陳國林

數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，由于數(shù)學(xué)文化中蘊含著深刻的數(shù)學(xué)文化底蘊，因此有關(guān)數(shù)學(xué)文化試題的命制深受學(xué)者和高考命題專家的喜愛.?現(xiàn)在，數(shù)學(xué)文化試題已經(jīng)是高考試題中不可或缺的一類試題了，隨著數(shù)學(xué)文化試題的不斷融入，該類試題的命制更是多彩紛呈.

一、取材經(jīng)典著作

【例1】“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子天下篇》，其意思為“一根一尺長的木棰，每天截取其一半，永遠都取不完”.?設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，則?=（?????）

A.?18?????????B.?20??????????C.?22??????????D.?24

【解析】設(shè)這根木棰的長度為1尺，

第一天這根木棰被截取一半為?，剩下尺a1=1-?=?尺，

第二天被截取剩下的一半為?×?，剩下a2=?-?×?=?尺，

第三天被截取剩下的一半?×?，剩下a3=?-?×?=?尺，

第四天被截取剩下的一半?×?，剩下a4=?-?×?=?尺，

第五天被截取剩下的一半?×?，剩下a5=?-?×?=?尺，

則?=?=24.

【評注】古今中外的數(shù)學(xué)著作中蘊含著許許多多的數(shù)學(xué)問題，此類問題的設(shè)計也一直深受高考試題的青睞，對于該類問題的解決關(guān)鍵還是在于能夠較好的理解題目所給問題的概念和提取問題的關(guān)鍵信息.

二、取材著名問題

【例2】斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列{an}定義如下：a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N），隨著n的增大，?越來越逼近黃金分割?≈0.618，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以an+1、an為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是（??????）

A.?20厘米??????B.?19厘米??????C.?18厘米??????D.?17厘米

【解析】由已知有?=?≈0.618，得：an≈0.618an+1，由an·an+1=200，得0.618?a2?n+1≈200，即a2?n+1≈323.62，由于172=289，182=324，所以an+1≈18（厘米）.

【評注】對于取材世界著名問題的數(shù)學(xué)文化試題，一般多通過哥德巴赫猜想、斐波那契數(shù)列、伯努利不等式、柯西不等式、回文數(shù)、黃金分割、米勒問題、四色定理、角谷猜想、阿波羅尼斯圓、格點問題和楊輝三角等材料進行加工命制而成.

三、取材音律文化

【例3】著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.?音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數(shù)學(xué)方法確定的.?我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.?十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示這些半音的頻率，它們滿足log2（?）12?=1（i?=1，2，…，12）.?若某一半音與D#的頻率之比為?，則該半音為（??????）

A.?F#???????????B.?G????????????C.?G#????????????D.?A

【解析】由題意知：log2（?）12=1（i?=1，?2，?…，12），∴??=2?，故數(shù)列{an}是公比q=2?的等比數(shù)列.?∵?a4=D#，a8=a4q4=D#×（2?）4=D#×?=G，∴??=?.

【評注】近年來，音律與數(shù)學(xué)問題相互結(jié)合考查的試題越來越多，其中2020年就考查了鋼琴鍵上的“原位大三和弦”和“原位小三和弦”，除此之外，在高考真題中，還以“十二平均律”為背景進行設(shè)計出現(xiàn)，一般這類問題多與數(shù)列知識相關(guān).

四、取材天文地理

【例4】天干地支紀年法，源于中國.?中國自古便有十天干與十二地支.?十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.?天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如說第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”……依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”……依此類推.?1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制帝制、建立共和政體的全國性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.?1949新中國成立，請推算新中國成立的年份為（??????）

A.?己丑年??????B.?己酉年??????C.?丙寅年??????D.?甲寅年

【解析】根據(jù)題意可得，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1911年到1949年經(jīng)過38年，且1911年為“辛亥”年，以1911年的天干和地支分別為首項，則38=3×10+8，則1949年的天干為己，38=12×3+2，則1949年的地支為丑，所以1949年為己丑年.

