孔德財，劉長平，崔杰

（1.淮陰工學(xué)院管理工程學(xué)院，江蘇淮安 223003；2.江蘇省智能工廠工程研究中心，江蘇淮安 223003）

0 引言

隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展以及城市生活和工作節(jié)奏的加快，居民對家政服務(wù)呈多樣性需求；與此同時，農(nóng)村人口不斷涌入城市，大學(xué)畢業(yè)生逐年增加，在加劇就業(yè)壓力的同時也在一定程度上擴大了家政服務(wù)人員的規(guī)模，由此促進了我國家政服務(wù)行業(yè)的迅猛發(fā)展［1-2］。然而，長期制約家政服務(wù)行業(yè)蓬勃發(fā)展的重要問題之一是，即便雇主給出高工資有時也難以雇到合適的家政服務(wù)人員，而家政服務(wù)人員也經(jīng)常因難以找到滿意工作而苦惱，具體體現(xiàn)在雇主的高解雇率和家政服務(wù)人員的高辭職率［3］。雇主和家政服務(wù)人員間無法實現(xiàn)相對穩(wěn)定的匹配狀態(tài)，是造成當(dāng)前家政服務(wù)市場混亂無序的重要原因之一。因此，考慮雇主和家政服務(wù)人員的雙方需求，獲得雙方穩(wěn)定匹配，降低搜尋成本，提高匹配滿意度，對于維護家政服務(wù)市場秩序，促進家政服務(wù)行業(yè)的健康發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義。

GALE 等［4］在研究男女婚戀匹配和大學(xué)錄取問題時，首次提出穩(wěn)定匹配概念，并給出了獲得穩(wěn)定匹配的延遲接受算法。ROTH［5］采用實證研究方法，對比了英國國民健康服務(wù)（NHS）在不同地區(qū)的實習(xí)生招聘制度，證實了穩(wěn)定匹配機制的重要性。SHAPLEY 和ROTH 因在穩(wěn)定匹配理論及機制設(shè)計實踐方面的貢獻，被授予2012 年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。關(guān)于穩(wěn)定匹配理論的研究和應(yīng)用目前已從男女婚戀匹配、大學(xué)錄取、醫(yī)院和實習(xí)生匹配［6-9］等傳統(tǒng)匹配市場擴展至其他服務(wù)行業(yè)。BARRON 等［10］針對國際貨幣基金組織中的人員與部門匹配機制缺陷，提出了采用基于延遲接受算法的集中化穩(wěn)定匹配機制。KORKMAZ 等［11］為解決軍隊中人員類型與崗位匹配問題，構(gòu)建了基于層次分析法和穩(wěn)定匹配算法的決策支持系統(tǒng)。GHAROTE 等［12］采用集中化穩(wěn)定匹配機制研究了實習(xí)生與軟件項目需求間的匹配問題，針對軟件項目需求具有任意長度無差異偏好列表的特點，建立了再培訓(xùn)和重新安置成本最小化的優(yōu)化模型，并設(shè)計了基于GRASP 的散射搜索算法求解大規(guī)模問題。PENG 等［13］針對干散貨航運市場中船舶與貨物之間的匹配問題，構(gòu)建了以船貨總體效用最大為目標的優(yōu)化穩(wěn)定匹配模型，開發(fā)了基于Gale-Shapley 算法的價格博弈機制，研究由托運人主導(dǎo)的市場、由承運人主導(dǎo)的市場和均衡市場3 種情景，結(jié)果表明，如果弱勢參與者以價格博弈機制出價，即使他們處于劣勢也可能獲得更多收益。袁鐸寧等［14］針對手術(shù)醫(yī)生和擇期手術(shù)患者的一對多雙邊匹配問題，構(gòu)建了滿足期望水平的醫(yī)患穩(wěn)定匹配方案的多目標優(yōu)化模型。李銘洋等［15］針對具有屬性期望的多屬性雙邊匹配問題，依據(jù)行為決策理論中的失望理論，構(gòu)建了以雙方主體感知效用最大化為目標的多目標穩(wěn)定匹配模型。

