王曉菲，李 航，彭 程，李楊龍

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003)

0 引言

現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展對精密軸承質(zhì)量的要求越來越高[1]，軸承行業(yè)迫切需要科學(xué)合理的方法提高軸承零件的精度以及軸承生產(chǎn)線的產(chǎn)能。大部分產(chǎn)品質(zhì)量問題來自制造過程[2]，因此質(zhì)量控制的對象應(yīng)從最終成品轉(zhuǎn)向加工過程，通過對加工過程各個環(huán)節(jié)產(chǎn)品的實時檢測和加工工藝的動態(tài)調(diào)整，來實現(xiàn)影響質(zhì)量因素的監(jiān)測分析以及加工工藝的優(yōu)化，進(jìn)而達(dá)到控制產(chǎn)品質(zhì)量的目的。

在機(jī)械加工中，隨著加工工序的順延，加工誤差有序地流過從毛坯到零件的各個加工工序，這個誤差流動的過程即誤差流。近年來，眾多學(xué)者針對誤差流進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)[3]提出了誤差流理論，同時在車身裝配過程中得到了應(yīng)用和驗證。文獻(xiàn)[4-5]通過跟蹤和測量加工過程中各個階段的單個零件的特征尺寸，研究離散零件在多階段生產(chǎn)過程中的關(guān)鍵特征尺寸變化，并確定對最終產(chǎn)品的誤差影響最大的階段。文獻(xiàn)[6]根據(jù)最終產(chǎn)品的誤差是由所有工序誤差的累積和疊加產(chǎn)生，提出了一種狀態(tài)空間模型及其建模策略，建立了裝配和加工過程的運(yùn)動學(xué)模型。文獻(xiàn)[7]引入了機(jī)器人領(lǐng)域微分運(yùn)動矢量的概念作為工件集合偏差的狀態(tài)向量，并建立了通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移來定量描述誤差的累積和轉(zhuǎn)換的狀態(tài)空間模型。

文獻(xiàn)[8-9]提出了加工誤差流的理念，并借助誤差理論、迭代映射、突變論以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等理論，構(gòu)造了多個加工誤差流動態(tài)模型。文獻(xiàn)[10-11]依據(jù)灰色系統(tǒng)理論和軸承磨削加工的誤差特點，建立了動態(tài)分析模型，擬合精度和預(yù)測效果相比傳統(tǒng)離散模型得到較大提升。文獻(xiàn)[12-13]參考誤差流理論，將多工序間的誤差傳遞過程表示為狀態(tài)空間方程，建立誤差傳遞模型，有效地反映了制動鉗加工過程中的誤差傳遞規(guī)律。文獻(xiàn)[14]將零件加工過程看作刀具軌跡點集與零件點集的轉(zhuǎn)換過程，將點集表示為齊次坐標(biāo)矩陣，該矩陣包含了制造過程中的幾何變動信息，從而可以分析誤差傳遞規(guī)律。

上述對誤差流的研究尚處在建立線性模型階段，且主要集中在裝配過程中以零件的誤差為組成環(huán)的誤差累積的情況，較少考慮同一表面經(jīng)過多次加工的工序間誤差傳遞。但是在實際的加工過程中，誤差的出現(xiàn)隨機(jī)性較大，并非全都是線性的。本文考慮上一道工序誤差對本道工序誤差的影響，以及本道工序的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，建立了半?yún)?shù)回歸模型，利用自然樣條最小二乘法對模型中的參數(shù)及半?yún)?shù)進(jìn)行求解，并以軸承套圈的內(nèi)圈溝道加工作為實例，驗證了模型的可行性和優(yōu)越性。

1 加工誤差傳遞模型

磨削加工是軸承內(nèi)圈加工的核心步驟，本文以軸承內(nèi)圈的磨削加工過程為例，進(jìn)行工序間誤差傳遞的研究并建立半?yún)?shù)模型。為方便研究軸承內(nèi)圈加工過程中各工序誤差對產(chǎn)品質(zhì)量的影響，將其加工過程表示為如圖1所示。

