羅文軍

2021年廣東省實行新高考，從2020年新高考Ⅰ卷（山東卷）數(shù)學和新高考Ⅱ卷（海南卷）數(shù)學對主干知識數(shù)列的考查試題結(jié)構(gòu)和分值分布規(guī)律可以預(yù)測，2021年廣東省新高考對數(shù)列的考查以一道小題和一道大題的形式，總分值為15或17分，根據(jù)近幾年全國課標Ⅰ卷數(shù)列考點分布來看，2021廣東新高考數(shù)列的考點可能為等差數(shù)列通項與求和、等比數(shù)列通項與求和、等差數(shù)列綜合問題、等比數(shù)列綜合問題、等比數(shù)列與等差數(shù)列交匯問題和數(shù)列數(shù)學文化，以下筆者結(jié)合具體的題目進行分析.

例1.?數(shù)列{an}滿足a1=5，an+1=an+lg（1+?），則a10=_______.

【答案】6.

【解析】由題設(shè)可得，a2=a1+lg2，a3=a2+lg?，a4=a3+lg?，…，a10=a9+lg?，由累積法可得，a10=a1+lg2+lg?+lg?+…+lg?=5+lg10=6.

【評注】本題考查的是數(shù)列綜合問題，考查了數(shù)列的累積法和對數(shù)的運算性質(zhì)，旨在考查數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例2.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn).?數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù).?具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8…，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和.?已知數(shù)列?{an}?為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則若a2020=p，則a2018=__________.（用p表示）

【解析】由題目可知斐波納契數(shù)列的遞推公式為an+an+1=an+2，所以an=an+2-an+1，所以前n項和Sn=?ai=?（ai+2-ai+1）=（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an+1-an）+（an+2-an+1）=an+2-a2=an+2-1，所以S2018=S2020-1=p-1.

【評注】本題是一道數(shù)列數(shù)學文化試題，以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查了數(shù)列遞推公式，旨在考查考生的閱讀理解能力、邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例3.（1）已知等差數(shù)列?{an}?的首項為1，且a1，?a3，?a9成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（???）

A.?數(shù)列?{an}?的通項公式為an=n

B.?數(shù)列?{an}?的前n項和為Sn=?或Sn=n

C.?數(shù)列?{?}?的前n項和為Tn=

D.?數(shù)列???的前n項和Mn=2n?或Mn=（n-1）·2n+1+2

【答案】B，D.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題設(shè)可得，a?23=a1a9，（a1+2d）2=a1（a1+8d），所以（1+2d）2=1+8d，解得d=0或d=1，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=1或an=n，故答案A錯誤;當an=1時，數(shù)列{an}前n項和Sn=n，當an=n時，數(shù)列{an}前n項和Sn=?，故B正確;當an=1時，數(shù)列{?}前n項和Tn=n，當an=n時，數(shù)列{an}前n項和Tn=?，故C錯誤;當an=1時，數(shù)列?的前n項和為Mn=2n，當an=n時，

Mn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n……①

2Mn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1……②

①-②可得，-Mn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，所以-Mn=?-n·2n+1，

所以-Mn=2×（2n-1）-n·2n+1=（1-n）·2n+1-2，

Mn?=（n-1）·2n+1+2.

【評注】本多選題是一道等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合問題，考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式、等比數(shù)列的定義、裂項求和法和錯位相減法，旨在考查數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（2）《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.?大鼠日自倍，小鼠日自半.?問何日相逢，各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.?大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半”，則下列說法正確的是（???）

A.?大老鼠打洞的尺數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1

B.?小老鼠打洞的尺數(shù)構(gòu)成的數(shù)列?{bn}?的通項公式為bn=（?）n-1

C.?如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則S4=16

D.?如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則S4=33

【答案】ABC.

【解析】大老鼠打洞的尺數(shù)構(gòu)成了一個等比數(shù)列{an}，其首項為a1=1，公比q1=2，通項公式為an=a1q1n-1=2n-1，故A正確;小老鼠打洞的尺數(shù)構(gòu)成了一個等比數(shù)列?{bn}，其首項b1=1，公比q2=?，其通項公式為bn=?=（?）n-1，故B正確;S4=?+?=?+?=16?，故C正確;

則S5=?+?=?+?=32?.?故D錯誤.

