陳德錦，嚴(yán)謹(jǐn)，羅楊陽(yáng)，黃超，鄒律龍

1 廣東海洋大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，廣東 湛江 524088

2 廣東海洋大學(xué) 海洋工程學(xué)院，廣東 湛江 524088

0 引 言

輸流管道已成為軍工、海洋工程和機(jī)械等領(lǐng)域不可或缺的一部分，當(dāng)機(jī)械運(yùn)作或者流體流過(guò)管道時(shí)，會(huì)引起管道振動(dòng)并在管道內(nèi)發(fā)生聲波傳遞而產(chǎn)生噪聲[1]。對(duì)潛艇而言，管道振動(dòng)噪聲將直接影響其隱蔽性；對(duì)船舶而言，管道振動(dòng)噪聲會(huì)對(duì)船員的海上生活造成干擾并對(duì)航行安全產(chǎn)生威脅。聲波檢測(cè)是管道故障檢測(cè)的主要手段之一，因此，有必要準(zhǔn)確掌握管道振動(dòng)特性，對(duì)內(nèi)部聲波傳導(dǎo)特征模態(tài)進(jìn)行研究。

輸流管道聲振問(wèn)題多年來(lái)一直是聲振領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。輸流管道的振動(dòng)是一種典型的耦合振動(dòng)，管內(nèi)流體振蕩會(huì)引起管道產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)，而管道的機(jī)械振動(dòng)反過(guò)來(lái)又會(huì)影響管內(nèi)流體的動(dòng)態(tài)行為，這是一種復(fù)雜的現(xiàn)象，被稱為“典型的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題”[2]。聲振問(wèn)題則是該問(wèn)題的一種衍生，側(cè)重于由振動(dòng)所引起的聲波傳遞。因此，研究輸流管道的聲振不能僅考慮單向耦合，還需考慮管流的雙向耦合。研究輸流管道雙向耦合所用到的理論基礎(chǔ)有聲固耦合和流固耦合。其中，流固耦合系統(tǒng)計(jì)算繁瑣、不易收斂，且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；聲固耦合簡(jiǎn)化了管道流固耦合系統(tǒng)中的附加質(zhì)量、附加阻尼和流固耦合項(xiàng)，其運(yùn)用波傳播方法求解輸流管道的聲振特性，計(jì)算效率高，并能針對(duì)管道聲學(xué)特性實(shí)現(xiàn)有針對(duì)性的解釋與分析。目前，考慮聲固耦合效應(yīng)研究管道聲振特性的方法主要有數(shù)值分析法、解析計(jì)算法和實(shí)驗(yàn)測(cè)試法[3]3種，其中數(shù)值分析法最為普遍。文立超等[4]基于一種有限元的模式分析法，對(duì)于管道導(dǎo)波的模態(tài)頻散特性進(jìn)行了求解，其只對(duì)管壁進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，證明該方法是有效的。楊國(guó)棟等[5]提出了一種Galerkin求解特征方程的方法，其針對(duì)浸沒(méi)圓柱殼結(jié)構(gòu)，對(duì)聲固耦合模型的自振特性進(jìn)行計(jì)算求解并與算例進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了該方法的精確性和可行性。Scott[6]對(duì)無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼結(jié)構(gòu)受流體載荷的聲振問(wèn)題進(jìn)行了研究，對(duì)考慮聲固耦合效應(yīng)的圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由傳播模態(tài)進(jìn)行了分析，對(duì)其色散關(guān)系的復(fù)根含義進(jìn)行了解釋并給出了根的數(shù)值解。解妙霞等[7]采用數(shù)值分析方法對(duì)薄壁液壓管道的聲振響應(yīng)予以了計(jì)算，對(duì)因聲固耦合效應(yīng)而導(dǎo)致聲波在薄壁液壓管道內(nèi)傳播的能量損失機(jī)理進(jìn)行了探討。周玉志等[8]聯(lián)合ANSYS與ACTRAN軟件模擬分析了液壓輸送管道的聲學(xué)特性，得到了管內(nèi)為水時(shí)輸流管道的聲壓強(qiáng)度分布。利用數(shù)值分析方法可以有效分析聲固耦合效應(yīng)對(duì)管道聲振特性的影響，并可通過(guò)設(shè)置邊界條件來(lái)滿足實(shí)際測(cè)試時(shí)所需要的外部條件?？傮w來(lái)講，目前對(duì)于考慮聲固耦合效應(yīng)的輸流管道聲振特性方面的研究較少，且更少有涉及聲固耦合影響下管道頻散特性和模態(tài)振型等機(jī)理方面的研究。