雖然關(guān)于穩(wěn)定匹配理論的研究取得了一些成果，有些甚至已被應(yīng)用于現(xiàn)實生活［16-19］，但目前尚未見關(guān)于家政服務(wù)人員和雇主的穩(wěn)定匹配研究。因此，關(guān)于家政服務(wù)人員和雇主的穩(wěn)定匹配研究具有一定的理論意義和實際應(yīng)用價值。基于此，筆者在已有穩(wěn)定匹配理論基礎(chǔ)上，提出一種考慮服務(wù)技能約束的家政服務(wù)雙邊穩(wěn)定匹配方法。

1 問題描述

用HSM(a，b，c，d)表示家政服務(wù)人員與雇主的雙邊匹配問題，其中，a表示一名家政服務(wù)人員可以匹配的雇主最大數(shù)量；b表示雇主需要的家政服務(wù)人員最大數(shù)量；c表示家政服務(wù)人員擁有的家政服務(wù)技能數(shù)量；d表示雇主需要的家政服務(wù)技能數(shù)量。本文研究HSM(1，1，n，1)，即一名家政服務(wù)人員最多可以為一名雇主服務(wù)，一名雇主只雇傭一名家政服務(wù)人員，家政服務(wù)人員擁有多項服務(wù)技能而每名雇主只需要一項服務(wù)技能。

設(shè)W={W1，W2，…，Wm}為m名家政服務(wù)人員組成的集合，其中Wi代表第i名家政服務(wù)人員，i=1，2，…，m；E={E1，E2，…，En}為n名雇主組成的集合，其中Ej代表第j名雇主，j=1，2，…，n。在雇主雇傭家政服務(wù)人員時，家政服務(wù)人員擁有的服務(wù)技能只有在滿足雇主需要的服務(wù)技能時，二者才可能實現(xiàn)最終匹配，因此，需考慮技能匹配約束。設(shè)S={S1，S2，…，Sl}為家政服務(wù)技能集合，其中Sk代表第k項服務(wù)技能，k=1，2，…，l。家政服務(wù)人員具備的技能記為矩陣P=[pik]m×l，其中pik=0 或1。pik=0 表示家政服務(wù)人員Wi不具備第k項技能；pik=1 表示家政服務(wù)人員Wi具備第k項技能，i=1，2，…，m，k=1，2，…，l。雇主需要的服務(wù)技能記為矩陣Q=[qjk]n×l，其中qjk=0 或1。qjk=0 表示雇主Ej不需要第k項服務(wù)技能，qjk=1 表示雇主Ej需要第k項服務(wù)技能，j=1，2，…，n，k=1，2，…，l。

在家政服務(wù)人員與雇主的雙邊匹配問題中，雇主不僅對家政服務(wù)人員的服務(wù)技能有要求，還會依據(jù)家政服務(wù)人員的性別、年齡、工作經(jīng)驗等進行總體評價，并對家政服務(wù)人員進行偏好排序。同樣，家政服務(wù)人員在選擇雇主時也會考慮工資待遇、工作環(huán)境、工作地點等，并進行相應(yīng)的雇主偏好排序。家政服務(wù)人員Wi對雇主Ej的偏好排序記為矩陣R=[rij]m×n，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n，其中rij∈{1，2，…，n+1}，若rij∈{1，2，…，n}，則表示家政服務(wù)人員Wi將Ej排在第rij位；若rij=n+1，則表示對家政服務(wù)人員Wi而言，雇主Ej是不可接受的。雇主Ej給出的家政服務(wù)人員Wi的偏好排序記為矩陣T=[tij]m×n，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n，其中tij∈{1，2，…，m+1}，若tij∈{1，2，…，m}，則表示雇主Ej將家政服務(wù)人員Wi排在第tij位；若tij=m+1，則表示對雇主Ej而言，家政服務(wù)人員Wi是不可接受的。若家政服務(wù)人員Wi給出的雇主Ej的序值rij越小，則Wi對Ej越滿意，反之亦然；類似地，若雇主Ej給出的家政服務(wù)人員Wi的序值tij越小，則Ej對Wi越滿意，反之亦然。

下面給出偏好可接受對、技能可接受對、可行技能約束匹配、技能約束阻塞對、技能約束穩(wěn)定匹配等定義。

定義1（偏好可接受對）在HSM(1，1，n，1)中，對于任意的Wi∈W，Ej∈E，若(Wi，Ej)∈W×E滿足rij≠n+1 且tij≠m+1，則稱(Wi，Ej)為偏好可接受對；否則，稱(Wi，Ej)為偏好不可接受對。

