何雪晴，韋煜明

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541000）

1 引言及預(yù)備知識

文獻(xiàn)[1]和[2]研究出的傳染病倉室模型和閾值理論，是傳染病動力學(xué)發(fā)展的良好開端。于是，許多研究者們紛紛建立了大量的流行病模型，如SIS、SIRS、SIER和SIQR等。[3-6]因?yàn)榘l(fā)病率函數(shù)對環(huán)境波動具有一定的影響，所以為了合理描述疾病的流行動態(tài)，文獻(xiàn)[5]中就提出了最為典型的具有飽和發(fā)生率的SIRS傳染病模型

然而它沒有考慮外界環(huán)境的隨機(jī)效應(yīng)，因此如果設(shè)疾病的接觸率β能在不同環(huán)境狀態(tài)下隨機(jī)切換，那么模型（1）就可以建立具有Markov切換的SIRS傳染病模型，類似于文獻(xiàn)[6]。此外，發(fā)現(xiàn)由感染者或易感者的相互作用，疾病發(fā)生率的非線性形式更符合實(shí)際，而在許多傳染病模型中，部分病毒存活的時間短，所以在短時間內(nèi)將疾病的接觸率β隨機(jī)擾動將更具有現(xiàn)實(shí)意義。因此，本文將研究具有感染者和易感者相互作用的非線性發(fā)生率的傳染病模型，它的接觸率β不僅可以在不同環(huán)境狀態(tài)之間隨機(jī)切換，而且還可以在短時間內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)擾動。

下面假設(shè)在連續(xù)時間Markov鏈r(t),t＞0的任意相鄰兩次跳躍之間，接觸率β也會受到短時間內(nèi)的Gauss白噪聲擾動，如果將系統(tǒng)外部環(huán)境條件分為E種不同狀態(tài)，記為Μ={1,2,…,E}，并且假設(shè)不同環(huán)境狀態(tài)之間的切換與系統(tǒng)的狀態(tài)相互獨(dú)立，每個環(huán)境狀態(tài)的停留時間服從指數(shù)分布，則在每一個環(huán)境狀態(tài)e∈Μ下，令β=βe+σeξ(t)，ξ(t)表示均值為0、方差為1的Gauss白噪聲，正常數(shù)σe是白噪聲在環(huán)境狀態(tài)e下的波動強(qiáng)度，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知ξ(t)dt=dB(t)，B(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動。由此，我們建立了一個具有非線性發(fā)生率和Markov切換的隨機(jī)SIRS傳染病模型

其中，S(t),I(t),R(t)分別代表t時刻的易感者人數(shù)、染病者人數(shù)和康復(fù)者人數(shù)。Λ是單位時間內(nèi)的人口輸入常數(shù)；μ是自然死亡率；λ是恢復(fù)者的免疫喪失率；α是因病死亡率；δ是染病者的恢復(fù)率。對于函數(shù)g(I(t))，我們做如下假設(shè)

(2)g(I(t))在R+上滿足Lipschitz條件，并且對任意的I(t)＞0，都有0＜g(I(t))≤g"(0)I(t)。

2 全局正解的存在唯一性及有界性

定理1對任意給定的初始值(Z0,r(0))∈R+3×Μ，模型（2）在t≥0時，存在唯一的全局解Z(t)=(S(t),I(t),R(t))∈R+3，a.s.。

證明：由模型（2）的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件知，對任意給定的初始值(Z0,r(0))∈R+3×Μ，當(dāng)t∈[0,τe)時，模型（2）存在唯一的局部解(Z(t),r(t))，其中τe表示爆炸時間。要證隨機(jī)模型（2）存在唯一的全局解，只需證τe=∞，a.s.。

3 疾病的滅絕性

在討論疾病的滅絕性之前，我們先給出一個引理，以便于對疾病滅絕所需要的充分條件進(jìn)行證明。

引理3設(shè)Z(t)=(S(t),I(t),R(t),r(t))是模型（2）的解，初值為(S(0),I(0),R(0),r(0))∈Γ，其中Γ={(S(t),I(t),R(t),r(t))∈R+3×Μ:S(t)+I(t)+R(t)≤1}是一個正不變集，則

對（7）式兩端從0到t積分并同時除以t，有

4 疾病的持久性

5 數(shù)值模擬

根據(jù)以上討論，下面將利用文獻(xiàn)[11]中的方法對模型（2）進(jìn)行數(shù)值模擬。

設(shè)連續(xù)時間Markov鏈{r(t),t≥0}只有兩個環(huán)境狀態(tài)Μ={1,2}，如果固定環(huán)境狀態(tài)e∈Μ，則模型（2）的

圖1 疾病在狀態(tài)1的情況下幾乎必然滅絕

圖2 疾病在狀態(tài)2的情況下保持平均持久性

若取π=(π1,π2)=(0.5,0.5)，則R*≈1.3＞1，S(t),I(t),R(t)在狀態(tài)1和狀態(tài)2之間隨時間t的變化如圖3所示，疾病隨機(jī)持久；若取π=(π1,π2)=(0.2,0.8)，則R*≈0.9＜1，S(t),I(t),R(t)在狀態(tài)1和狀態(tài)2之間隨時間t的變化如圖4所示，疾病隨機(jī)滅絕。

圖3 疾病在狀態(tài)1和狀態(tài)2之間隨機(jī)持久

圖4 疾病在狀態(tài)2和狀態(tài)2之間隨機(jī)滅絕