圖1 軸承套圈多工序加工過程示意圖

圖1中：xi-1是工序i的輸入誤差，xi是工序i的輸出誤差，si是工序i的系統(tǒng)誤差，di是工序i的隨機(jī)誤差。在具有N個工序的軸承套圈加工過程中，將加工過程看作一維離散時變系統(tǒng)，工序i-1的輸出尺寸xi-1是工序i的輸入尺寸，工序i的輸出尺寸為xi。設(shè)xi-1和xi之間的關(guān)系為：

xi=f(xi-1)+si+di，

(1)

xi=f(xi-1)+si(t)+di。

(2)

若以xi-1,0表示尺寸xi-1的基本尺寸，在xi-1-xi-1,0處對f(xi-1)泰勒展開，得：

(3)

f(xi-1)=f(xi-1,0)+f′(xi-1,0)(xi-1,0-xi-1)。

(4)

將式(4)代入式(3)，得到：

xi-f(xi-1,0)=f′(xi-1,0)(xi-1-xi-1,0)+si(t)+di。

(5)

但是實際加工過程中，為了保證所有產(chǎn)品的最大合格率即零件的最終尺寸在允許的公差范圍內(nèi)的概率最大，最后一次的切削加工并未按照圖紙中的尺寸進(jìn)行，而是按照圖紙中的中差尺寸加工，若以xi,0表示工序i的設(shè)定工藝尺寸，則f(xi-1,0)≠xi,0。故假設(shè)：

(6)

將式(6)代入式(5)，得到：

(7)

令yi=xi-xi,0,βi=f′(xi-1,0)，則式(7)可化簡為：

(8)

式(8)為單個特征尺寸的多工序誤差模型。其中,βi(i=1,2，…，N)表示輸入誤差對輸出誤差的傳遞關(guān)系。

yi=βiyi-1+si(t)+di。

(9)

若在第i道工序上需要統(tǒng)計n個加工零件的m個重要特征尺寸，由于一個零件對應(yīng)一個系統(tǒng)誤差，因此n個加工零件對應(yīng)有n個系統(tǒng)誤差，傳遞系數(shù)βi在每個特征尺寸上發(fā)生不同變化，共有m個傳遞系數(shù)，由式(9)可得：

yi,j,k=βi,kyi-1,j,k+si(tj)+di,j,

(10)

其中：j=1,2，…，n；k=1,2，…，m。

將式(10)表示為矩陣形式，則為：

(11)

令

S=(si(t1)si(t2) …si(tn))T；

Δ=(di,1di,2…di,n)T，

則可以將式(11)寫為半?yún)?shù)模型：

L=BX+S+Δ。

(12)

2 基于自然樣條補(bǔ)償最小二乘參數(shù)估計

2.1 半?yún)?shù)模型參數(shù)估計

由半?yún)?shù)回歸模型(12)，可得誤差方程式為：

(13)

VTPV=min，

(14)

其中：P為對稱正定方陣，是觀測值L的權(quán)。方程系數(shù)矩陣半正定不可逆，所以方程的解并不是唯一的，修改平差準(zhǔn)則使得方程有且僅有一個解，使用補(bǔ)償最小二乘原則[15]：

(15)

自然樣條函數(shù)半?yún)?shù)估計應(yīng)滿足如下極值條件[18]：

(16)

多個樣條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線，由于其插值結(jié)果的光滑程度最好，所以可由第二項來刻畫s(t)的光滑程度。

由補(bǔ)償最小二乘原理的補(bǔ)償項可以表示為：

(17)

其中：S=(s(t1),…,s(tn))T；R=QT-1QT，Q與T是n×(n-2)與(n-2)×(n-2)維帶狀矩陣。令hi=ti+1-ti,i=1,2, …,n-1，則Q矩陣元素qij滿足：

qij=0,|i-j|≥2。

T矩陣元素tij滿足：

tii=(hi+hi+1)/3,i=1,…,n-2；

qi,j+1=hi+1/6,i=1,…,n-3；

qi,j-1=hi/6,i=2,…,n-2；

tij=0,|i-j|≥2。

根據(jù)補(bǔ)償最小二乘原理，由式(15)按照求條件極值的拉格朗日(Lagrange)函數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(18)

K=PV；

(19)

(20)

BTK=0。

(21)

將上述公式中的式(19)代入式(21)，并兼顧式(13)可以得到：

(22)

將式(19)代入式(20)，考慮式(13)，得到：

(23)

由式(22)和式(23)得到法方程：

(24)

