞.

2.2 峰值補(bǔ)償

為了消除由ADC的有限采樣帶寬引入的安全性漏洞， 我們在圖1的ADC后引入一個(gè)峰值補(bǔ)償模塊， 以實(shí)現(xiàn)峰值監(jiān)測與補(bǔ)償.以圖2為例， 我們的峰值補(bǔ)償方案包括以下幾個(gè)步驟.1)對于一個(gè)脈沖時(shí)間T0內(nèi)的所有采樣值{U1，U2，U3，U4，U5，U6}，找出其最大值點(diǎn)Um=U3以及與Um相鄰的兩個(gè)采樣值U2和U4.2)當(dāng)U2=U4時(shí)， 可以判斷Um為峰值點(diǎn); 當(dāng)U24時(shí)， 可以判斷Um＜Up， 且根據(jù)高斯脈沖的性質(zhì)， ΔU可由(5)式得到:

其中，tm=3ts為最大采樣值對應(yīng)的采樣時(shí)間;Δt=tm-tp，tp為脈沖峰值對應(yīng)的采樣時(shí)間.在已知U2和U4的前提下， 可得

3)用得到的ΔU補(bǔ)償U(kuò)m， 可得正確的脈沖峰值Up.

圖3(a)是在系統(tǒng)重復(fù)率為120 MHz、采樣頻率為1 GHz時(shí)一串高斯脈沖的被采樣情況， 在這種情況下每個(gè)脈沖的最大采樣值都不是脈沖的峰值點(diǎn).圖3(b)是對最大采樣值進(jìn)行峰值補(bǔ)償之后的采樣情況， 我們發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償后的值剛好是每個(gè)脈沖的峰值點(diǎn)， 證明了提出的峰值補(bǔ)償方案的有效性.

圖3 (a)有限采樣帶寬影響下的高斯脈沖時(shí)域采樣情況;(b)峰值補(bǔ)償后的采樣值.其中藍(lán)色線表示脈沖時(shí)域波形，紅色圓點(diǎn)代表采樣值Fig.3.(a) Sampling positions of Gaussian pulses effected by finite-sampling bandwidth; (b) sampling values after peak compensation.The blue line represents the time-domain shape of the pulses， and the red dots represent the sampled values.

3 基于峰值補(bǔ)償?shù)腃VQKD系統(tǒng)的安全性分析

3.1 參數(shù)估計(jì)

2.1 節(jié)分析了在有限采樣帶寬影響下， Alice和Bob估計(jì)的信道過噪聲ε會(huì)小于其真實(shí)值， 從而高估系統(tǒng)的密鑰率.本節(jié)分析峰值補(bǔ)償后系統(tǒng)對信道參數(shù)的估計(jì).

在量子傳輸過程結(jié)束后， Alice和Bob共享兩個(gè)相關(guān)向量x=(x1，x2，···，xN) 和y=(y1，y2，···，yN)， 其中N表示傳輸?shù)拿}沖數(shù)目.它們之間的關(guān)系可以表示為[37]

其中，z表示系統(tǒng)的總噪聲， 服從均值為0， 方差為的高斯分布.N0表示系統(tǒng)的散粒噪聲，Vel=velN0表示零差探測器的電噪聲，ξ=εN0表示信道過噪聲， 這些參數(shù)都以它們各自的單位表示.在不采取峰值補(bǔ)償時(shí)，x，y與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系可以表示為

從而估計(jì)的信道參數(shù)如(4)式所示.在采取峰值補(bǔ)償時(shí)， 由于補(bǔ)償后的， 使得k=1 ， 因此估計(jì)的信道參數(shù)

圖4給出了在不同信道過噪聲下的估計(jì)過噪聲隨系統(tǒng)重復(fù)率的變化情況.從上到下的曲線分別代表ε=0.04，ε=0.02，ε=0.01 時(shí)的結(jié)果.顯然， 在不進(jìn)行峰值補(bǔ)償時(shí)， 估計(jì)的過噪聲會(huì)隨系統(tǒng)重復(fù)率的增加而減小， 這意味著系統(tǒng)重復(fù)率越高， Eve越容易隱藏自己; 而在進(jìn)行峰值補(bǔ)償后， 估計(jì)的過噪聲在不同系統(tǒng)重復(fù)率下都保持恒定.

圖4 不同信道過噪聲情況下的估計(jì)過噪聲隨系統(tǒng)重復(fù)率的變化.圖中PC表示峰值補(bǔ)償(peak-compensation， PC)Fig.4.The estimated excess noise as a function of the system repetition rate under different channel excess noise.PC in the figure represents peak-compensation.

