徐海燕

【摘 要】猜想所指的是根據(jù)既有的信息對(duì)當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法進(jìn)行推理的重要手段，優(yōu)秀的猜想能力往往代表著優(yōu)秀的推理意識(shí)，合理開展猜想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的信息搜集能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力很有好處。本文就初中生數(shù)學(xué)推理能力及其培養(yǎng)策略進(jìn)行探析。

【關(guān)鍵詞】猜想;初中;數(shù)學(xué)推理能力;培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)推理能力是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)問題、有關(guān)教學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析的重要數(shù)學(xué)技能。在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，數(shù)學(xué)推理能力是幫助學(xué)生整合既有數(shù)學(xué)概念、主動(dòng)探究新的數(shù)學(xué)知識(shí)的基本素質(zhì)。圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力開展教學(xué)工作，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、主動(dòng)思考的良好意識(shí)，能夠在一定程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使其發(fā)現(xiàn)未出現(xiàn)的數(shù)學(xué)盲點(diǎn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

一、圍繞生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜想，大膽推理

復(fù)雜多變的生活經(jīng)驗(yàn)為教育活動(dòng)的開展提供了新的支持。在人類的教育史上，人類作為個(gè)體總是先參與生活，再接受教育，這種“被動(dòng)接受教育”的成長(zhǎng)模式拓寬了個(gè)體的受教育范圍，使得個(gè)體所掌握的有關(guān)知識(shí)、結(jié)論開始向著普遍化、真實(shí)化、可用化的方向發(fā)展。著名教育學(xué)家與哲學(xué)家路德認(rèn)為，“沒有任何人能夠僅依賴教育成長(zhǎng)，生活才是對(duì)其行為及智慧進(jìn)行約束的法寶”，由此，路德提出了教育的兩大職能：分析存在于真實(shí)世界中的科學(xué)，培養(yǎng)個(gè)體的文化和道德。對(duì)于初中生來說，多年的生活經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)使得其對(duì)于當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)生活、教育問題形成了一定的了解，在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，學(xué)生在生活中所積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教師的想象。但由于大部分?jǐn)?shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)都以“問題”的形式表現(xiàn)出來，學(xué)生嚴(yán)重缺乏表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)、分析數(shù)學(xué)理論的機(jī)會(huì)。教師可鼓勵(lì)學(xué)生圍繞生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜想，以此來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

以滬科版七年級(jí)上冊(cè)教材《正數(shù)和負(fù)數(shù)》的教學(xué)為例，對(duì)于不同形式的數(shù)字，學(xué)生已經(jīng)在日常生活中積累了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，但由于對(duì)負(fù)數(shù)缺乏關(guān)注，學(xué)生很難對(duì)負(fù)數(shù)的特點(diǎn)、概念進(jìn)行形容。教師可結(jié)合現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：生活中有哪些不同形式的數(shù)？在思考之后，學(xué)生指出，購(gòu)物小票上的數(shù)與溫度計(jì)上的數(shù)是不同的，因?yàn)橘?gòu)物小票上的數(shù)沒有“-”，但溫度計(jì)上的數(shù)有“-”，由于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏理解，學(xué)生并不能對(duì)帶“-”的數(shù)的特點(diǎn)、定義進(jìn)行分析。教師可繼續(xù)進(jìn)行追問：在生活中的哪些方面還用到帶“-”的數(shù)？隨著舉例的不斷增加，學(xué)生意識(shí)到，帶“-”的數(shù)也是數(shù)字的一種形式，并嘗試對(duì)其進(jìn)行命名。部分學(xué)生結(jié)合“-”將其命名為“減數(shù)”，部分學(xué)生則將其定義為“0下數(shù)”。學(xué)生給出的答案是稀奇古怪的，但只要學(xué)生在嘗試進(jìn)行推理，思維處于活躍狀態(tài)，有關(guān)教學(xué)活動(dòng)的價(jià)值便發(fā)揮出來了。

二、圍繞數(shù)學(xué)問題進(jìn)行猜想，小心求證

問題是個(gè)體開展推理活動(dòng)的第一動(dòng)機(jī)，也是導(dǎo)致個(gè)體發(fā)起推理工作的重要原因。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的思維與智慧正在高速發(fā)展，當(dāng)教師給出不同的數(shù)學(xué)概念時(shí)，新的數(shù)學(xué)概念與既有的數(shù)學(xué)定義相互交織，學(xué)生開始嘗試在數(shù)學(xué)課程中對(duì)有關(guān)理論知識(shí)進(jìn)行分析，進(jìn)而在轉(zhuǎn)化知識(shí)的過程中提出問題。針對(duì)這一特點(diǎn)，教師必須積極發(fā)揮數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)作用，幫助學(xué)生對(duì)問題發(fā)起猜想，以此來鍛煉學(xué)生的推理能力。

