李 響，袁軍堂，汪振華

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

幾何誤差在整個(gè)機(jī)床生命周期中都影響著機(jī)床精度。研究表明，幾何誤差和熱誤差占機(jī)床總誤差的65%[1]。因此，有必要建立可靠的誤差模型用于量化各零部件誤差與機(jī)床誤差的影響機(jī)理，進(jìn)而辨識(shí)關(guān)鍵誤差項(xiàng)用于預(yù)防和補(bǔ)償。幾十年來，大量研究提出了三角函數(shù)模型[2]、Denavit-Hartenberg模型[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[4]、變分運(yùn)動(dòng)矩陣[5]、多體系統(tǒng)理論[6]等機(jī)床誤差建模方法，然而這些建模方法只能分析各軸運(yùn)動(dòng)誤差和整機(jī)加工誤差的傳遞關(guān)系，無法研究零部件的制造和裝配誤差對(duì)單軸裝配精度的影響機(jī)理。并且現(xiàn)階段的機(jī)床裝配時(shí)多依靠工人經(jīng)驗(yàn)試湊，公差設(shè)計(jì)多采用一維/二維尺寸鏈計(jì)算法，難以有效表達(dá)幾何要素的形位公差特征及其相互間的耦合關(guān)系。因此，采用屬于三維公差分析的雅可比旋量模型定量描述各幾何要素表達(dá)和傳遞幾何要素在公差域的變動(dòng)，該模型結(jié)合了適合公差表達(dá)的旋量模型和適合公差傳遞的雅克比矩陣，已應(yīng)用于齒輪泵[7]和發(fā)動(dòng)機(jī)[8]等裝配過程，而對(duì)位置可變的機(jī)床雙驅(qū)Z軸進(jìn)給系統(tǒng)的裝配過程研究較少，也沒有考慮雙絲杠誤差的制約關(guān)系。

對(duì)誤差模型進(jìn)行敏感性分析能夠量化各誤差項(xiàng)對(duì)雙驅(qū)Z軸裝配精度的影響權(quán)重。目前的敏感性分析包括基于一階偏導(dǎo)數(shù)形式[9-10]的局部敏感性分析和包含元效應(yīng)方法[11]、基于方差方法[12]的全局敏感性分析。其中，基于方差的Sobol法[13-14]能夠計(jì)算任意維數(shù)輸入?yún)?shù)的敏感性系數(shù)及參數(shù)間的耦合效應(yīng)的影響，同時(shí)在處理非線性等復(fù)雜模型方面具有較大的優(yōu)越性，因此非常適用于機(jī)床幾何誤差敏感性分析并得到廣泛應(yīng)用[12,15]。然而這些研究只是鑒別出各軸運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)整機(jī)精度的敏感性系數(shù)，沒有進(jìn)一步分析零部件在零部件制造和裝配過程中對(duì)單軸運(yùn)動(dòng)誤差的影響程度，而且只是根據(jù)加工條件選擇一個(gè)或幾個(gè)關(guān)鍵位置進(jìn)行敏感性分析，沒有對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行研究。

本文將雅可比旋量模型拓展到雙驅(qū)Z軸裝配體的誤差建模，并考慮雙絲杠的耦合作用和運(yùn)動(dòng)條件下的機(jī)床雙驅(qū)Z軸誤差敏感性分析。首先，利用雅可比旋量理論建立誤差模型；其次，根據(jù)裝配流程和幾何誤差的類型和約束條件，調(diào)整雅可比旋量模型以適用于雙驅(qū)Z軸裝配的誤差建模；然后，對(duì)比仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性；最后，采用Sobol方法求解不同位置的局部和全局敏感性系數(shù)，得到關(guān)鍵誤差項(xiàng)。

1 雅可比旋量模型

雅可比旋量模型包含用于描述幾何公差的小位移旋量和用于公差傳遞計(jì)算的雅克比矩陣兩部分。

1.1 小位移旋量

剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移可以用3個(gè)平移分量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量表示，當(dāng)位移值為公差等級(jí)或更小時(shí)，6個(gè)運(yùn)動(dòng)分量構(gòu)成的矢量即為小位移旋量[16](Small Displacement Torsors，SDT)。由于制造誤差和裝配誤差相對(duì)于零件尺寸都足夠小，因此可以用小位移旋量表示。其表達(dá)式為