本文將通過(guò)對(duì)輸流管道進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，分析比較考慮聲固耦合效應(yīng)的彈性壁管道與不考慮聲固耦合效應(yīng)的硬聲場(chǎng)壁管道的波數(shù)頻散曲線、管壁的壁厚不同時(shí)彈性輸流管道的波數(shù)頻散曲線，以及內(nèi)部流體介質(zhì)分別為水、空氣和原油時(shí)彈性壁管道的波數(shù)頻散曲線，計(jì)算特定激勵(lì)頻率條件下彈性壁輸流管道的管壁應(yīng)力情況，然后通過(guò)結(jié)果分析得出不同管壁特性和管內(nèi)不同介質(zhì)時(shí)管道的頻散特性、管道應(yīng)力與內(nèi)部絕對(duì)聲壓的分布情況，以及管道中彈性波的動(dòng)態(tài)特性。頻散曲線可有效區(qū)分每個(gè)彈性波的特征模態(tài)，而分析這些特征模態(tài)是管道聲波健康檢測(cè)的主要依據(jù)。

1 數(shù)值模型的建立

1.1 模型簡(jiǎn)化假設(shè)

聲振現(xiàn)象需要滿足3個(gè)基本方程：運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程。

3D管道模型轉(zhuǎn)化為2D管道模型時(shí)，假定如下[9]：

1） 管內(nèi)為理想流體，聲波在管內(nèi)傳播不損耗并且不具有黏滯性；

2） 聲波在傳播過(guò)程中未發(fā)生熵變；

3） 管道輕微振動(dòng)，聲學(xué)參量忽略二階及以上的微量；

4） 忽略管內(nèi)流體流動(dòng)導(dǎo)致的噪聲；

5） 沒(méi)有聲擾動(dòng)時(shí)，管道是均勻、靜止的；

6） 聲場(chǎng)情況只考慮垂直管道中軸線的截面內(nèi)。

1.2 計(jì)算模型

以二維平面構(gòu)建無(wú)限長(zhǎng)管道模型，內(nèi)部橫截面呈圓形。模型直徑60 mm，添加的管壁材料為AISI 4 340合金結(jié)構(gòu)鋼。管內(nèi)聲學(xué)域采用自由三角形劃分網(wǎng)格，管壁采用映射劃分網(wǎng)格，管道外壁采用自由邊界條件。二維管道模型如圖1所示，其中模型壁厚為3 mm，管道內(nèi)壁邊界(粗藍(lán)線)即為聲固耦合邊界。

分別計(jì)算管道壁厚為3，4，5 mm情況下的管道波數(shù)頻散曲線，以及彈性壁（壁厚3 mm）管道內(nèi)流體分別為空氣、水和原油情況下的波數(shù)頻散曲線，其材料參數(shù)如表1所示。

圖 1 二維管道模型圖Fig.1 Schematic diagram of two-dimensional pipeline model

表 1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

2 聲固耦合基本理論

2.1 聲學(xué)控制方程

聲波波動(dòng)方程是從以下3個(gè)流體控制方程推演而來(lái)[10]。

質(zhì)量守恒方程：

動(dòng)量守恒方程:

能量守恒方程：

式中：ρ為介質(zhì)密度；t為時(shí)間；p為聲學(xué)域總壓力；u為速度場(chǎng)；s為熵；M和F為可能存在的源項(xiàng)；Δ為哈密爾頓算子。

在經(jīng)典的壓力聲學(xué)中，假設(shè)所有的熱力學(xué)為等熵過(guò)程。在密度為 ρ0（單位：kg/m3）、靜態(tài)壓力為p0（ 單位：Pa）的均勻穩(wěn)定流動(dòng)流體中，也即u0為常數(shù)時(shí)，進(jìn)行小參數(shù)展開：

式中，p1，ρ1，u1，s1為微小聲學(xué)擾動(dòng)量。因此，壓強(qiáng)微小變化量p1遠(yuǎn) 小于p0， 密度微小變化量 ρ1遠(yuǎn)小于 ρ0， 速度微小變化量 |u1|遠(yuǎn) 小于聲速c。假設(shè)初始熵s0為0，將這些值插入控制方程，只保留聲學(xué)變量中的線性項(xiàng)，可得

式中：Qm為單極子源，1/s2，該源對(duì)應(yīng)于式（1）中的一個(gè)質(zhì)量源；qd為偶極子源，N/m3，其對(duì)應(yīng)于式（2）中的一個(gè)定義域力源。

2.2 結(jié)構(gòu)控制方程

固體的聲固耦合控制方程是根據(jù)動(dòng)量守恒方程決定的。當(dāng)管壁特性為彈性壁時(shí)，方程如下：

式中：ω為角頻率，a為第2類皮奧拉-克希荷夫應(yīng)力張量，作用是聯(lián)系空間方向的作用力與原始未變形構(gòu)型中的區(qū)域；Fv為體積力。

當(dāng)管壁特性為硬聲場(chǎng)壁時(shí)，方程(7)中等號(hào)左邊項(xiàng)為0，即

2.3 邊界條件

聲固耦合邊界條件包括作用在結(jié)構(gòu)上的流體載荷和流體所經(jīng)歷的結(jié)構(gòu)加速度[11]，其外部邊界條件為：

式中：n為 耦合面法向量；utt為 結(jié)構(gòu)加速度； ρc為聲學(xué)介質(zhì)的密度；pt為總聲壓；FA為結(jié)構(gòu)所承受的載荷(單位面積力)。

得到的內(nèi)部條件為：

聲學(xué)載荷由壓降決定。式（10）中，下標(biāo)up，down指內(nèi)邊界的兩邊。

當(dāng)管壁特性為硬聲場(chǎng)壁時(shí)，utt=0，即管壁不受聲學(xué)域的聲壓影響而引起法向加速度變化，方程表示為

2.4 截止頻率方程

對(duì)頻域方程使用非齊次亥姆霍茲等式，得

式中，keq為徑向波數(shù)。在二維場(chǎng)中，

式中：cc為 聲學(xué)域中聲速； ω=2πf，為角頻率；κz為軸向波數(shù)，在激勵(lì)頻率f已知的情況下，不能傳播κz為負(fù)的模態(tài)。

根據(jù)式(13)，可以推導(dǎo)出各個(gè)模態(tài)的截止頻率計(jì)算公式。推導(dǎo)如下：

當(dāng)不存在外載荷時(shí)，式（12）可以化簡(jiǎn)為

將式（15）運(yùn)用柱坐標(biāo)系（坐標(biāo)如圖2所示）下的拉普拉斯算符表示為：

式中：r為徑向坐標(biāo)；φ為極角；z為軸向坐標(biāo)。然后，再利用“分離變數(shù)法”解式（16），令p(r,φ,z)=R(r)φ(φ)Z(z)，則可求得波管中聲場(chǎng)的形式解為