以滬科版七年級(jí)教材《一元一次方程組及其解法》教學(xué)為例，教師可直接圍繞有關(guān)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)給出問題，結(jié)合具體的思考對(duì)象幫助學(xué)生分析問題，為學(xué)生提供表達(dá)數(shù)學(xué)智慧的機(jī)會(huì)。以簡(jiǎn)單的一元一次方程問題x+8=13的計(jì)算為例，在了解到未知數(shù)方程的計(jì)算原理之后，學(xué)生會(huì)利用語(yǔ)言對(duì)問題進(jìn)行推理：有一個(gè)數(shù)與8相加等于13，求這個(gè)數(shù)的值。在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生結(jié)合基本加減法就能對(duì)x進(jìn)行計(jì)算。部分學(xué)生的思想可能會(huì)“走彎路”，以方程2x-7=4x+1的教學(xué)為例，在進(jìn)行解題的過程中，兩邊的未知數(shù)可能會(huì)讓學(xué)生陷入兩難境地，但在對(duì)問題進(jìn)行分析時(shí)，學(xué)生能夠結(jié)合自己的推理導(dǎo)入一些更為高效的解題方法：部分學(xué)生認(rèn)為，方程兩邊都帶有數(shù)字，當(dāng)方程兩邊的數(shù)字同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)時(shí)，方程的大小是不變的，由此，其通過方程兩邊的“-1”化簡(jiǎn)方程。部分學(xué)生則指出，既然方程兩邊的數(shù)減去同一個(gè)數(shù)之后方程的計(jì)算要求不變，那么方程中的未知數(shù)減去同一個(gè)未知數(shù)，其最終的運(yùn)算結(jié)果也不會(huì)變。并對(duì)方程兩邊“-2x”。在運(yùn)算的過程中，學(xué)生并不能確定自己的運(yùn)算方法是否正確，但其確實(shí)依靠運(yùn)算活動(dòng)對(duì)有關(guān)問題作出了猜想，并在推理的過程中給出了答案。從教學(xué)要求來看，學(xué)生的解題活動(dòng)偏向于“誤打誤撞”，所得出的答案可能具有一定的偶然性，但正是這種“誤打誤撞”在引導(dǎo)著學(xué)生向正確的解題思路靠攏。

三、結(jié)合抽象思維進(jìn)行猜想，延伸范圍

歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)教育還是一個(gè)對(duì)學(xué)生的思維意識(shí)與活動(dòng)能力進(jìn)行訓(xùn)練的過程。在圍繞學(xué)生的推理能力開展教學(xué)工作的過程中，教師不能僅強(qiáng)調(diào)客觀載體在教學(xué)環(huán)節(jié)的應(yīng)用，更要針對(duì)學(xué)生的抽象思維發(fā)起教育工作。引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)抽象思維、抽象問題發(fā)起猜想，在不同的教學(xué)環(huán)境內(nèi)重新梳理并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠在一定程度上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，完善其推理能力。在嘗試培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維的過程中，教師可改變教學(xué)模式，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行提問，將自己的抽象思維表現(xiàn)出來，結(jié)合教學(xué)知識(shí)對(duì)有關(guān)問題、結(jié)論發(fā)起猜想，進(jìn)而推理正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

以滬科版教材《分式方程》的教學(xué)為例，在學(xué)習(xí)了分式的有關(guān)知識(shí)之后，教師可向?qū)W生給出“分式方程”這一概念，要求學(xué)生主動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，思考“分式方程”的特點(diǎn)及運(yùn)算方法，結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)的整式方程的有關(guān)知識(shí)，學(xué)生意識(shí)到，分式方程也是方程的一種形式，但其組成元素與整式方程存在一定的差別。部分學(xué)生則會(huì)對(duì)分式方程的運(yùn)算方法進(jìn)行提問，此時(shí)，教師可及時(shí)要求學(xué)生開展猜想互動(dòng)，對(duì)分式方程的運(yùn)算技巧與解題方法進(jìn)行推理。在這一過程中，一些學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是分式到整式的轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生則強(qiáng)調(diào)消元、移項(xiàng)。學(xué)生的解題思路存在著一定的局限性，在解答分?jǐn)?shù)方程問題的過程中，大部分學(xué)生并不能直接給出答案。教師可要求學(xué)生對(duì)方程的概念、解答方法進(jìn)行深入分析，從多個(gè)角度理解并歸納方程知識(shí)，以此來提升學(xué)生的解題能力。