(1)

式中：v、u、w分別為x、y、z方向的平移誤差，α、β、γ分別為繞x、y、z軸的角度誤差。

構(gòu)成零件幾何特征的點(diǎn)、線、面稱為幾何要素(如圓心、軸線、圓柱面等)。幾何要素有多種公差特征(如平面度、直線度、圓柱度等)，決定小位移旋量的參數(shù)變化范圍。以直線度和平面度為例，在表1中列出線和面幾何要素的小位移旋量形式。其中，同一幾何要素上可能會(huì)有2種或2種以上的組合公差約束，如導(dǎo)軌面的平行度和直線度。此時(shí)要根據(jù)幾何要素和公差類型，將單個(gè)零件上受到多個(gè)公差約束的旋量參數(shù)進(jìn)行合并。

表1 兩種幾何要素的公差要求及其小位移旋量形式

1.2 雅可比矩陣

雅克比矩陣源自于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)，用于傳遞各關(guān)節(jié)的位姿和速度[17]。雅克比矩陣分為2個(gè)部分，分別用于傳遞幾何要素的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。其形式如下：

(2)

(3)

利用雅可比矩陣將各個(gè)幾何要素的公差轉(zhuǎn)換到絕對(duì)坐標(biāo)系中進(jìn)行累加，得到雅可比旋量模型：

(4)

式中：T為對(duì)應(yīng)幾何要素公差的小位移旋量，E為目標(biāo)幾何要素公差的小位移旋量。

1.3 統(tǒng)計(jì)方法

本文基于蒙特卡洛算法，將旋量中各矢量的變動(dòng)和約束方程引入到雅克比旋量模型中，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確可靠的公差分析。算法流程有6個(gè)步驟[18]：

1)建立雅可比旋量模型。根據(jù)裝配流程建立各幾何要素的局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系，建立各要素的雅可比矩陣，根據(jù)公差類型確定各要素的幾何特征的旋量表達(dá)式。

2)確定各旋量參數(shù)的取值范圍。根據(jù)公差要求，建立各要素的旋量參數(shù)的變動(dòng)區(qū)間和約束方程，并將其代入到雅可比旋量模型中。

3)生成隨機(jī)數(shù)。假設(shè)幾何要素的旋量參數(shù)呈正態(tài)分布，根據(jù)第二步的旋量參數(shù)取值范圍和6σ理論，計(jì)算各旋量參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并生成隨機(jī)數(shù)。

4)篩選隨機(jī)數(shù)。利用約束方程篩選第三步生成的隨機(jī)數(shù)，確保參與計(jì)算的隨機(jī)數(shù)都符合公差要求。

5)模型計(jì)算。將符合要求的隨機(jī)數(shù)代入到雅可比旋量模型中進(jìn)行計(jì)算，重復(fù)上述步驟獲取大量數(shù)據(jù)。

6)結(jié)果分析。對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

以上就是雅可比旋量模型的統(tǒng)計(jì)分析過程。通過旋量模型的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，可以定量預(yù)測裝配過程中的誤差變動(dòng)范圍，為公差分配提供參考。

2 基于雅克比旋量模型的Z軸幾何誤差建模

以MCH63臥式加工中心的雙驅(qū)Z軸為例，建立Z軸幾何誤差模型，研究Z軸裝配過程中零部件的制造誤差和裝配誤差對(duì)Z軸進(jìn)給系統(tǒng)幾何誤差的影響機(jī)理。

2.1 裝配流程和誤差辨識(shí)

Z軸的誤差傳遞過程可由圖1所示的裝配流程確定，詳細(xì)尺寸和公差要求列在表2中。從圖1可知，所有零部件安裝在床身上，其中導(dǎo)軌和軸承座安裝于床身上表面。床身作為裝配的基體，本身存在表2所示的制造誤差。

圖1 雙驅(qū)Z軸的裝配流程

表2 Z軸進(jìn)給系統(tǒng)的主要參數(shù)

