張 柯，郭玉梁，魏冰陽，曹雪梅

(河南科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003)

0 引言

近年來，機械傳動裝備朝著輕量化高功率密度方向發(fā)展，少齒數(shù)齒輪副具有傳動比大、體積小、結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點，在航空航天、電驅(qū)動、角矢量傳動領(lǐng)域具有獨特的優(yōu)勢。節(jié)點外嚙合能夠大幅度提高小輪的體積，平衡大小輪強度，同時由于嚙合過程中摩擦力不換向，對降低齒輪傳動的振動和噪聲有利。因此，節(jié)點外嚙合在少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪設(shè)計方面得以應(yīng)用。文獻[1]研究了少齒數(shù)齒輪軸齒根彎曲應(yīng)力計算方法，為少齒數(shù)齒輪軸的安全性測定提供了依據(jù)。文獻[2]提出了一種便于調(diào)整的齒廓曲線構(gòu)造方法，有效提高了少齒數(shù)齒輪的承載能力。文獻[3-4]研究了少齒數(shù)齒輪副徑向變位和切向變位系數(shù)的選取方法。文獻[5-7]對節(jié)點外嚙合齒輪的動力學(xué)特性進行了分析和試驗驗證。文獻[8]對節(jié)點外嚙合出現(xiàn)的原因進行了分析，總結(jié)了節(jié)點外嚙合對齒輪強度的影響。上述研究均集中在少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪設(shè)計方面。文獻[9]分析了現(xiàn)有膠合承載能力計算中平均摩擦因數(shù)計算方法的不足，根據(jù)節(jié)點外嚙合齒輪傳動的嚙合特點，提出了一種更為合理且精度較高的平均摩擦因數(shù)計算方法。文獻[10]從輪齒的接觸強度、彎曲強度、磨損、振動和潤滑等方面，對節(jié)點外嚙合齒輪傳動進行了討論，并指出在大傳動比情況下采用這種齒輪傳動有很多優(yōu)點。在錐齒輪設(shè)計方面，文獻[11]提出了非零變位設(shè)計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)齒數(shù)和較少的小型傳動。文獻[12-14]對少齒數(shù)高減比準(zhǔn)雙曲面齒輪副的幾何參數(shù)選取、加工參數(shù)計算進行了研究，通過切齒試驗驗證了其設(shè)計的可行性。文獻[15]利用曲面綜合法，對錐齒輪的加工參數(shù)進行了計算，實現(xiàn)了對齒輪副接觸性能的主動控制。文獻[16]對弧齒錐齒輪的齒面幾何傳動誤差進行了研究，分析了幾何傳動誤差對弧齒錐齒輪承載和振動特性的影響。為了更加真實地反映齒輪齒根彎曲強度，文獻[17]推導(dǎo)了齒根過渡曲面方程，構(gòu)建了齒輪的齒根過渡曲面。

節(jié)錐外嚙合可以顯著地增加小輪的體積，減小大輪的體積，有利于均衡大傳動比齒輪副的彎曲強度，解決大速比齒輪副承載能力弱的問題。同時，節(jié)錐外嚙合還具有摩擦力不換向的優(yōu)點，能有效地降低齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲。但節(jié)點外嚙合應(yīng)用于弧齒錐齒輪上尚未見文獻報道，鑒于此，本文基于錐齒輪的綜合變位原理，提出了節(jié)錐外嚙合弧齒錐齒輪幾何變位設(shè)計方法。根據(jù)等彎曲強度原則，給出了一對齒數(shù)比4∶41的弧齒錐齒輪幾何設(shè)計參數(shù)，進行了三維建模仿真，通過切齒和滾檢試驗驗證了本文所提出的節(jié)錐外嚙合錐齒輪設(shè)計方法的可行性。

1 少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位設(shè)計原理

根據(jù)錐齒輪綜合變位原理，小輪需采用徑向與切向正變位設(shè)計，以提高小輪的彎曲強度，使大小輪的強度近似平衡，節(jié)錐外嚙合則通過大變位實現(xiàn)。下面以中點端面當(dāng)量齒輪為依據(jù)，給出少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位設(shè)計原理與幾何限制條件。

