王大志，樊 越

（1.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2.成都大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 610106）

引言

快速反射鏡是一種具有高響應(yīng)速度的可動反射鏡，它通常與主跟蹤架結(jié)合構(gòu)成大動態(tài)范圍、高精度的跟蹤系統(tǒng)，是復(fù)合軸光電跟蹤設(shè)備的重要部件。撓性支承是快速反射鏡的關(guān)鍵部件，主要用于負(fù)載反射鏡，并約束其運動，以獲得工作所需自由度。撓性支承具有零間隙、免潤滑以及響應(yīng)速度快等優(yōu)點，近年來在快速反射鏡中得到逐步應(yīng)用[1-5]。

目前，快速反射鏡的撓性支承具有多種結(jié)構(gòu)形式，但缺乏相關(guān)對比分析，對其運動學(xué)性能有待進(jìn)一步認(rèn)識，并且現(xiàn)有設(shè)計主要依賴工程師的直覺和經(jīng)驗，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，容易導(dǎo)致錯誤。此外，現(xiàn)有撓性支承構(gòu)型是否完備，是否還有其他可能的支承形式可供選擇，這些均是總體設(shè)計中需要回答的問題。

運動學(xué)原理主要研究物體的約束、自由度及其相互關(guān)系[6-7]。運動學(xué)設(shè)計可以理解為運動學(xué)原理在機械設(shè)計中的應(yīng)用，它注重以最少的約束數(shù)目和正確的約束方式限制零件的運動，使其具有需要的自由度。符合這種原則的機械結(jié)構(gòu)具有運動確定、重復(fù)精度高以及元件變形小等優(yōu)點，如運動學(xué)軸系、運動學(xué)聯(lián)接以及精密調(diào)平機構(gòu)等[8-10]。本文主要從運動學(xué)角度研究快速反射鏡撓性支承的設(shè)計問題，旨在建立快速反射鏡撓性支承的完備構(gòu)型和系統(tǒng)認(rèn)識，為快速反射鏡的選型、優(yōu)化和工程設(shè)計提供指導(dǎo)和依據(jù)。

1 約束與自由度

一個自由物體在空間具有6個自由度，包括3個平動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。物體的運動受到限制，則由“自由狀態(tài)”變?yōu)椤胺亲杂蔂顟B(tài)”。對物體的運動產(chǎn)生限制作用的其他物體，稱為約束物體，簡稱為約束，約束物體對被約束物體的作用力，稱為約束力。它通過物體之間的相互接觸產(chǎn)生，其作用點為兩物體的接觸點，方向沿接觸點的公法線指向被約束物體。

約束力可以采用節(jié)距為零的旋量，即線矢量W表示為

式中：f表示約束力的大??；sw是約束力的單位方向矢量；rw是約束力的位置矢量。

自由度是指物體具有的獨立運動，可以采用運動旋量 δΦ表示

式中：δφ表 示運動旋量的大小；st為運動旋量的方向矢量；rt為運動旋量的位置矢量；pt為運動旋量的節(jié)距。

約束力的作用線稱為約束線，自由度旋量的軸線稱為自由度線，如圖1所示。

圖1 約束線與自由度線Fig.1 Constraint line and degree of freedom line

根據(jù)約束力W與自由度 δΦ的互易積為零[11-15]，則有：

式中“°”表示旋量互易積的運算符號。

整理（3）式可得：

式中：θ表示約束線和自由度線的夾角；d表示約束線和自由度線的公垂線段長度。

根據(jù)（4）式可知，物體的約束線與自由度線滿足如下空間位置關(guān)系：

1）約束線與轉(zhuǎn)動自由度線相交（包括相交、平行或重合）；

2）約束線與平動自由度線垂直（相交垂直或異面垂直）；

3）約束線與螺旋自由度線垂直相交或異面。

已知物體自由度線的數(shù)目F和非冗余約束線的數(shù)目C滿足F+C=6，按照約束線與自由度線的空間位置關(guān)系，給定物體的自由度線，即可確定物體的約束線，反之亦然。