【評注】本題以我國古代經(jīng)典數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的名題“兩鼠穿墻題”為素材，考查了等比數(shù)列的定義、通項公式和前項和公式，考查了考生的閱讀理解能力、運算求解能力、推理論證能力和綜合思維能力，旨在考查數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（3）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，則下列說法正確的是（???）

A.?由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{an}通項公式為an=

B.?由圖可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{bn}通項公式為bn=n2

C.?289既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)

D.?36既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)

【答案】ABD.

【解析】由圖1可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以當n≥2時，an-an-1=n，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a2）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+1=?，經(jīng)檢驗，a1也滿足，所以三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{an}通項公式為an=?，故A正確;由圖2可得，b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，所以正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n2，故B正確;a8=36，b6=36，故D正確;令bn=289，則n=17，所以289是正方形數(shù)，令an=?=289，由于n∈N？鄢，無整數(shù)解，故289不是三角形數(shù)，故C錯誤.

【評注】本題以“畢達哥拉斯形數(shù)”為依托，考查了運用歸納法求數(shù)列遞推公式和通項公式，考查了累加法求數(shù)列通項公式，考查了考生的運算求解能力和推理論證能力，旨在考查邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（4）我國古代數(shù)學家程大位《算法統(tǒng)宗》中有問題“舉取他絹”：舉取他絹重作券，過限一日絹一尺，再過一日絹二尺.每多一日增一尺，有人過限百日整，應(yīng)納息絹幾多尺？”譯文為：債主拿借方的絹做抵押品，債務(wù)過期一天要納利息1尺絹，過期兩天利息是2尺絹，每天的利息比前一天增多1尺，過期100天，共納利息多少尺絹？記每天納的利息尺絹數(shù)構(gòu)成數(shù)列?{an}，其前n項和為{Sn}，則下列說法正確的是（???）

A.?數(shù)列?{an}?的通項公式為an=n

B.?數(shù)列?{an}?的通項公式為an=2n-1

C.?數(shù)列?{an}?的前n項和Sn=

D.?數(shù)列?{an}?的前n項和Sn=2n-1

【答案】AC.

【解析】由題設(shè)可得，每天納的利息尺絹數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項a1=1，公差d=1，其通項公式an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，其前n項和Sn=?=?，故A，C正確.

【評注】本題是一道數(shù)列數(shù)學文化試題，以我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中的“舉取他絹”問題為背景，考查了等差數(shù)列的定義、通項公式和前項和公式，旨在考查數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，也考查了數(shù)學文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識.

（5）《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈.”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計算）共織390尺布，記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，則下列說法正確的是（???）

A.?數(shù)列?{an}?的通項公式為an=?n+4

B.?數(shù)列?{an}?的前n項和Sn=

C.?數(shù)列?{an}?的通項公式為an=5n-4

D.?數(shù)列?{an}?的前n項和Sn=?n2+

【答案】AD.

【解析】由題設(shè)知，該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成了一個等差數(shù)列{an}，其首項為a1=5，其前30項和為S30=390，則S30=30a1+?d=30×5+?d=390，解得d=?，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+（n-1）d=5+（n-1）?=?n+4?，Sn=?=?=?n2+?.

【評注】本題取材于我國古代經(jīng)典數(shù)學名著《張丘建算經(jīng)》，考查了等差數(shù)列的定義、通項公式和前項和公式，考查了運算求解能力、應(yīng)用意識和數(shù)學文化意識，旨在考查數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例4.?已知數(shù)列{an}滿足a1=?，an+1=?.（1）證明{?}是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式.（2）記bn=?，求數(shù)列{bn+?}的前n項和Sn.

【解析】（1）證明：對an+1=?兩邊同時取倒數(shù)得，?=?=?+5，

所以?-?=5，

所以{?}是一個首項為?=3，公差為5的等差數(shù)列，

所以?=?+（n-1）d=3+（n-1）×5=5n-2，

所以數(shù)列?{an}?的通項公式為an=?.

（1）bn=?=5n-2，bn+?=（5n-2）+25n-2，所以，

Sn=（3+23）+（8+28）+（13+213）+…+[（5n-2）+25n-2]，

Sn=[3+8+13+…+（5n-2）]+（23+28+213+…+25n-2），

所以，Sn=?+?，

所以Sn=?n2+?n+?×（32n-1）.