從變位后的節(jié)錐相對位置來看，節(jié)錐外嚙合分以下兩種情況：節(jié)錐前嚙合和節(jié)錐后嚙合。

1.1 節(jié)錐前嚙合

節(jié)錐前嚙合示意圖如圖1所示，N1N2為理論嚙合線，B1B2為實際嚙合線，P為節(jié)點，即實際嚙合線位于節(jié)點之前。rva1、rva2分別為小輪和大輪的當(dāng)量齒輪頂圓直徑，rvb1、rvb2分別為小輪和大輪當(dāng)量齒輪基圓直徑。具體到錐齒輪，則小輪的面錐在節(jié)錐之內(nèi)，對應(yīng)大輪的節(jié)錐靠近根錐，小輪的齒頂高演變?yōu)樨?fù)值。該設(shè)計導(dǎo)致小輪徑向較大的負(fù)變位，體積減小，大輪的體積反而增大，不利于均衡大小輪的彎曲強度，承載能力提高，所以較少采用。

圖1 節(jié)錐前嚙合示意圖

1.2 節(jié)錐后嚙合

節(jié)錐后嚙合即實際嚙合線位于節(jié)點之后，節(jié)錐后嚙合示意圖如圖2所示，節(jié)錐后嚙合要求小輪徑向采用較大的正變位，大輪負(fù)變位。從錐齒輪的幾何看，此時從動輪大輪的節(jié)錐在其面錐之外，對應(yīng)小輪根錐靠近節(jié)錐，大輪的齒頂高演變?yōu)樨?fù)值。

由于節(jié)錐后嚙合使得小輪的體積顯著增大，且有利于提高齒輪副的接觸強度和承載能力，所以對于大傳動比、少齒數(shù)弧齒錐齒輪設(shè)計，采用節(jié)錐后嚙合方式[18]。

為了衡量節(jié)點外嚙合的程度，引入節(jié)點外嚙合系數(shù)λ[7]:

(1)

其中：rv2為大輪的當(dāng)量節(jié)圓直徑，mm；mmt為中點處的端面模數(shù)，mm。

對于錐齒輪節(jié)錐后嚙合則應(yīng)滿足[11]：

(2)

2 節(jié)錐外嚙合變位設(shè)計的幾何約束條件

2.1 齒頂厚限制

小輪較大的正變位，容易導(dǎo)致齒頂變尖；大輪采用切向負(fù)變位，也存在齒頂變尖的可能，所以對大輪和小輪的齒頂厚進行驗算。小輪與大輪的齒頂厚計算公式[19]分別為：

(3)

其中：smn2=0.5pmcosβ-(ham1-ham2)tanαn-kt1mmn；smn1=pmcosβ-smn2；mmn為中點法向模數(shù)，mm；pm為中點分度圓齒距，mm；kt1為小輪切向變位系數(shù)，αvt為端面當(dāng)量壓力角，(°)；αavt1和αavt2為端面頂圓壓力角，(°)。

2.2 根切限制

齒數(shù)太少、變位系數(shù)取值不當(dāng)都可能產(chǎn)生根切，因此大小輪的徑向變位系數(shù)應(yīng)滿足[19]：

(4)

其中：zv1和zv2為當(dāng)量齒數(shù)。

2.3 最小重合度限制

為了保證齒輪傳動的連續(xù)性和平穩(wěn)性，齒輪傳動需要滿足一定的重疊系數(shù)要求。對于直齒輪，要求重合度大于1.0，由于弧齒錐齒輪具有端面和軸向重合度，總重合度需滿足[11]：

(5)