根據(jù)Z軸裝配過程，可以看到誤差存在“床身-滑塊”和“床身-螺母”2條傳遞路徑，然后通過安裝工作臺(tái)進(jìn)行耦合。因此，將誤差傳遞分成3個(gè)部分——2個(gè)誤差子鏈(導(dǎo)軌-滑塊子鏈和絲杠-螺母子鏈)及其在工作臺(tái)處的耦合。其裝配實(shí)體圖和誤差傳遞路徑如圖2和圖3所示。

圖2 雙驅(qū)Z軸進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.2 導(dǎo)軌-滑塊子鏈的誤差傳遞模型

根據(jù)圖3，該部件存在4個(gè)誤差傳遞鏈，對(duì)應(yīng)4個(gè)滑塊。以滑塊A的誤差傳遞過程為例，其他3個(gè)滑塊的分析過程類似。導(dǎo)軌-滑塊子鏈的誤差源有FB、SGx、SGy、PRx和PRy，具體含義見表2和圖4。圖4(a)中，符號(hào)o、a、b、c分別表示床身的基準(zhǔn)位置、床身上的導(dǎo)軌安裝面、導(dǎo)軌1的安裝面和滑塊A的安裝面，對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為Ja、Jab、Jc。為了計(jì)算方便，局部坐標(biāo)系建立在各幾何要素的中心。根據(jù)各零件的具體尺寸可以建立該子裝配鏈誤差傳遞的雅克比矩陣JA，見式(5)。

(a) 絲杠螺母安裝尺寸標(biāo)注

圖3 雙驅(qū)Z軸的誤差傳遞示意圖

根據(jù)各種公差類型的小位移旋量表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的公差值，可以計(jì)算出幾何要素的誤差變動(dòng)范圍，表3詳細(xì)列出了有關(guān)旋量及其約束。其中，導(dǎo)軌面受直線度和平行度公差的共同約束，而形狀公差的公差帶一般要小于方向公差，且此例中的平行度和直線度的公差帶均為兩平行平面所限定的區(qū)域。所以，滿足直線度的變量區(qū)間也適用于平行度的變量區(qū)間。

表3 導(dǎo)軌滑塊裝配鏈的誤差源約束方程及偏差范圍

將雅可比矩陣J_A和表3中對(duì)應(yīng)的旋量代入公式(4)，可推導(dǎo)出由裝配鏈上的各幾何要素公差表示的滑塊A上工作臺(tái)安裝面的公差要求，見式(6)。同理可得滑塊B、C、D的公差要求。

(5)

(6)

(a)導(dǎo)軌安裝尺寸標(biāo)注

(b)滑塊安裝尺寸標(biāo)注

2.3 絲杠-螺母子鏈的誤差傳遞模型

在Z軸裝配的誤差鏈中，滾珠絲杠部件的誤差傳遞不同于導(dǎo)軌滑塊部件，但依然可以用雅克比旋量理論進(jìn)行誤差子鏈的建模。

根據(jù)圖1的裝配流程，絲杠通過軸端的兩組軸承安裝在床身上，其誤差傳遞路徑如圖5所示。圖5中，代號(hào)0、1、2、3分別表示床身的基準(zhǔn)位置、床身上的軸承座安裝面、絲杠1的軸承安裝面和螺母1的工作臺(tái)安裝面，對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為J1、J12、J3。根據(jù)各零件尺寸可以建立該子裝配鏈的誤差傳遞的雅克比矩陣JN1，見式(7)。

(b) 軸承安裝尺寸標(biāo)注

裝配過程誤差包括床身、軸承、絲杠、螺母的誤差：床身的制造誤差對(duì)絲杠有一定影響；由于支撐軸承的同軸度不可能完全一致，絲桿在安裝過程中存在圖6中的X向和Y向的直線度誤差；絲杠的導(dǎo)程精度也是影響工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度的重要原因，一般選擇代表運(yùn)行距離誤差EP進(jìn)行研究，如圖7所示。

圖7 絲杠導(dǎo)程誤差的累積效應(yīng)

圖6 絲杠安裝的直線度要求

根據(jù)上述誤差的定義和取值，可以確定各幾何要素的小位移旋量，見式(8)。將雅可比矩陣JN1和式(8)中對(duì)應(yīng)的旋量代入公式(4)，可得到螺母1的工作臺(tái)安裝面的公差要求，該誤差子鏈的雅可比旋量模型為式(9)。

