常娟，杜迎雪，劉衛(wèi)鋒

（鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院，河南鄭州 450046）

0 引言

作為經(jīng)典Zadeh 模糊集［1］的重要推廣，直覺模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS）［2］用隸屬度和非隸屬度分別表示肯定和否定的程度，能更全面地描述模糊信息。IFS 要求隸屬度和非隸屬度之和不大于1，但在決策過程中，往往會出現(xiàn)二者之和大于1 的情況，此時IFS 的決策理論和方法就不再適用。為此，YAGER 等［3-4］在IFS 補運算的基礎上，將隸屬度和非隸屬度的取值范圍由三角形區(qū)域（μ+ν≤1）拓展至14 圓區(qū)域（μ2+ν2≤1），由此提出畢達哥拉斯模糊集（Pythagorean fuzzy set，PFS）。顯然，PFS延續(xù)了IFS 的優(yōu)勢，應用范圍更廣泛。近年來，PFS已成為研究熱點，并取得了豐富的研究成果。其中，ZHANG 等［5-6］給出了PFS 的定義，并定義了畢達哥拉斯模糊集（Pythagorean fuzzy number，PFN）的運算和距離、相似度和比較方法；PENG 等［7］定義了PFN 的除法和減法運算；李德清等［8］比較分析了PFN 的排序方法，并重新定義了PFN 的距離；曾守楨等［9］提出了PFS 的混合加權距離測度。在決策方法方面，文獻［5，8-9］基于不同的距離測度將逼近理想解排序法（technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS）應用于PFN環(huán)境；REN 等［10］研究了在畢達哥拉斯模糊環(huán)境下的TODIM 多屬性決策方法；楊藝等［11］將偏好關系引入PFN，并將其用于群決策問題。在集成算子方面，劉衛(wèi)鋒等［12-13］定義了PFN 加權平均算子和加權幾何算子、擬有序加權算子、交叉影響算子等一系列算子；WU 等［14］、彭定洪等［15］分別提出了畢達哥拉斯模糊Hamacher 算子和Heronian 算子。以上研究是畢達哥拉斯模糊理論的重要內(nèi)容，也為處理不同條件下的決策問題提供了方法。

雖然PFS 克服了直覺模糊集的不足，但并不能刻畫決策者在決策時猶豫不決的狀態(tài)，為此，結合TORRA［16］定義的猶豫模糊集，劉衛(wèi)鋒等［17］定義了畢達哥拉斯猶豫模糊集（Pythagorean hesitation fuzzy set，PHFS）。PHFS 既能刻畫決策者現(xiàn)實的猶豫狀況，又擴充了隸屬度和非隸屬度的范圍，因此在決策理論和實際應用中具有重要意義。最近，關于PHFS 的研究取得了一些新成果，劉衛(wèi)鋒等［17-18］提出了畢達哥拉斯猶豫模糊數(shù)（Pythagorean hesitation fuzzy number，PHFN），并定義了PHFN 的運算、比較方法、加權集成算子和相關測度；WEI 等［19-21］研究了畢達哥拉斯猶豫模糊Hamacher 集成算子、Hamy 平均算子和Bonferroni 平均算子；LIANG等［22］研究了畢達哥拉斯猶豫模糊TOPSIS 法；此外，KHAN 等［23］也提出了PHFS，但其本質為IFS 在畢達哥拉斯模糊環(huán)境中的推廣，與劉衛(wèi)鋒等［17］提出的PHFS 不全相同。可見，PHFS 的理論成果已日趨豐富，但以上成果偏重于集成算子理論，涉及距離測度研究的文獻較少，文獻［22］僅研究了PHFN 的距離，并未涉及PHFS 的距離測度，而距離測度是反映模糊集間差異程度的重要工具，有重要的理論價值，因此，關于PHFS 的距離測度研究，特別是涉及元素權重和位置權重的距離測度研究是非常必要的。

受文獻［9，24-25］啟發(fā)，本文從有序加權角度研究PHFS 的距離測度，同時在兼顧屬性權重的基礎上，定義廣義PHFS 混合加權距離測度（DGPHFHWA），研究其特殊形式和性質。此外，針對屬性值為PHFN 且權重未知的多屬性決策問題，通過指數(shù)熵確定屬性權重，并提出基于DGPHFHWA的多屬性決策方法。最后，通過算例及方法對比說明本文方法的可行性和合理性。

1 相關概念

根據(jù)YAGER 等［3-4］提出的PFS 隸屬度的特點，ZHANG 等［5］給出PFS 的定義。

2 廣義PHFS 混合加權距離測度

為定義2 個PHFS 的距離測度，首先定義PHFN 的距離，設α=。一般情況下集合的基數(shù)是不相等的，即|，為確保計算的合理性，以上集合應具有相同的基數(shù)。針對此問題，考慮決策者不同的風險偏好，XU 等［26］提出，拓展基數(shù)小的集合，通過添加元素使2 個集合的基數(shù)相等，具體為：

（1）樂觀角度，在基數(shù)小的集合中添加多個大元素；

（2）悲觀角度，在基數(shù)小的集合中添加多個小元素。

通過以上處理，給出以下猶豫模糊集的距離測度。

3 基于DGPHFHWA的PHF 決策方法

在多屬性決策問題中，當邀請多位專家確定隸屬度和非隸屬度信息時，決策數(shù)據(jù)往往難以達成一致，而且容易出現(xiàn)最大隸屬度和非隸屬度之和大于1 的情況。針對此問題，用PHFN 表示屬性值，既可以擴充隸屬度和非隸屬度的范圍，又可以完整體現(xiàn)決策數(shù)據(jù)，避免信息丟失。因此，研究屬性值為PHFN 的多屬性決策問題具有實際意義。