【點評】數(shù)學(xué)文化的融入，不僅能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能夠促進學(xué)生的“四基”和“四能”的發(fā)展，因此一些天文歷法的數(shù)學(xué)問題也應(yīng)運而生，這類問題有一個共同特點，題干過于復(fù)雜，故理清題意中的各個量之間的關(guān)系是至關(guān)重要的.

五、取材古代建筑與雕塑

【例5】（1）在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.?圓方圖和方圓圖在我國古代的設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.?山西應(yīng)縣木塔是我國現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示.?以該木塔底層的邊AB作方形，會發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對角線長度相等.?以塔底座的邊作方形，作方圓圖，會發(fā)現(xiàn)方圓的切點D正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸??經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，木塔底層的邊AB不少于47.5米，塔頂C到點D的距離不超過19.9米，則該木塔的高度可能是（??????）（參考數(shù)據(jù)：?≈1.414）

A.?66.1米??????B.?67.3米

C.?68.5米??????D.?69.0米

（2）雕塑成了大學(xué)環(huán)境不可分割的一部分，有些甚至能成為這個大學(xué)的象征，在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)校園中就有一座郭沫若的雕像.?雕像由像體AD和底座CD兩部分組成.?如圖，在Rt？駐ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt？駐DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像體AD的高度（ ）（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）

A.?4.0米??????B.?4.2米??????C.?4.3米??????D.?4.4米

【解析】（1）設(shè)該木塔的高度為h，則由圖可知，h=?AB?=?47.5×1.414=67.165（米）.

同時?=?，∴?h=?=?，?≈67.9（米）.?即木塔的高度h約在67.165米至67.9米之間，結(jié)合選項，可知應(yīng)選B.

（2）在Rt？駐DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，

所以BC=CD=2.3米.

在Rt？駐ABC中，∠ABC=70.5°，BC=2.3米，

所以tan70.5°=?，AC=BCtan70.5°=2.3×2.824=6.5366≈6.5（米），

所有AD=AB-CD=6.5-2.3=4.2（米），

即像體AD的高度為4.2米.

【評注】對于取材古代建筑和雕塑的數(shù)學(xué)問題，多是以測量其高度或者求解其幾何體的表面積或體積為考查對象，有時還可與三視圖進行結(jié)合考查.

六、取材體育運動

【例6】國際羽毛球比賽規(guī)則從2006年5月開始，正式?jīng)Q定實行21分的比賽規(guī)則和每球得分制，并且每次得分者發(fā)球，所有單項的每局獲勝分至少是21分，最高不超過30分，即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽，如果雙方比分為20?∶20時，獲勝的一方需超過對方2分才算取勝，直至雙方比分打成29?∶?29時，那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中，甲發(fā)球贏球的概率為?，甲接發(fā)球贏球的概率為?，則在比分為20?∶?20，且甲發(fā)球的情況下，甲以23?∶?21贏下比賽的概率為（??????）

A.???????????B.???????????C.???????????D.

【解析】根據(jù)題意，兩人后4局的比賽輸贏情況只能為：①輸贏贏贏，②贏輸贏贏，故P=?×?×?×?+?×?×?×?=?.

【評注】對于有關(guān)體育賽事的數(shù)學(xué)問題，多與比賽規(guī)則有關(guān)系，通常涉及到相互獨立事件的概率，一般這類問題一是采用直接法：利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解;二是間接法：正面計算較煩瑣（如求用“至少”表述的事件的概率）或難以入手時，可從其對立事件入手計算.

七、選材實時熱點

【例7】2020年4月30日，我國的5G信號首次覆蓋了海拔8000米的珠穆朗瑪峰峰頂和北坡登山路線，為了保證中國登山隊珠峰高程測量的順利直播，現(xiàn)從海拔5300米、5800米和6500米的三個大本營中抽出了4名技術(shù)人員，派往北坡登山路線中的3個崎嶇路段進行信號檢測，每個路段至少安排1名技術(shù)人員，則不同的安排方法種數(shù)共有（??????）

A.?72?????????B.?36?????????C.?48?????????D.?54

【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將選出的4人分成3組，有C4?2?=6種分組分法;

②將分好的三組全排列，對應(yīng)3個崎嶇路段，有A3?3?=6種情況，

則有6×6=36種不同的安排方法.