【評注】考查了取倒數(shù)的方法、等差數(shù)列定義，錯位相減法求解，也考查了數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

例5.?已知等差數(shù)列?{an}?的前n項和為Sn，且a2+a7=24，S4=32.（1）求數(shù)列{an}的通項公式;（2）設(shè)?=2n+1，求數(shù)列{bn}?的前n項和Tn.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意a2+a7=24，S4=32，可得，2a1+7d=24，4a1+6d=32，2a1+7d=24，2a1+3d=16，解得a1=5，d=2.

所以數(shù)列?{an}?的通項公式為an=5+（n-1）×2，所以an=2n+3.

（2）由?=2n+1，得bn=?=?，

bn=?=?（?-?），

所以Tn=b1+b2+…+bn

=?[（?-?）+（?-?）+…+（?-?）]=?（?-?）=?.

【評注】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前項和公式和裂項相消法，旨在考查數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例6.?在①?=-?，②an+1-an=-?，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的Sn存在最大值，則求出最大值;若問題中的Sn不存在最大值，請說明理由.

問題：設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=8，_________，求?{an}?的通項公式，并判斷Sn是否存在最大值.

【解析】選①，因為?=-?，a1=8，所以數(shù)列{an}是首項為8，公比為-?的等比數(shù)列，

所以an=a1qn-1=8×（-?）n=2×（-?）n-3，

當n為奇數(shù)時，Sn=?=?=?×（1+?），

因為?×（1+?）隨著n的增加而減小，所以此時Sn的最大值為S1=8.

當n為偶數(shù)時，Sn=?×（1-?），且Sn=?×（1-?）

綜上，Sn存在最大值，且最大值為8.

選②，因為an+1-an=-?，a1=8，所以{an}是首項為8，公差為-?的等差數(shù)列，

所以，an=8+（n-1）×（-?）=-?n+?，

由-?n+?≥0，解得n≤49，所以Sn存在最大值，且最大值為S49（或S48），

因為S49=49×8+?×（-?）=196，所以Sn的最大值為196.

【評注】本題是一道數(shù)列開放性試題，需要先填空補充完整條件，如果選條件①的話，本題考查了等比數(shù)列的定義、通項公式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了運算求解能力、推理論證能力和分類討論思想;選條件②的話，考查了等差數(shù)列的定義、通項公式和前項和公式，考查了運算求解能力、推理論證能力;無論選①還是②，都考查了數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例7.?在數(shù)列?{an}?中，a1=1，a2=4，an+2=4an+1-3an-2n+1，

（1）證明：?{an+1-an-n}為等比數(shù)列;

（2）求{an}.

（1）證明：由an+2=4an+1-3an-2n+1，得an+2-an+1-（n+1）=3（an+1-an-n），又a2-a1-1=2，所以{an+1-an-n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列.

（2）由（1）得，an+1-an-n=2×3n-1，所以an+1-an=2×3n-1+n，

所以，當n≥2時，?（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）

=（2+1）+（2×3+2）+（2×32+3）+…+[2×3n-2+（n-1）]

=2×（1+3+32+…+3n-2）+[1+2+3+…+（n-1）]

=?+?=3n-1+?-1，

所以an-a1=3n-1+?-1，an=3n-1+??……①

當n=1，a1=1滿足①，所以an=3n-1+?.

【評注】本題考查了等比數(shù)列的定義和前和公式、等差數(shù)列的前n項和公式和分組求和法，考查了分類討論思想，旨在考查邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例8.?在①3S3=S2+S4，②?=?+5，這兩個條件中任選1個，補充在下面的問題中，問題：已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，______________，求數(shù)列?{an}?的通項公式;若bn=an+?，求數(shù)列?{bn}?的前n項和Tn.

【解析】選①，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3=S2+S4，得3（3a1+?d）=2a1+?d+4a1+?d，將a1=2代入上式解得d=-3，

所以an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×（-3）=-3n+5，所以bn=（-3n+5）+4-3n+5，

所以Tn=（2+42）+（-1+4-1）+（-4+4-4）+…+[（-3n+5）+4-3n+5]

=[2+（-1）+（-4）+…+（-3n+5）]+（42+4-1+4-4+4-3n+5）

=?+?=-?n2+?n+?.