(7)

(8)

(9)

2.4 所有誤差子鏈的誤差耦合

工作臺(tái)通過4個(gè)滑塊和2個(gè)螺母與導(dǎo)軌和絲杠連接。所有誤差子鏈通過安裝工作臺(tái)進(jìn)行耦合，則工作臺(tái)各個(gè)位置的誤差可以用6個(gè)連接支點(diǎn)的變動(dòng)表示，如圖8所示。

圖8 誤差子鏈的誤差耦合

以4個(gè)滑塊的對(duì)稱中心為工作臺(tái)的參考點(diǎn)?；谇懊娴姆治觯M(jìn)給方向上導(dǎo)軌滑塊無約束，絲杠的螺距誤差為主要影響因素，需與滑塊誤差分別取均值相加，工作臺(tái)的平移誤差可以表示為

(10)

工作臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差可以由滑塊和螺母的相互位置關(guān)系求出:

(11)

至此，最終裝配功能需求與絲杠螺母副和導(dǎo)軌滑塊副的幾何要素要求相關(guān)聯(lián)。

3 幾何誤差模型的有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證雅可比旋量模型的準(zhǔn)確性，在此模型的基礎(chǔ)上，通過仿真得到最終誤差的變化范圍。同時(shí)，根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 20957，需要在機(jī)床驗(yàn)收前測量軸向的定位誤差。因此，選擇Z軸定位誤差用于比較基于雅克比旋量的幾何誤差模型的仿真數(shù)據(jù)和實(shí)際測量數(shù)據(jù)。此處以南通機(jī)床廠生產(chǎn)的10臺(tái)同類型臥式加工中心的定位誤差為參照。

Z軸定位誤差的實(shí)測數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)極值結(jié)果列于圖9。從圖中可以看到：所有實(shí)測誤差數(shù)據(jù)均在仿真數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)，且誤差變動(dòng)趨勢相同，模型預(yù)測較準(zhǔn)確；在坐標(biāo)值較小時(shí)，絲杠的螺距誤差較小，角度誤差對(duì)工作定位誤差的影響較大，而仿真與實(shí)測數(shù)據(jù)相差較大，說明螺距誤差為影響定位誤差的主要因素。測量結(jié)果表明雅可比旋量法用于誤差分析的實(shí)用性，該模型也可以定量地描述機(jī)床零部件誤差在裝配過程中的傳遞方式。

圖9 定位誤差的仿真與測量結(jié)果對(duì)比

4 Z軸部裝幾何誤差敏感性分析

機(jī)床工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度受到零部件幾何誤差耦合而成的空間誤差的影響，每一項(xiàng)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)精度影響程度不同。為了確定各個(gè)誤差元素對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響程度，采用Sobol方法進(jìn)行幾何誤差敏感性分析。采用 Sobol 法進(jìn)行幾何誤差敏感性分析的基本流程為：

1)構(gòu)造一個(gè)與實(shí)際問題或系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)敏感性系數(shù)計(jì)算的必要基礎(chǔ)；

2)明確各輸入變量的定義域區(qū)間，可通過幾何誤差測量及合理縮放得到；

3)對(duì)輸入變量的定義域空間進(jìn)行采樣，并生成相應(yīng)的采樣矩陣；

4)利用 MATLAB 軟件進(jìn)行仿真分析及計(jì)算，便可求得敏感性系數(shù)。

4.1 基于誤差模型的公式推導(dǎo)

首先，利用雅可比旋量模型，最終裝配體的6個(gè)誤差分量可以用各零部件幾何要素的公差要求進(jìn)行表示。具體公式如下:

(12)

(13)

式中各參數(shù)含義見表2，其中螺距誤差變量Ep的變動(dòng)范圍定為[-0.02 mm,0.02 mm]，其他變量的變動(dòng)范圍為[-0.01 mm,0.01 mm]。則進(jìn)給系統(tǒng)綜合誤差的標(biāo)量形式為

(14)