在HSM(1，1，n，1)中，若家政服務(wù)人員所具備的技能能滿足雇主需求，則稱家政服務(wù)人員和雇主為技能可接受對；否則，稱家政服務(wù)人員和雇主為技能不可接受對。

定義2（技能可接受對）在HSM(1，1，n，1)中，對于任意的Wi∈W，Ej∈E，若(Wi，Ej)∈W×E滿足=1，則稱(Wi，Ej)為技能可接受對；否則，稱(Wi，Ej)為技能不可接受對。

定義3（可行技能約束匹配）設(shè)μ是HSM(1，1，n，1)中的一對一雙邊匹配，若對于任意的(Wi，Ej)∈μ都是偏好可接受對，且均為技能可接受對，則稱匹配方案μ為可行技能約束匹配。

在匹配方案μ中，若家政服務(wù)人員Wi和雇主Ej均認為對方優(yōu)于其在匹配方案μ中的匹配對象，且Wi滿足Ej的服務(wù)技能需求，則稱(Wi，Ej)是技能約束阻塞對。

定義4（技能約束阻塞對）在HSM(1，1，n，1)中，設(shè)家政服務(wù)人員與雇主的一對一雙邊匹配μ：W∪E→W∪E，在匹配方案μ中，對于任意的Wi∈W，Ej∈E，若偏好可接受對(Wi，Ej)同時滿足以下條件：

則稱(Wi，Ej)是匹配方案μ的技能約束阻塞對。

定義5（技能約束穩(wěn)定匹配）在HSM(1，1，n，1)中，設(shè)家政服務(wù)人員與雇主的一對一雙邊匹配μ：W∪E→W∪E，若匹配方案μ是可行技能約束匹配，且μ中不存在技能約束阻塞對，則稱匹配方案μ為技能約束穩(wěn)定匹配。

本文的目的是依據(jù)家政服務(wù)人員具備的技能P=[pik]m×l和雇主需要的技能Q=[qjk]n×l，以及家政服務(wù)人員和雇主的偏好信息R=[rij]m×n和T=[tij]m×n，采用雙邊匹配決策方法，獲得雙方的最優(yōu)技能約束穩(wěn)定匹配方案。

2 技能約束穩(wěn)定匹配決策方法

2.1 家政服務(wù)人員和雇主的滿意度計算

家政服務(wù)人員的滿意度記為矩陣A=[αij]m×n，雇主的滿意度記為矩陣B=[βij]m×n，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。在現(xiàn)實的家政服務(wù)人員與雇主的雙邊匹配過程中，由于受家政服務(wù)人員的心理行為影響，使得其對雇主的滿意度與偏好排序值之間呈非線性關(guān)系。例如，對排在第1 位的雇主滿意度可能為1，對排在第2 位的雇主滿意度為0.95，對排在第3 位的雇主滿意度為0.75，等等。類似地，雇主對家政服務(wù)人員的滿意度與偏好排序值之間也存在類似的非線性關(guān)系。因此，為更準確地刻畫家政服務(wù)人員和雇主的滿意度，給出了家政服務(wù)人員Wi對雇主Ej滿意度的計算式：

其中，M為足夠大的正數(shù)，πi表示家政服務(wù)人員Wi不可接受的雇主數(shù)量。

雇主Ej對家政服務(wù)人員Wi的滿意度計算式為

其中，ηj表示雇主Ej不可接受的家政服務(wù)人員數(shù)量。

在式（1）和式（2）中，家政服務(wù)人員和雇主的滿意度是關(guān)于序值的嚴格單調(diào)遞減非線性函數(shù)。如果家政服務(wù)人員Wi認為雇主Ej是可接受的，則0 ＜αij≤1；如果家政服務(wù)人員Wi認為雇主Ej是不可接受的，則αij=-M。雇主對家政服務(wù)人員的情況類似。