3.2 集體攻擊下的密鑰率

對于一個(gè)CVQKD系統(tǒng)， 給定參數(shù)VA，T，ε，η和vel， Alice和Bob可以計(jì)算出他們共享的信息量IAB和Eve可獲得的最大信息量χBE.因此， 在集體攻擊下， Alice和Bob可獲得的安全密鑰率為

其中，β表示反向協(xié)商效率.且

其 中:V=VA+1 ;χtot=χline+χhom/T表 示 系 統(tǒng)的總噪聲，χline=T-1+ε-1 是信道輸入過噪聲，χhom=[(1-η)+vel]/η是零差探測器的等效輸入過 噪 聲;G(x)=(x+1)ln(x+1)-xlnx;λi是 表示量子系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣的辛本征值， 其中λ1，2為λ3，4為

λ5=1.根據(jù)得到的安全密鑰率， 可求出系統(tǒng)的密鑰比特率為

在不進(jìn)行峰值補(bǔ)償?shù)那闆r下， 當(dāng)系統(tǒng)估計(jì)的過噪聲為ε′時(shí)， 實(shí)際的過噪聲為

在進(jìn)行峰值補(bǔ)償?shù)那闆r下， 實(shí)際的過噪聲等于估計(jì)的過噪聲.圖5(a)給出了不同系統(tǒng)重復(fù)率frep=2，5，8MHz 的安全密鑰率隨傳輸距離的變化， 從圖中可知， 峰值補(bǔ)償后系統(tǒng)的密鑰率和傳輸距離不受系統(tǒng)重復(fù)率的影響， 且此時(shí)的安全傳輸距離大于不進(jìn)行峰值補(bǔ)償時(shí)的情況.圖5(b)給出了不同傳輸距離L=30，40，50km 的密鑰比特率隨系統(tǒng)重復(fù)率的變化， 顯然， 在進(jìn)行峰值補(bǔ)償后， 系統(tǒng)的密鑰比特率隨系統(tǒng)重復(fù)率的增加而呈正比持續(xù)增加; 而在不采取峰值補(bǔ)償時(shí)， 密鑰比特率隨系統(tǒng)重復(fù)率的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢.因此， 本文提出的峰值補(bǔ)償方案不僅增加了系統(tǒng)的安全性， 消除了由于有限采樣帶寬引入的安全性漏洞， 也解除了系統(tǒng)重復(fù)頻率對密鑰比特率的限制.在計(jì)算密鑰率的過程中，涉 及 的 系 統(tǒng) 參 數(shù) 分 別 設(shè) 置 為VA=20 ，vel= 0.01 ，β=0.95 ，η=0.6 ，fsamp=1 GHz.

4 結(jié) 論

圖5 (a)不同系統(tǒng)重復(fù)率下的密鑰率隨傳輸距離的變化;(b)不同傳輸距離下的密鑰比特率隨系統(tǒng)重復(fù)率的變化Fig.5.(a) The secret key rate as a function of the transmission distance under different system repetition rate; (b) the secret bit rate as a function of the system repetition rate under different transmission distance.

本文提出了一種基于峰值補(bǔ)償?shù)倪B續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案， 通過在接收端的ADC后增加一個(gè)峰值補(bǔ)償模塊， 來解決由ADC的有限采樣帶寬引入的安全性問題.詳細(xì)介紹了有限采樣帶寬對系統(tǒng)安全性的影響， 描述了峰值補(bǔ)償?shù)木唧w步驟， 并基于仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方案的有效性.此外， 也針對采用峰值補(bǔ)償和不采用峰值補(bǔ)償兩種情況， 分別分析了系統(tǒng)在集體攻擊下的漸近安全性.結(jié)果表明， 經(jīng)過峰值補(bǔ)償后， 系統(tǒng)能正確估計(jì)信道過噪聲，從而具有更長的安全傳輸距離， 其密鑰比特率也不再受到系統(tǒng)重復(fù)率的限制， 隨重復(fù)率的增加而呈正比持續(xù)增加.

值得注意的是， 該方案是基于一個(gè)脈沖內(nèi)的三個(gè)采樣值來實(shí)施峰值補(bǔ)償， 因此ADC的采樣頻率必須大于三倍系統(tǒng)重復(fù)率， 這要求系統(tǒng)的重復(fù)率不能太高.對目前的CVQKD系統(tǒng)而言， ADC的采樣頻率通常在GHz級(jí)別， 而系統(tǒng)重復(fù)率通常在MHz級(jí)別， 這遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足三倍重復(fù)率的要求.在今后的研究工作中， 會(huì)進(jìn)一步考慮這一要求對系統(tǒng)的影響， 以提高CVQKD系統(tǒng)的性能.