式 中：An為 聲 壓 幅 值；φn為n階 聲 壓 初 相 位；Jn為n階貝塞爾方程的解。

圖 2 管道坐標(biāo)示意圖Fig.2 Pipeline coordinate diagram

3 管道聲振模態(tài)分析

3.1 管道聲壓應(yīng)力分布

為了驗(yàn)證聲固耦合效應(yīng)的影響，本文利用COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)仿真軟件中的聲學(xué)模塊與結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊，分析了考慮耦合效應(yīng)的彈性壁和不考慮耦合效應(yīng)硬聲場(chǎng)壁管道內(nèi)部聲場(chǎng)的區(qū)別與聯(lián)系。

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，首先將COMSOL Multiphysics中頻域分析模塊對(duì)管道干、濕模態(tài)的計(jì)算結(jié)果與ANSYS Workbench中Modal和Acoustic模塊對(duì)管道干、濕模態(tài)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，流程如圖3所示。

圖 3 計(jì)算流程示意圖Fig.3 Schematic diagram of calculation process

計(jì)算得到前4階的固有頻率（單位：Hz）如表2所示。

表 2 COMSOL和ANSYS的計(jì)算對(duì)比Table 2 Comparison of calculations between COMSOL and ANSYS

由表2可以看出，兩者計(jì)算之間的差值均控制在4%以內(nèi)，說(shuō)明兩者的計(jì)算結(jié)果非常接近。其中，充液管道的固有頻率與空管相比有所降低，這主要是由內(nèi)部液體與管道耦合作用所導(dǎo)致，結(jié)論與文獻(xiàn)[12]中的一致，說(shuō)明使用COMSOL Multiphysics軟件進(jìn)行聲固耦合效應(yīng)的管道聲振特性研究計(jì)算結(jié)果可靠、準(zhǔn)確。

將模式分析中的激勵(lì)頻率f設(shè)為10 000 Hz，搜索基 準(zhǔn) 值 設(shè)為 1.1×k（其 中 波數(shù)k=2πf/c0，此 處2πf=ω，c0為水中聲速）。采用并行稀疏直接求解器求解特征值，計(jì)算絕對(duì)聲壓的應(yīng)力分布，然后分別取計(jì)算所得相同面外波數(shù)的連續(xù)4階模式數(shù)情況分布圖進(jìn)行合理、有效的對(duì)比分析，如圖4所示。其中：左、右圖分別為彈性壁管道和硬聲場(chǎng)壁管道絕對(duì)聲壓應(yīng)力分布圖；每幅圖中左、右標(biāo)尺數(shù)值分別表示結(jié)構(gòu)總位移（單位：mm）和絕對(duì)聲壓（單位：Pa）。

圖 4 管道絕對(duì)聲壓應(yīng)力云圖Fig.4 Absolute sound pressure stress contours diagram of pipeline

由圖4所示硬聲場(chǎng)壁管道絕對(duì)聲壓應(yīng)力分布圖（右圖）可知，基于硬聲場(chǎng)邊界本身的特性，加速度法向方向?yàn)?，所以不考慮硬聲場(chǎng)管壁的形變情況。由圖4所示彈性壁管道絕對(duì)聲壓應(yīng)力分布圖（左圖）可知，在給定激勵(lì)頻率f下，彈性壁管道擁有不同階的振型，每個(gè)波數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)振型。在絕對(duì)聲壓較高的地方，變形情況較為突出，這些不同位置的變形情況可為管道支撐提供一定的理論依據(jù)。從圖4可以看出，聲波垂直于截面向內(nèi)傳播，隨著面外波數(shù)的增大，聲壓沿半徑方向逐漸增大。硬聲場(chǎng)壁無(wú)限長(zhǎng)管道內(nèi)部聲壓分布與彈性壁無(wú)限長(zhǎng)管道的情況基本相同，即聲固耦合效應(yīng)對(duì)內(nèi)部為空氣的無(wú)限長(zhǎng)輸流管道內(nèi)部聲壓分布影響不大。從圖4(d)可以看出，當(dāng)波數(shù)k=183.19時(shí)，硬聲場(chǎng)壁管道沒(méi)有傳播模式，說(shuō)明沒(méi)達(dá)到此截止頻率，無(wú)法產(chǎn)生此模態(tài)。