2.2 模型

依據(jù)家政服務(wù)人員的滿意度A=[αij]m×n和雇主的滿意度B=[βij]m×n，建立以家政服務(wù)人員和雇主總體滿意度最大化為目標的數(shù)學(xué)模型。設(shè)xij為0-1 型決策變量，xij=1 表示家政服務(wù)人員Wi與雇主Ej形成匹配對；否則，xij=0。進一步，可構(gòu)建0-1 型雙目標整數(shù)規(guī)劃模型，見式（3）～式（11）。

其中，式（3）和式（4）為目標函數(shù)，式（3）表示最大化家政服務(wù)人員的滿意度，式（4）表示最大化雇主的滿意度。式（5）～式（11）為約束條件，式（5）和式（6）為匹配數(shù)量約束，式（5）表示一名雇主最多需要一名家政服務(wù)人員，式（6）表示一名家政服務(wù)人員最多為一名雇主提供服務(wù)，式（7）為偏好可接受對約束，保證進行匹配的家政服務(wù)人員和雇主是偏好可接受的，式（8）為技能可接受對約束，保證在家政服務(wù)人員和雇主進行匹配時滿足服務(wù)技能約束，式（9）為技能約束穩(wěn)定匹配的約束條件，其中M是足夠大的正數(shù)，式（10）保證只有可接受對才能成為技能約束穩(wěn)定匹配，式（11）為決策變量取值約束。

對于任意的HSM(1，1，n，1)，設(shè)由式（3）～式（11）的可行解構(gòu)成的穩(wěn)定匹配集合為Ω，HSM(1，1，n，1)的所有穩(wěn)定匹配構(gòu)成的集合為U。

引理1在式（3）～式（11）中，任意一個可行解對應(yīng)的匹配方案都是HSM(1，1，n，1)的技能約束穩(wěn)定匹配，Ω?U。

證明設(shè)在式（3）～式（11）中，任意一個可行解為X=[xij]m×n，i∈{1，2，…，m}，j∈{1，2，…，n}，與可行解X對應(yīng)的匹配方案為μ。將式（5）和式（6）作為匹配數(shù)量約束，以保證了家政服務(wù)人員與雇主的一對一雙邊匹配，即一名家政服務(wù)人員最多與一名雇主匹配，一名雇主最多與一名家政服務(wù)人員匹配。因此，μ是HSM(1，1，n，1)中的一對一雙邊匹配。式（7）和式（8）分別為偏好可接受對約束和技能可接受對約束，保證了μ是可行技能約束匹配。

為證明式（9）能夠保證可行技能約束匹配μ是技能約束穩(wěn)定匹配，可證明滿足式（9）中的由任意的Wi∈W和Ej∈E組成的(Wi，Ej)不是技能約束阻塞對。若(Wi，Ej)是偏好不可接受對，即τij=1，則式（9）必成立，顯然(Wi，Ej)不是技能約束阻塞對。若(Wi，Ej)是技能不可接受對，即=0，則式（9）必成立，顯然(Wi，Ej)不是技能約束阻塞對。

下證若(Wi，Ej)是偏好可接受對和技能可接受對，則式（9）保證(Wi，Ej)不是技能約束阻塞對。

若(Wi，Ej)是偏好可接受對，即τij=0，則式（9）可化簡為

引理2在HSM(1，1，n，1)中，任意一個技能約束穩(wěn)定匹配都是式（3）～式（11）的可行解，即U?Ω。

證明設(shè)μ是HSM(1，1，n，1)中的技能約束穩(wěn)定匹配方案。對于任意的Wi∈W，Ej∈E，若(Wi，Ej)∈μ，則令xij=1；否則，令xij=0。由于μ是一對一雙邊匹配，Wi和Ej無匹配對象或最多有一個匹配對象，因此，式（5）和式（6）成立。此外，由定義5 可知，μ中的匹配對均為偏好可接受對和技能可接受對，因此，式（7）和式（8）必成立。

下證技能約束穩(wěn)定匹配μ對應(yīng)的模型解滿足式（9）。

因此，在xij=0 且(Wi，Ej)是偏好可接受對和技能可接受對情形下，若(Wi，Ej)不是匹配方案μ的技能約束阻塞對，則式（9）必成立。由此可證，在技能約束匹配方案μ中，對于任意的Wi∈W，Ej∈E，均能使式（9）成立。