4 決策應用

4.1 決策算例

例1近年來，隨著我國移動設備的普及和信息技術的快速發(fā)展，電子商務得到了迅猛發(fā)展，我國已成為全球電子商務的引領者。物流作為實現(xiàn)電子商務的重要環(huán)節(jié)，不僅承擔著大部分成本，也是實體商品和客戶之間最直接的溝通環(huán)節(jié)，因此電子商務的成敗與物流質量密不可分。設某電子商務公司因業(yè)務發(fā)展，需要選擇合適的物流公司，現(xiàn)有4 個物流公司｛A1，A2，A3，A4｝可供選擇。通過邀請相關領域的專家，從經(jīng)營狀況（e1）、信息化水平（e2）、設備設施（e3）、管理與服務（e4）4 個指標對各物流公司進行評估。各物流公司在各指標下的評估信息用PHFN表示。例如：每位專家分別用［0，1］間的數(shù)字評估對公司A1經(jīng)營狀況（e1）的滿意度和不滿意度，滿意度分值越高表示越滿意，不滿意度分值越高表示越不滿意。因為不同的專家意見可能不一致，最終評定滿意度為0.3 和0.8，不滿意度為0.4。故A1在屬性指標e1下的評估值用PHFNα11=表示。類似地，可確定其他指標值αij，i=1，2，3，4，j=1，2，3，4，具體如表1 所示。

表1 畢達哥拉斯猶豫模糊決策矩陣Table 1 Pythagorean hesitant fuzzy decision matrix

步驟1由于各指標值均屬于效益型，故不需要對決策矩陣進行規(guī)范化處理。由定義11，計算各屬性信息的指數(shù)熵，得

表2 處理后的畢達哥拉斯猶豫模糊決策矩陣Table 2 The processed Pythagorean hesitant fuzzy decision matrix

4.2 算例分析

首先，考慮DGPHFHWA算子中參數(shù)λ的取值對決策結果的影響，當λ取不同值時，所得排序結果如表3 所示。可知：（1）當λ→0 和λ=0.2 時，排序結果均為A1?A3?A4?A2，而當λ≥0.5 時，排序結果為A3?A1?A4?A2，λ值確實對排序結果產(chǎn)生了影響；（2）隨著λ的增大，A1，A3，A4的貼近度有不同程度減小，而A2的貼近度逐漸增大，當λ≥0.5 時，排序結果呈穩(wěn)定狀態(tài)，但方案間的區(qū)分度隨λ的增大而減?。唬?）在所有排序中，A2均為最劣，這與表1 中A2的各項屬性值相對較弱這一實際情況一致?？梢?，基于DGPHFHWA測度的決策方法具有一定的靈活性和較強的穩(wěn)定性，可滿足決策者的目的和需求。

其次，如果在步驟4 中將DGPHFHWA替換為DPHFWA或DPHFOWA，其排序結果如表3 所示?？梢?，這2 個距離測度所得結果各不相同，且均與DGPHFHWA有差別。這是由于DPHFWA僅考慮屬性權重，而DPHFOWA僅考慮位置權重，二者在集成數(shù)據(jù)時角度不同。基于DGPHFHWA的決策方法可兼顧屬性權重和位置權重，集成結果更為全面、合理。

文獻［17］所提出的基于畢達哥拉斯猶豫集成算子的方法得到的排序結果為A3?A4?A1?A2，文獻［18］基于相似度的方法得到的排序結果為A3?A1?A4?A2，這2 種結果在表3 中均有體現(xiàn)，說明本文所提方法更具一般性。值得注意的是，在λ≥0.5 時文獻［18］基于相似度的方法與本文方法的排序結果相同，這是由于相似度和距離測度為模糊集關系的2 個重要度量，均可用于描述模糊集的差異性。

表3 不同距離測度下的排序結果Table 3 Ranking results under different distance measures

5 結束語

在PHFN 的距離基礎上，定義了廣義PHFS 混合加權距離測度（DGPHFHWA）。該距離測度既考慮元素的重要性，又可通過選定位置權重，避免數(shù)據(jù)過大或過小對結果造成影響，從而提高PHFS 之間測度結果的科學性。其次，針對屬性值為PHFN 的多屬性決策問題，利用畢達哥拉斯猶豫模糊指數(shù)熵確定屬性權重，并提出基于廣義PHFS 混合加權距離測度的決策方法，該方法可通過選取參數(shù)λ，滿足決策者的不同目的和需求。通過算例分析和方法對比，得到本文方法是合理的，其結果更具一般性，可為決策者提供更多的決策機會。值得注意的是，DGPHFHWA不僅適用于TOPSIS 法，還可應用于如投影法、冪集成算子等決策方法，以及群決策問題等，具有一定的應用價值。綜上，文中所提的DGPHFHWA和決策方法是對畢達哥拉斯猶豫模糊決策理論的補充。如何定義不受決策者態(tài)度影響，且直接反映畢達哥拉斯猶豫模糊原始信息的距離測度，是值得進一步研究和探討的問題。