3 輪齒幾何參數(shù)設(shè)計

預(yù)先給定齒輪的基本參數(shù)：齒數(shù)z1=4，z2=41，大端模數(shù)met=4.5 mm，法向壓力角αn=20°，軸交角∑=90°?；?.1小節(jié)至1.4小節(jié)所述的限制條件，在其可行域內(nèi)選取輪齒的幾何參數(shù)。以文獻[11]為依據(jù)編制計算程序，所設(shè)計的輪齒幾何參數(shù)如表1所示。節(jié)錐外嚙合系數(shù)λ=-0.02。以大輪的幾何看，變位后節(jié)錐已位于面錐之外，本文采用等高弧線齒錐齒輪型式設(shè)計，節(jié)錐、面錐、根錐三者角度相等。

表1 輪齒幾何參數(shù)

4 三維建模與彎曲強度仿真

4.1 齒輪副共軛三維模型

當(dāng)齒數(shù)比超過3.73時，大輪的節(jié)錐角大于75°，大輪可以采用成形法加工，因此針對表1的參數(shù)，大輪利用成形法建立模型。將大輪的刀具面離散為點云，刀具面點云通過坐標(biāo)變換矩陣，變換入大輪坐標(biāo)系即可得到大輪齒面的點云坐標(biāo)[15]。根據(jù)齒輪嚙合原理，共軛小輪的齒面點云可由嚙合方程和大輪齒面點云求得[15]。將點云文件導(dǎo)入UG軟件中，再結(jié)合其他指令可以建立大小輪的精確三維模型，如圖3所示。

圖3 齒數(shù)比4∶41的齒輪副三維模型

在三維軟件UG中利用分析指令，測得三維模型的大小輪中點處齒高為5.845 mm，與表1的理論計算結(jié)果的誤差為0；小輪中點處齒頂厚為1.880 mm，與表1的理論計算結(jié)果的誤差為0.66%；大輪中點處齒頂厚為2.953 mm，與表1的理論計算結(jié)果的誤差為0.43%，輪齒形狀符合2.1小節(jié)至2.3小節(jié)的約束條件。

4.2 齒輪副彎曲應(yīng)力仿真

少齒數(shù)齒輪模型相對于常規(guī)弧齒錐齒輪模型更加復(fù)雜，制定齒輪副的切分方案十分重要，在UG中提前將大小輪的三維模型按已定方案進行切分，使得大小輪能劃分成六面體網(wǎng)格單元，以便提高有限元的求解精度。將切分后的模型導(dǎo)入有限元軟件Ansys workbench中，對小輪施加50 N·m的扭矩；并對其添加cycle support約束，僅釋放其切向自由度；大輪采用fixed support約束；將接觸對類型設(shè)置為frictional，其系數(shù)為0.03，參數(shù)設(shè)置完畢后對齒輪副的齒根彎曲應(yīng)力進行靜力學(xué)仿真。仿真方案采用以小輪的一個齒從嚙入到嚙出為仿真區(qū)間，以小輪每轉(zhuǎn)過10°為步長，對齒輪副進行靜力學(xué)仿真。按照設(shè)計的仿真方案，在一對齒從嚙入到嚙出的仿真區(qū)間里，每增加一個步長，對齒輪副的齒根彎曲應(yīng)力進行一次靜力學(xué)仿真，并記錄該次仿真下大小輪的齒根彎曲應(yīng)力最大值。本文在仿真區(qū)間里對齒輪副13個不同的齒根位置進行了齒根彎曲應(yīng)力仿真，仿真結(jié)果可繪制為如圖4所示的折線圖。

圖4 大小輪齒根彎曲應(yīng)力折線圖

由圖4可以看出：在一對齒從嚙入到嚙出的仿真區(qū)間里，小輪的齒根彎曲應(yīng)力最大值為320.35 MPa，大輪的齒根彎曲應(yīng)力最大值為324.52 MPa。

4.3 齒輪副的等彎強驗證

以文獻[20]中試驗得出的極限彎曲應(yīng)力為依據(jù)，大小輪的計算許用彎曲應(yīng)力為：

(6)

其中：YNT1,2為小輪和大輪的壽命因數(shù)；SF1,2為小輪和大輪的設(shè)計強度安全因數(shù)；Kθ1,2為小輪和大輪的溫度因數(shù)；YZ1,2為小輪和大輪的可靠性因數(shù)；σFlim為齒輪的極限彎曲應(yīng)力，MPa。