約束線的空間分布表示物體的約束模式，將這些約束線用約束元件代替，即可得到一種機構(gòu)構(gòu)型。運動學(xué)設(shè)計就是通過合理配置約束數(shù)目和分布方式獲得需要的物體自由度。由于約束和自由度概念的一般性，它對機構(gòu)設(shè)計具有普遍的指導(dǎo)意義。

2 反射鏡的約束模式

如圖2所示，快速反射鏡主要包括基座、反射鏡、鏡框、音圈電機以及撓性支承等。它通過相對的2個音圈電機以推拉的方式驅(qū)動反射鏡繞兩軸線轉(zhuǎn)動。

圖2 快速反射鏡結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure diagram of fast steering mirror

按照光的反射定律，反射光線的方向隨反射面法線方向的變化而變化，反射面的法線可以通過2個參數(shù)確定，這樣通過反射鏡的2個轉(zhuǎn)動就可以調(diào)整其法線在空間的指向，進(jìn)而實現(xiàn)光束的指向控制。因此，快速反射鏡的撓性支承應(yīng)具有2個相交的轉(zhuǎn)動自由度R1和R2。

根據(jù)約束線與自由度線的空間位置關(guān)系，反射鏡的轉(zhuǎn)動自由度線均與約束線相交，據(jù)此可以確定反射鏡的約束模型，包括一個約束球CS和一個約束平面CP。約束球CS由所有過球心的約束線構(gòu)成，約束平面CP由平面上不全互相平行的約束線構(gòu)成，如圖3所示。

圖3 反射鏡的約束模式Fig.3 Constraint pattern of mirror

約束球CS的球心與自由度R1、R2的交點重合，則CS上的每條約束線與R1、R2相交，約束平面CP與R1、R2確定的平面重合，則CP上的每一條約束線與R1和R2相交，從而使R1、R2與CS和CP中的約束線均相交。

快速反射鏡的自由度數(shù)F=2，可對它施加4個非冗余約束，則CS和CP中的任意4條非冗余約束線均可作為快速反射鏡的一種約束模式?？焖俜瓷溏R撓性支承的運動學(xué)設(shè)計本質(zhì)上就是通過配置4條非冗余約束線，使反射鏡具有2個轉(zhuǎn)動自由度。

3 撓性支承構(gòu)型

細(xì)桿是具有較大長徑比的桿件，在軸向具有良好的剛性，而在其他方向具有良好的撓性。它具有結(jié)構(gòu)簡單、便于加工的優(yōu)點，可作為提供純力約束的機械元件，利用其剛?cè)岫攸c可構(gòu)造不同類型的快速反射鏡撓性支承。如圖4所示，細(xì)桿的一端與基座B固定，另一端與物體A固聯(lián)。

圖4 細(xì)桿Fig.4 Slender rod

物體A沿Z向的平動自由度通過細(xì)桿消除，僅具有沿X向和Y向的2個平動自由度以及繞X軸、Y軸和Z軸的3個轉(zhuǎn)動自由度。因此，細(xì)桿在軸向可以看作是剛性的，在橫向可以看作是撓性的。它提供一條沿桿件軸線方向的純力約束線，對與其固連的物體施加一個純力約束Ci（用標(biāo)記符號Ci且兩端帶圓點的線段表示約束線）。

如上所述，快速反射鏡的約束模型是一個約束球CS和一個約束平面CP，其中任意4條非冗余約束線均可作為反射鏡的一種約束模式，一共具有4種不同的約束模式，對應(yīng)4種不同構(gòu)型的撓性支承。

構(gòu)型1。從CS球中取出1條約束線C1，且C1不在CP平面上，再從CP平面上取出3條約束線C2、C3、C4，且C2、C3、C4不在CS球上，如圖5所示。這4條約束線C1、C2、C3、C4是反射鏡的第1種約束模式，據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第1種構(gòu)型，如圖6所示。