法方程滿足rank(QTB)=t時，法方程的系數(shù)矩陣是可逆的，此時所求解的方程有唯一解。構(gòu)造二次型：

(25)

顯然，二次型f≥0，已知矩陣P和T-1是正定矩陣，所以當(dāng)且僅當(dāng)

(26)

(27)

根據(jù)式(24)可計算得到迭代求解方程如下：

(28)

(29)

將式(28)代入式(29)并令

M=(P+αR)-1P，

(30)

則有：

(31)

其中：I是n×n階單位矩陣。式(31)被稱之為廣義最小二乘方程，其解如下：

(32)

(33)

其中：H(α)是帽子矩陣，即：

H(α)=M+(I-M)B(BTP(I-M)B)-1BTP(I-M)。

(34)

2.2 光滑參數(shù)α的確定

在半?yún)?shù)模型中，所求解參數(shù)的擬合程度與光滑程度之間的平衡受到α取值的影響，在選取合適的R后，α的取值對計算結(jié)果有較大影響。為了計算方便，通常采用廣義交叉核實函數(shù)計算[19-20]：

(35)

3 試驗驗證

為檢驗半?yún)?shù)模型是否適用于軸承套圈加工過程中的誤差分析，試驗選取某工廠某型號軸承內(nèi)圈加工數(shù)據(jù)為研究對象，建立了半?yún)?shù)模型，通過計算殘差、均方誤差和平均絕對誤差檢驗半?yún)?shù)模型。同時，建立參數(shù)模型并將半?yún)?shù)模型與參數(shù)模型進(jìn)行對比，驗證半?yún)?shù)模型的預(yù)測效果。

3.1 試驗數(shù)據(jù)及模型求解

按照加工順序在生產(chǎn)線上選取140個軸承內(nèi)圈，并按1～140的序號編號，分別測量溝道的粗磨、精磨誤差作為本次試驗數(shù)據(jù)，所測量的粗磨誤差和精磨誤差原始數(shù)據(jù)分別如圖2和圖3所示。

圖2 粗磨誤差原始數(shù)據(jù) 圖3 精磨誤差原始數(shù)據(jù)

選取序號為1～100的數(shù)據(jù)作為樣本點，建立半?yún)?shù)模型L=BX+S+Δ和參數(shù)模型L=BX+Δ。由樣本點100組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述參數(shù)估計方法求解兩模型中的參數(shù)。在參數(shù)模型中根據(jù)最小二乘法求解的模型參數(shù)X=0.352 3。在半?yún)?shù)模型中，由廣義交叉核實函數(shù)法計算并選取最優(yōu)點α=0.3，由式(32)計算可得模型參數(shù)X=0.047 4，由自然樣條最小二乘法估計粗磨工序至精磨工序的系統(tǒng)誤差S。

3.2 模型檢驗及分析

選取序號101～140的40組數(shù)據(jù)作為檢驗點，由上述所求解的半?yún)?shù)模型和參數(shù)模型分別計算檢驗點的預(yù)估值，并將預(yù)估值與實測值進(jìn)行比較計算殘差。參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型的樣本點殘差對比和檢驗點殘差對比分別如圖4和圖5所示。

圖4 樣本點殘差對比 圖5 檢驗點殘差對比

由圖4和圖5可知：相對于參數(shù)模型，半?yún)?shù)模型的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)寬度較窄，說明半?yún)?shù)的擬合精度更高。

根據(jù)預(yù)測值的殘差，分別計算參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型的均方誤差和平均絕對誤差，其結(jié)果如表1所示。

表1 擬合誤差對比

由表1可知：與參數(shù)模型相比，半?yún)?shù)模型的均方誤差從49.78降低到3.18，平均絕對誤差從6.60降低到1.31，均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參數(shù)模型，因此半?yún)?shù)模型的擬合效果更好。

4 結(jié)論

針對軸承內(nèi)圈制造過程中的誤差分析建立半?yún)?shù)模型，可以求解出體現(xiàn)工序間誤差影響關(guān)系的傳遞系數(shù)X，傳遞系數(shù)X表明了上一道工序的加工誤差對本道工序加工誤差的影響程度。將半?yún)?shù)模型與參數(shù)模型相比，半?yún)?shù)模型的殘差、均方誤差和平均絕對誤差均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參數(shù)模型，因此半?yún)?shù)模型精度更高，擬合效果更好。