綜上可知，任何一個技能約束穩(wěn)定匹配都是式（3）～式（11）的可行解，即U?Ω。

證畢。

由引理1 和引理2，易得

定理1對于任意給定的HSM(1，1，n，1)，均有Ω=U。

2.3 模型求解

式（3）～式（11）是雙目標的0-1 整數(shù)規(guī)劃模型，本文采用ε-約束算法求解［20?21］。其基本思想是將其中1 個目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為約束條件，從而將雙目標優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為單目標優(yōu)化模型進行求解。

下面以目標函數(shù)Z2作為約束條件，說明ε-約束算法的具體流程。

令S為目標函數(shù)值集合，迭代步長為θ。

步驟5刪除S中被占優(yōu)的點，獲得帕累托前沿，算法結(jié)束。

依據(jù)ε-約束算法理論，式（17）～式（25）的每個最優(yōu)解都是式（3）～式（11）的帕累托解，因此，用上述算法通過不斷迭代，可獲得式（3）～式（11）的帕累托前沿。

3 算例分析

某專業(yè)、正規(guī)、服務(wù)管理體系完善的家政服務(wù)機構(gòu)，可提供保姆、醫(yī)療陪護、月嫂、育嬰師、鐘點工、管家等家政服務(wù)。在一段時間內(nèi)有8 名家政服務(wù)人員{W1，W2，…，W8}通過網(wǎng)絡(luò)平臺或中介門店尋找工作，每名家政服務(wù)人員都希望尋找一份合適的工作；有8 名雇主{E1，E2，…，E8}通過網(wǎng)絡(luò)平臺或中介門店尋求家政服務(wù)人員，每名雇主只雇傭一名家政服務(wù)人員。8 名家政服務(wù)人員掌握的技能包括做飯保潔、醫(yī)療陪護、月嫂、家庭護理、育嬰護理5 種，分別用S1，S2，S3，S4，S5表示，每名家政服務(wù)人員掌握其中的一項或幾項技能，8 名家政服務(wù)人員掌握的具體技能和8 名雇主需要的服務(wù)技能分別為

家政服務(wù)人員依據(jù)8 名雇主提供的工資待遇、食宿條件、工作環(huán)境等對各項指標進行總體評價并給出偏好排序值R=[rij]8×8。雇主依據(jù)8 名家政服務(wù)人員的工作經(jīng)驗、年齡、技能水平等對各項指標進行總體評價并給出偏好排序值T=[tij]8×8。

由式（1）和式（2），分別得到家政服務(wù)人員和雇主的滿意度為

依據(jù)家政服務(wù)人員滿意度和雇主滿意度，建立式（3）～式（11）所示的雙目標優(yōu)化模型，并采用ε-約束算法求解模型。取迭代步長θ=0.1，以目標函數(shù)Z2為約束條件進行求解：

最后，對模型進行迭代求解，得到帕累托最優(yōu)解和對應(yīng)的目標函數(shù)值，見表1。

表1 技能約束穩(wěn)定匹配方案Table 1 Skill constraints stable matching schemas

家政服務(wù)中介機構(gòu)可根據(jù)實際情況從中選擇最優(yōu)穩(wěn)定匹配結(jié)果。例如，若選擇家政服務(wù)人員最滿意的穩(wěn)定匹配，則為方案μ1；若選擇雇主最滿意的穩(wěn)定匹配，則為方案μ6；若選擇雙方滿意度差值最小的穩(wěn)定匹配，則為方案μ2。

4 結(jié)論

針對家政服務(wù)行業(yè)中家政服務(wù)人員與雇主的雙邊匹配問題，提出了一種基于穩(wěn)定匹配理論的雙邊匹配決策方法，主要貢獻體現(xiàn)在：（1）針對家政服務(wù)市場需考慮技能匹配約束的特點，給出了技能約束穩(wěn)定匹配的定義；（2）給出了匹配雙方序值與滿意度的非線性計算式；（3）構(gòu)建了考慮穩(wěn)定性和滿意度的技能約束匹配優(yōu)化模型，并證明了模型的合理性。提出的決策方法彌補了已有家政服務(wù)人員與雇主雙邊匹配中未考慮匹配穩(wěn)定性不足的問題，為解決現(xiàn)實家政服務(wù)行業(yè)中雇主的高解雇率和家政服務(wù)人員的高辭職率問題提供了一種新方法和新途徑。