3.2 管道頻散關(guān)系

3.2.1 管壁屬性的影響

為精確描述聲波在管道中傳播的動(dòng)態(tài)特性，需進(jìn)一步確定硬聲場(chǎng)壁與彈性壁無(wú)限長(zhǎng)輸流管道的區(qū)別和聯(lián)系，以及壁厚不同和內(nèi)部流體不同時(shí)管道的頻散特性，分析波數(shù)與頻率的關(guān)系。利用參數(shù)化進(jìn)行掃描計(jì)算，頻率范圍為100～12 000 Hz，其中間隔取100 Hz，求解模式數(shù)設(shè)為6。硬聲場(chǎng)壁和彈性壁無(wú)限長(zhǎng)管道的頻散關(guān)系曲線如圖5所示。

圖 5 管道頻散關(guān)系圖Fig.5 Pipeline dispersion relation diagram

由圖5可以看出，彈性壁無(wú)限長(zhǎng)管道第1階彈性模態(tài)的截止頻率為2 400 Hz，硬聲場(chǎng)壁無(wú)限長(zhǎng)管道第1階彈性模態(tài)的截止頻率為3 800 Hz。硬聲場(chǎng)壁管道的傳播模態(tài)數(shù)比彈性壁管道的少，彈性壁管道增加的模態(tài)數(shù)主要為管道的形變模態(tài)，例如徑向模態(tài)等，說(shuō)明聲固耦合使彈性壁對(duì)管道內(nèi)部聲波傳播的模態(tài)數(shù)產(chǎn)生了影響。由于聲固耦合效應(yīng)，彈性壁管道平面波模態(tài)的波數(shù)有些可能大于硬聲場(chǎng)壁，在100 Hz處，根據(jù)式(14)，計(jì)算的硬聲場(chǎng)壁管道平面波模態(tài)的波數(shù)為1.832 rad/m，彈性壁管道對(duì)應(yīng)的波數(shù)值為2.478 rad/m；在150 Hz處，計(jì)算的硬聲場(chǎng)壁管道平面波模態(tài)的波數(shù)為2.747 rad/m，彈性波管道對(duì)應(yīng)的波數(shù)值約為3.039 rad/m。這些計(jì)算值求出的硬聲場(chǎng)壁模態(tài)截止頻率是純虛數(shù)，因此，硬聲場(chǎng)壁是沒(méi)有這種模態(tài)的。根據(jù)以上結(jié)論，可以準(zhǔn)確得出管道彈性壁與硬聲場(chǎng)壁的區(qū)別，并通過(guò)頻散關(guān)系圖得出他們之間的頻散關(guān)系。

3.2.2 管壁厚度的影響

圖 6 不同管壁厚度下的頻散關(guān)系圖Fig.6 Dispersion relation diagram of different wall thickness

結(jié)構(gòu)是影響管道聲振特性的因素，所以需要分析管壁厚度對(duì)硬聲場(chǎng)壁與彈性壁管道頻散關(guān)系的影響。本文分別取管壁厚度為3，4，5 mm，內(nèi)部流體域?yàn)榭諝?，不同管壁厚度下的頻散關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6可以看出，隨著管壁厚度的增加，不管是硬聲場(chǎng)壁還是彈性壁管道，頻散曲線的個(gè)數(shù)不變，斜率基本沒(méi)有變化，表示產(chǎn)生的彈性波特征模態(tài)形態(tài)基本不變；隨著管壁厚度的增加，頻散曲線均向高頻移動(dòng)，除直通模式外，說(shuō)明聲學(xué)模態(tài)的截止頻率發(fā)生了改變，因此管壁較厚的管道需要更大的激勵(lì)頻率才能激發(fā)出與管壁較薄的管道同階模態(tài)的導(dǎo)波模式。管壁厚度為3 mm的彈性壁無(wú)限長(zhǎng)管道第1階彈性模態(tài)的截止頻率由上文已知為2 400 Hz，管壁厚度為4，5 mm時(shí)分別為3 300和4 200 Hz，即每增加1 mm壁厚，該階截止頻率向右平移900 Hz。