【評注】以當下熱點為背景的數(shù)學(xué)試題，一直是高考的命題熱點，例如以“高鐵”“一帶一路”“共享單車”，停課不停學(xué)”“新冠疫苗接種”等為背景進行命題，此類試題多考查概率統(tǒng)計相關(guān)知識，時代性特點非常明顯.

八、取材古算詩題

【例8】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題;“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請公子仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的的路程且前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問題第六天走了”（??????）

A.?96里?????????B.?48里?????????C.?12里?????????D.?6里

【解析】由題知每天所走路程形成以a1為首項，公比為?的等比數(shù)列，且前六項的和為378，則?=378，解得a1=192，則a6=a1q5=6，即第六天走了6里.

【評注】以詩歌形式呈現(xiàn)，浪漫主義色彩表現(xiàn)突出，一方面能夠培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng)，另一方面又能對學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況進行檢測，此類試題的出現(xiàn)源于我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，在我國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作中，這樣的古算詩題是相當豐富的.

九、取材古代“數(shù)學(xué)思想”或“數(shù)學(xué)圖形”

【例9】（1）我國數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了勾股定理，該圖中用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方形中的概率是（??????）

A.???????????B.

C.????????????D.

（2）祖暅是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等.?則這兩個幾何體的體積相等.?該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.?橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.?如圖所示，將底面直徑皆為2b，高皆為a的半橢球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上.?以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d處可橫截得到S圓及S環(huán)?兩截面，可以證明S圓=S環(huán)?總成立，據(jù)此，短軸長為4cm，長軸長為6cm的橢球體的體積是________cm3.

【解析】（1）a=3，b=4，由題意得c=5，因為大正方形的邊長為a+b=3+4=7，小正方形的邊長為c=5，則大正方形的面積為49，小正方形的面積為25，所以滿足題意的概率值為1-?=?.

（2）因為總有S圓=S環(huán)，所以半橢球體的體積為V圓柱-V圓錐?=πb2a-?πb2a=?πb2a.?又2a=6，2b=4，即a=3，b=2，所以橢球體的體積V=πb2a=×22×3=16π（cm3）.

【評注】在我國古代的數(shù)學(xué)著作中記載了許許多多的數(shù)學(xué)思想和相關(guān)經(jīng)典定理證明的圖案，隨著數(shù)學(xué)文化試題的熱度不斷攀升，這兩類試題也在不斷融入高考試題之中.

十、取材學(xué)科交融

【例10】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.?為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點L2的軌道運行.?L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.?設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：?+?=（R+r）?.?設(shè)？琢=?，由于？琢的值很小，因此在近似計算中

≈3？琢2，則r的近似值為（??????）

A.??R????B.??R?????C.???R?????D.??R

【解析】由？琢=?，得r=？琢R，因為?+?=（R+r）?，所以?+?=（1+？琢）?，即?=？琢2[（1+？琢）-?]=??≈3？琢2，

解得？琢=?，

所以r=？琢R=?R.

【評注】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立？琢的方程，解方程、近似計算，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查.

十一、取材數(shù)學(xué)模型

【例11】盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，1976年7月28日我國唐山發(fā)生的里氏7.8級地震與2008年5月12日我國汶川發(fā)生的里氏8.0級地震所釋放出來的能量的比值為（??????）

A.?100.3?????????B.?0.3?????????C.?lg?1.3?????????D.?10-0.3

【解析】設(shè)汶川地震所釋放出的能量是E1，唐山地震所釋放出的能量是E2，

則lgE1?=4.8+1.5×7.8=16.5，lgE2?=4.8+1.5×8=16.8，

∴?E1?=1016.5，E2?=1016.8，∴??=10-0.3.

【評注】解決函數(shù)模型應(yīng)用問題一般要經(jīng)過四個步驟;（1）審題：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的文字敘述長，數(shù)量關(guān)系分散且難以把握，因此，要認真讀題，收集整理數(shù)據(jù)信息;（2）建模：運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式（也叫目標函數(shù)）;（3）解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型或目標函數(shù)）予以解答，求得結(jié)果;（4）還原：將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原為實際問題的意義，回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問題.從新高考山東卷的試題來看，這類問題一般會給出相關(guān)模型，要求學(xué)生利用所學(xué)知識進行解決即可.