圖5 第1種約束模式Fig.5 Constraint pattern 1

圖6 第1種構(gòu)型Fig.6 Configuration 1

構(gòu)型2。從CS球中取出3條約束線C1、C2、C3，且C1、C2、C3不在CP平面上，再從CP平面中取出1條約束線C4，且C4不過CS球的球心。這4條約束線C1、C2、C3、C4是反射鏡的第2種約束模式，如圖7所示。圖8所示為反射鏡撓性支承的第2種構(gòu)型，其中C5、C6是為實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對稱添加的冗余約束，C5在CS中選取，C6在CP中選取。

圖7 第2種約束模式Fig.7 Constraint pattern 2

圖8 第2種構(gòu)型Fig.8 Configuration 2

構(gòu)型3。從CS球中取出兩條約束線C1、C2，且C1、C2不在CP平面上，再從CP平面上取出兩條相交的約束線C3、C4，且C3、C4均不通過CS球的球心。這4條約束線C1、C2、C3、C4是反射鏡的第3種約束模式，如圖9所示。據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第3種構(gòu)型，如圖10所示，其中C5、C6是冗余約束，用于保證結(jié)構(gòu)對稱。

圖9 第3種約束模式Fig.9 Constraint pattern 3

圖10 第3種構(gòu)型Fig.10 Configuration 3

構(gòu)型4。從CS球中取出兩條約束線C1、C2，且C1、C2不在CP平面上，再從CP平面上取出兩條平行的約束線C3、C4，且C3、C4均不通過CS球的球心。這4條約束線C1、C2、C3、C4是反射鏡的第4種約束模式，如圖11所示，據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第4種構(gòu)型，如圖12所示。

圖11 第4種約束模式Fig.11 Constraint pattern 4

圖12 第4種構(gòu)型Fig.12 Configuration 4

這4種約束模式均包括4條約束線。第1種約束模式按軸向1個約束和側(cè)向3個約束分布，第2種約束模式反之，軸向3個約束，側(cè)向1個約束。相對而言，第1種構(gòu)型承受側(cè)向負(fù)載的能力較強，而承受軸向載荷的能力較弱。第3、4種約束模式在軸向和側(cè)面均具有兩條約束線，承受軸向負(fù)載和側(cè)向負(fù)載的能力適中。在實際設(shè)計中，需要根據(jù)它們的力學(xué)特點，選擇合理的約束模式和構(gòu)型。此外，第1、4種構(gòu)型不存在欠約束和過約束，易于獲得較高的重復(fù)精度，并具有裝配簡單、環(huán)境適應(yīng)性強的優(yōu)點。第2、3種構(gòu)型為保證結(jié)構(gòu)對稱性增加了冗余約束，對零件的加工和裝配精度要求更高。

4 結(jié)論

運動學(xué)是機構(gòu)具有良好性能的必要條件，也是進(jìn)行機構(gòu)動力學(xué)分析與控制的基礎(chǔ)。本文以細(xì)桿為約束元件構(gòu)造了反射鏡撓性支承的4種完備構(gòu)型，提供了快速反射鏡機構(gòu)設(shè)計的運動學(xué)基礎(chǔ)，為統(tǒng)一認(rèn)識各種撓性支承結(jié)構(gòu)形式提供了理論依據(jù)。例如文獻(xiàn)[1]所述快速反射鏡屬于第1種構(gòu)型，文獻(xiàn)[2]所述快速反射鏡屬于第2種構(gòu)型（利用球面副提供3個相交約束），第3和第4種構(gòu)型尚未見有文獻(xiàn)報道，是獲得的新型撓性支承。文獻(xiàn)[3]～[5]所述快速反射鏡采用柔性鉸鏈，不屬于細(xì)桿支承，故不作討論。

本文屬于概念設(shè)計范疇，旨在建立機構(gòu)正確的運動學(xué)，以此為基礎(chǔ)可以進(jìn)行后續(xù)工程結(jié)構(gòu)設(shè)計和動態(tài)性能分析等，推進(jìn)機構(gòu)的實用化。