3.2.3 管內(nèi)流體介質(zhì)的影響

管內(nèi)流體域介質(zhì)也是影響管道聲振特性的一個(gè)重要因素。本文分別取管內(nèi)流體為空氣、水和原油，內(nèi)部為不同流體介質(zhì)下的頻散關(guān)系曲線如圖7所示。由圖7可以看出，管道內(nèi)部介質(zhì)為空氣時(shí)的頻散曲線與內(nèi)部介質(zhì)為原油和水時(shí)的頻散曲線區(qū)別較大，說(shuō)明內(nèi)部介質(zhì)為液體時(shí)與為氣體時(shí)聲波傳播模式是有較大區(qū)別的；內(nèi)部介質(zhì)為空氣時(shí)，硬聲場(chǎng)壁中的幾個(gè)導(dǎo)波模態(tài)與彈性壁中的導(dǎo)波模態(tài)能夠一一對(duì)應(yīng)；內(nèi)部介質(zhì)為原油與內(nèi)部介質(zhì)為水時(shí)的頻散曲線較為相似，兩者在硬聲場(chǎng)壁條件下只存在直通模式，并且彈性壁和硬聲場(chǎng)壁的直通模式存在偏差；當(dāng)內(nèi)部介質(zhì)為氣體時(shí)，在不同的掃描頻率段，彈性波波數(shù)明顯高于液體介質(zhì)；內(nèi)部介質(zhì)為原油和水時(shí)其頻散關(guān)系的區(qū)別主要在于直通模式的斜率，原油的斜率要高于水的斜率，說(shuō)明介質(zhì)密度對(duì)頻散曲線有一定的影響。以上性質(zhì)可以有效運(yùn)用于管內(nèi)流體域介質(zhì)性質(zhì)的區(qū)分。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮聲固耦合效應(yīng)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，對(duì)二維硬聲場(chǎng)壁管道和彈性壁管道的聲振特性進(jìn)行了研究。首先，分析管道的干、濕模態(tài)并驗(yàn)證了聲固耦合模型的合理性；然后，在特定激勵(lì)頻率情況下，分別計(jì)算得出硬聲場(chǎng)壁管道和彈性壁管道的內(nèi)部絕對(duì)聲壓分布圖，以及彈性壁管道的管壁變形情況；最后，針對(duì)不同壁厚和不同內(nèi)部介質(zhì)進(jìn)行特征模態(tài)分析，通過(guò)參數(shù)化掃描計(jì)算其頻散關(guān)系，繪制了波數(shù)-頻率頻散關(guān)系曲線圖，分析表明聲固耦合會(huì)影響管道聲波傳播的模態(tài)數(shù)，彈性壁管道的模態(tài)數(shù)要比硬聲場(chǎng)壁管道的多。而且，結(jié)果顯示了彈性壁和硬聲場(chǎng)壁管道內(nèi)部絕對(duì)聲壓分布情況基本一致；不同壁厚對(duì)管道的特征模態(tài)形式影響較小，隨著壁厚的增加，每階截止頻率也隨之增加；管內(nèi)流體介質(zhì)為氣體和液體時(shí)特征模態(tài)區(qū)別較大，液體之間的區(qū)別主要體現(xiàn)在直通模式上。

圖 7 內(nèi)部為不同流體介質(zhì)時(shí)的頻散關(guān)系圖Fig.7 Dispersion relation diagram of different internal fluids