4.2 蒙特卡洛估算

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

4.3 敏感性分析結(jié)果討論

由進(jìn)給系統(tǒng)的配置參數(shù)可知，Z軸的最大有效行程為650 mm，以50 mm為間隔選取14個(gè)位置進(jìn)行敏感性分析。各位置的誤差項(xiàng)對(duì)綜合誤差的敏感性系數(shù)如圖10所示，圖中實(shí)線空心點(diǎn)代表局部敏感性系數(shù)，虛線實(shí)心點(diǎn)代表全局敏感性系數(shù)。

圖10 Z軸變化時(shí)各誤差項(xiàng)對(duì)綜合誤差的局部和全局敏感性系數(shù)

從圖中可以看出：

1)由于絲杠導(dǎo)程誤差的累積效應(yīng)，代表運(yùn)行距離誤差Ep的局部和全局敏感性系數(shù)隨著運(yùn)行距離的增加而同步增大，并在300 mm之后成為主要誤差源。說明絲杠導(dǎo)程誤差對(duì)工作臺(tái)綜合誤差的影響是動(dòng)態(tài)的，需要根據(jù)加工位置進(jìn)行補(bǔ)償。

2)床身平面度FB的敏感性系數(shù)在原點(diǎn)處最大且隨著位置的增加而減小，其中全局敏感性系數(shù)的降幅遠(yuǎn)大于局部敏感性系數(shù)。說明在坐標(biāo)原點(diǎn)即安裝定位基準(zhǔn)附近，平面度對(duì)綜合誤差的影響較大，由于床身是其他部件的安裝基座，所以由平面度導(dǎo)致的誤差項(xiàng)間的耦合效應(yīng)較大。

3)導(dǎo)軌Y向的直線度SGy和運(yùn)行平行度PRy的敏感性系數(shù)不隨位置變化，其中全局敏感性系數(shù)遠(yuǎn)大于局部敏感性系數(shù)。說明單個(gè)導(dǎo)軌對(duì)工作臺(tái)綜合誤差的影響程度較小，但安裝到工作臺(tái)后，導(dǎo)軌的Y向誤差通過誤差項(xiàng)間的耦合效應(yīng)對(duì)工作臺(tái)綜合誤差產(chǎn)生了較大影響。

4)其他誤差項(xiàng)的敏感性系數(shù)基本都小于0.1，隨著位置的增加而減小并在300 mm之后趨近于0，只有絲杠Y向的直線度的敏感性系數(shù)有小幅度增加。這是由于雙驅(qū)進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，導(dǎo)軌和絲杠在X方向上的誤差傳遞到工作臺(tái)時(shí)會(huì)有一定程度的抵消，從而降低X向誤差項(xiàng)的敏感性系數(shù)。

5 結(jié) 論

1)在明確雙驅(qū)進(jìn)給系統(tǒng)裝配流程的基礎(chǔ)上，將雅可比旋量模型應(yīng)用于Z軸裝配的誤差傳遞過程。合并平行度和直線度的公差帶區(qū)域，確定多種公差約束下的旋量表達(dá)式及其變量范圍。對(duì)比基于雅可比旋量模型的仿真結(jié)果與相似條件下的實(shí)測數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了誤差模型的準(zhǔn)確性和適用性。

2)根據(jù)誤差模型，采用Sobol方法進(jìn)行了進(jìn)給系統(tǒng)的幾何誤差敏感性分析，量化各誤差項(xiàng)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差的影響權(quán)重，確定了Ep、FB、SGy、PRy是對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)空間范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)精度有重要影響的幾何誤差項(xiàng)。其中Ep、FB的敏感性系數(shù)在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)發(fā)生變化，需要根據(jù)實(shí)際加工位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)誤差防止和誤差補(bǔ)償。

3)幾何誤差敏感性分析不但能夠?yàn)檫M(jìn)給系統(tǒng)在精密設(shè)計(jì)、制造、裝配調(diào)試過程中的幾何誤差指標(biāo)分配和幾何誤差精度優(yōu)化提供理論依據(jù)，而且能夠在誤差補(bǔ)償階段明確誤差補(bǔ)償順序的優(yōu)先權(quán)。根據(jù)敏感性分析結(jié)果對(duì)重要敏感誤差項(xiàng)進(jìn)行有針對(duì)性的補(bǔ)償和修正可快速地降低重要敏感誤差項(xiàng)對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響，可有效地提高進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度。