四、配合數(shù)學(xué)互動(dòng)進(jìn)行猜想，交流智慧

數(shù)學(xué)課堂的建設(shè)離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)的輔導(dǎo)，在學(xué)生發(fā)起互動(dòng)的過程中，整體協(xié)調(diào)的教學(xué)環(huán)境被分裂開來，學(xué)生得以作為獨(dú)立的個(gè)體在教學(xué)活動(dòng)中表達(dá)意見。部分教師認(rèn)為，學(xué)生的獨(dú)立表達(dá)只會(huì)對(duì)當(dāng)前的教學(xué)活動(dòng)產(chǎn)生秩序上的影響，進(jìn)而阻礙正常的教學(xué)進(jìn)度。但對(duì)于學(xué)生來說，表達(dá)和積累同樣重要。在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過程中，教師可結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生開展互動(dòng)，依靠學(xué)生的交流表達(dá)為其他個(gè)體提供發(fā)展推理能力的新思路。

以滬科版八年級(jí)下冊(cè)教材《一元二次方程的解法》的教學(xué)為例，在學(xué)習(xí)了方程的有關(guān)知識(shí)之后，學(xué)生已經(jīng)能夠利用不同的方法對(duì)方程問題進(jìn)行解答，如試數(shù)法、消元法等，但在這一過程中，部分學(xué)生僅求出了一元二次方程的一個(gè)解，其忽視了正數(shù)負(fù)數(shù)平方之后數(shù)值相等的特點(diǎn)。在發(fā)現(xiàn)問題之后，教師不應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行指正，而是應(yīng)該將數(shù)學(xué)計(jì)算問題提出來，鼓勵(lì)學(xué)生在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行討論。如x2+4=8，x=2，這一答案是否正確？在回憶了“負(fù)負(fù)得正”的基本運(yùn)算法則之后，學(xué)生會(huì)對(duì)這一答案進(jìn)行反駁：負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，該方程遺漏了負(fù)數(shù)的解。在分析問題的過程中，學(xué)生作為獨(dú)立的個(gè)體對(duì)問題提出了質(zhì)疑。教師可提出新的互動(dòng)問題：當(dāng)一元二次方程的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，如x2+4-3x=1，應(yīng)該如何對(duì)其進(jìn)行求解？此時(shí)，試數(shù)明顯會(huì)加大學(xué)生的運(yùn)算量，在思考之后，學(xué)生并不能得出正確的計(jì)算方法。教師可對(duì)“直接開平方法”進(jìn)行講解，圍繞學(xué)生在互動(dòng)中所遇到的難題發(fā)起教學(xué)互動(dòng)。依靠全新的教學(xué)機(jī)制，學(xué)生能夠在互動(dòng)的過程中分享數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在他人的結(jié)論中獲得新的推理靈感。

五、針對(duì)學(xué)習(xí)問題進(jìn)行猜想，反思經(jīng)驗(yàn)

初中生已經(jīng)具備了圍繞數(shù)學(xué)問題獨(dú)立發(fā)展的必要能力，在思考問題的過程中，其會(huì)主動(dòng)在其他學(xué)生處搜集學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，規(guī)劃學(xué)習(xí)計(jì)劃，進(jìn)而逐步提升自身的數(shù)學(xué)推理能力。數(shù)學(xué)教育是一個(gè)個(gè)體與個(gè)體互相影響的過程，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過程中，教師必須著力培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)步意識(shí)與競(jìng)爭(zhēng)精神，建立共同成長(zhǎng)的良好環(huán)境，促使學(xué)生的推理能力全面發(fā)展。在教學(xué)環(huán)節(jié)，教師可嘗試圍繞學(xué)生已經(jīng)表現(xiàn)出來的思維短板問題、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力問題開展推理互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)新的推理方法，提高學(xué)生的推理水平。

以滬科版九年級(jí)教材《直線與圓的位置關(guān)系》的教學(xué)為例，在開展教學(xué)工作的過程中，教師可要求學(xué)生獨(dú)立探究直線與圓的位置關(guān)系，并將推理結(jié)論在班級(jí)內(nèi)分享出來。部分學(xué)生指出，直線與圓存在著等分、不等分的位置關(guān)系，當(dāng)直線與對(duì)稱軸重合時(shí)，直線等分圓，反之，直線與圓不等分。部分學(xué)生提出，根據(jù)直線在圓外、在圓內(nèi)、在圓上的位置關(guān)系，可以對(duì)直線的名稱、特點(diǎn)進(jìn)行定義。學(xué)生給出的推理思路是完全不同的。在教師給出正確的定義之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思維盲點(diǎn)、思考短板問題進(jìn)行分析，以此來幫助學(xué)生確定推理的過程與步驟。

總之，要在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教師必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)計(jì)劃、學(xué)習(xí)方法進(jìn)行規(guī)劃，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活、抽象思維、客觀問題提出不同的思考模式，在猜想的過程中找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，不斷猜想，不斷推理，逐步解題。

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