齒根的彎曲強度可由許用彎曲應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力的比值來衡量，分別取仿真中大小輪齒根彎曲應(yīng)力的最大值來計算其對應(yīng)的安全因數(shù)，大小輪安全因數(shù)計算公式為：

(7)

其中：σF1,2max為小輪和大輪的齒根彎曲應(yīng)力最大值，MPa。

安全因數(shù)大于1.0為滿足強度要求，安全因數(shù)差小于0.1為滿足等強度設(shè)計依據(jù)。大小輪許用彎曲應(yīng)力計算評價如表2所示。

表2 許用彎曲應(yīng)力計算評價

由表2可得大小輪安全因數(shù)為：

S1,2>1.0,

(8)

大小輪安全因數(shù)之差為：

Sc=|S1-S2|=0.037<0.1。

(9)

經(jīng)驗算，大小輪的安全因數(shù)差滿足設(shè)計要求，可以認(rèn)為所設(shè)計的大小輪的彎曲強度近似平衡。

4.4 瞬時接觸斑點仿真

小輪采用展成法加工，加工參數(shù)計算方法參見文獻[15]。在UG軟件中，建立小輪修形后的三維模型，并將大輪和修形小輪進行裝配，利用運動仿真模塊，對齒輪副進行運動學(xué)仿真，可觀察到齒輪副任意嚙合位置的瞬時接觸區(qū)。圖5顯示的是齒面中點位置的瞬時接觸區(qū)，其形狀呈標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形，符合錐齒輪修形后的局部共軛特性。

圖5 齒面中點位置瞬時接觸區(qū)

5 輪齒的切齒試驗

為進一步檢驗本文所提設(shè)計方法的可行性，在半數(shù)控GH-35機床上完成了切齒加工。大輪節(jié)錐角為84.427 8°，采用成形法加工，小輪采用展成法加工，大輪和小輪的加工參數(shù)見表3。

表3 大輪和小輪加工參數(shù)

大輪采用成形法加工，加工參數(shù)由幾何參數(shù)計算求得；小輪的加工參數(shù)是利用曲面綜合法，編制程序優(yōu)化求解[15]。

大小輪的切齒及配齒過程如圖6a和圖6b所示。大輪分3次切到深度，最后光整一刀，確保齒面的光潔度。小輪采用展成法單面加工，對凸凹面分別修正，在控制輪齒尺寸公差的同時，接觸區(qū)應(yīng)符合設(shè)計要求。

切齒結(jié)束后在滾檢機上進行配齒，如圖6c所示，觀察大小輪的齒形無畸變。

(a) 小輪切齒

在滾檢機上對所加工的齒輪副進行滾檢試驗，齒數(shù)比4∶41的弧齒錐齒輪副滾檢結(jié)果如圖7所示，圖7b為齒面接觸區(qū)拓印圖，底部為齒根，上部為齒頂。

由圖7可以看出：大輪凸面接觸斑點呈內(nèi)對角橢圓形，長度占齒寬的45%，寬度占工作齒高的70%，位置略靠小端。完全符合設(shè)計要求。

6 結(jié)束語

利用錐齒輪的綜合變位和節(jié)錐外嚙合原理，給出了高減速比、少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位系數(shù)選取與幾何約束條件。以齒數(shù)比4∶41的等高弧齒錐齒輪為例，選取了節(jié)點外嚙合系數(shù)，對齒輪副的幾何參數(shù)進行了校驗。建立了精確的輪齒三維模型，進行了接觸斑點仿真與彎曲強度平衡校驗。在幾何設(shè)計上保證了輪齒幾何無畸變，大小輪彎曲強度近似平衡。切齒和滾檢試驗證明了節(jié)錐外嚙合在高減比少齒數(shù)弧齒錐齒輪設(shè)計方面應(yīng)用的可行性，為節(jié)錐外嚙合在弧齒錐齒輪上的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，也為高減比弧齒錐齒輪的設(shè)計提供了思路。