選②，設(shè)等差數(shù)列?{an}?的公差為d，因為?=?+5，所以?-?=5，

所以a10-a5=10，所以5d=10，所以d=2，

所以an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，

bn=an+?=2n+42n，

所以Tn=（2+42）+（4+44）+（6+46）+…+（2n+42n）

=（2+4+6+…+2n）+（42+44+46+…+42n）

=?+?=n2+n+?×（16n-1）.

【評注】本題是一道開放題，無論選條件①還是條件②，都考查等差數(shù)列的通項公式與前項和公式、等比數(shù)列前項和公式和分組求和法，旨在考查了數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例9.?在①a1=1，a6=8a3，②a2=2，a5=16，這兩個條件中任選1個，補充在下面的問題中，問題：在等比數(shù)列{an}中，_____________________，求數(shù)列{an}的通項公式，記bn=log2?an，記cn=anbn，求數(shù)列?{cn}?的前n項和Tn.

【解析】選①，設(shè)等比數(shù)列?{an}?的公比為q，因為a1=1，a6=8a3，所以q3=8，所以q=2，

an=a1qn-1=2n-1，bn=log2an=log22n-1=n-1，

記cn=anbn=（n-1）2n-1，

所以Tn=1×2+2×22+…+（n-1）·2n-1?……①

2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）·2n?……②

①-?②，得?-Tn=2+22+…+2n-1-（n-1）·2n，

所以，-Tn=?-（n-1）·2n，

所以，Tn=2-2n+（n-1）·2n，所以Tn=（n-2）·2n+2，

選②，因為a2=2，a5=16，所以q3=?=8，所以q=2，

所以a1=?=1，an=a1qn-1=2×2n-1=2n，

所以bn=log2an=log22n=n，cn=anbn=n·2n，

所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n，……①

所以2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1，……②

所以，①-②，得?-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，

所以，-Tn=?-n·2n+1，

所以Tn=2-2n+1+n·2n+1，所以Tn=（n-1）·2n+1+2.

【評注】本題是一道開放題，無論選條件①還是條件②，都考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)運算性質(zhì)和錯位相減法，旨在考查邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例10.?設(shè)Sn為等差數(shù)列?{an}?的前n項和，已知S3=-15，S7=-7.（1）求?{an}?的通項公式;（2）求數(shù)列{?}的前n項和Tn.

【解析】（1）設(shè)?{an}?的公差為d，由題意可得，

3a1+3d=-15，7a1+21d=-7，解得a1=-7，d=2，所以an=a1+（n-1）d=2n-9

（2）an+1=2（n+1）-9=2n-7，

=?=?（?-?），

Tn=?[（?-?）+（?-?）+…+（?-?）]?.

【評注】本題考查了等差數(shù)列的概念、通項公式、求和公式及裂項求和法，考查了方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，旨在考查數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例11.?已知數(shù)列{an}?的前n項和為Sn，且Sn=n2+4n，?（1）求數(shù)列?{an}?的通項公式;（2）求數(shù)列{?}的前n項和Tn.

【解析】（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+4n-[（n-1）2+4（n-1）]=2n+3，……①

當n=1時，a1=S1=12+4×1=5，也滿足①式，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+3.

（2）?=?=?（?-?），

所以Tn=?[（?-?）+（?-?）+…+（?-?）]=?（?-?）=?.

【評注】本題考查了數(shù)列{an}的通項與前n項和Sn的關(guān)系、裂項求和法，考查了分類討論思想，旨在考查邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例12.?已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=6an+1，（1）證明數(shù)列{an+?}?是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}通項公式;（2）證明：?+?+…+?

（1）證明：由an+1=6an+1得an+1+?=6（an+?），又a1+?=?，

所以數(shù)列?{an+?}?是首項為?，公比為6的等比數(shù)列，

所以an+?=?×6n-1，所以數(shù)列?{an}的通項公式為an=?.

（2）由（1）可知?=?，

因為當n≥1時，6n-1≥5×6n-1，所以?≤?，

于是?≤?，于是?+?+…+?≤1+?+…+?=

=?×（1-?）

【評注】本題考查了構(gòu)造法、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、放縮法，旨在考查邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

責任編輯 徐國堅