十二、取材橋梁或徽標

【例12】（1）風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一，風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成，其塔俯視圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形.右下圖是風(fēng)雨橋中塔的俯視圖.?該塔共5層，若B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5?m，A0B0=8?m，這五層正六邊形的周長總和為（??????）

A.?35?m?????????B.?45?m?????????C.?210?m?????????D.?270?m

（2）如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記四邊形OA1A2A3，OA2A3A4，…，OAnAn+1An+2，面積的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，且此數(shù)列的前n項和為Sn，則S15值為（??????）

A.?3?????????B.?6?????????C.???????????D.

【解析】（1），B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5?m，A0B0=8?m.

利用等邊三角形的性質(zhì)可得：B1?A1=7.5，B2?A2?=7，B3?A3?=6.5，B4?A4?=6，

這五層正六邊形的周長總和=6×（8+7.5+7+6.5+6）=210?m.

（2）由題意可得a1?=?=?=

2（?-1），

a2?=?=?=2（?-?），

a3?=?=?=2（2-?），

…，an?=?=?=

2（?-?），

則Sn=2（?-1+?-?+?…?+?-?）=2（??-1），

故S15?=2×（??-1）=6.

【評注】以橋梁建筑為背景考查的數(shù)學(xué)問題，例如著名的“趙州橋”，可考查平面幾何知識也可設(shè)計考查拋物線的標準方程和性質(zhì)，對于會徽會標圖案的考查，所涉及的領(lǐng)域較為寬泛，解題時，要注意圖案內(nèi)部間的數(shù)量關(guān)系.

追蹤訓(xùn)練：

1.?阿波羅尼烏斯（Apollonius，約前262～約前190）是古希臘時期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.?師從于歐幾里得，他結(jié)合前人的研究成果，在沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的支持下，以超越常人的智慧寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》.?該書共八卷，傳下來七卷，其中給出了解析幾何的大部分內(nèi)容的論斷和證明.?在其第七卷《平面軌跡》中提出：如果一個移動的點與兩定點之間距離的比是常量（且不等于1），則它的軌跡是一個圓.?現(xiàn)在已知兩個定點的坐標分別為A（-1，?0），B（2，?0），動點P滿足?=2，則P點軌跡方程為（??????）

A.?x2+y2-6x+5=0?????B.?x2+y2-6x+7=0

C.?x2+y2-10x+7=0????D.?x2+y2-?x+5=0

【解析】設(shè)P（x，?y），由動點P滿足??=?2，得：?=

=2，

化簡得：4（x-2）2+4y2=（x+1）2+y2，整理得：x2+y2-6x+5=0.

2.?上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.?圖2為骨笛測量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖.?圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如表1：

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（??????）

A.?公元前2000年到公元元年

B.?公元前4000年到公元前2000年

C.?公元前6000年到公元前4000年

D.?早于公元前6000年

【解析】由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為？琢，春秋分日光與垂直線夾角為？茁，則？琢-？茁即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

則tan?？琢=?=1.6，tan?？茁=??=?0.66，

tan（？琢-？茁）=?=?≈0.457.

∵?0.455<0.457<0.461，

∴?估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

3.?把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是？茲1℃，空氣的溫度是？茲0℃，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度？茲?℃可由公式？茲=？茲0+（？茲1-？茲0）e-kt求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù).?現(xiàn)有80?℃的物體，放在20?℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是40?℃，則k約等于

（??????）?（參考數(shù)據(jù)：ln?3≈1.099）

A.?0.6?????????B.?0.5?????????C.?0.4?????????D.?0.3

【解析】由題意可得：40=20+（80-20）e-4k，

∴?e-4k=?，

兩邊取對數(shù)可得：-4k=ln??=-ln?3≈-1.099，

∴?k=?≈0.3.

責(zé)任編輯 徐國堅