■徐 艷

一、學(xué)情分析

本節(jié)課為習(xí)題課，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了一次函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系有了一定的認(rèn)識，能夠初步解讀一次函數(shù)的圖像，并能運用讀取的信息，數(shù)形結(jié)合地解決簡單的實際問題。但學(xué)生對函數(shù)圖像的解讀大多停留在較為無序的感知階段，對復(fù)雜情境中的函數(shù)圖像，難以準(zhǔn)確地讀取信息，因而無法順利地解決問題。

該從哪些角度層層解讀，從而獲取足夠多的信息，再結(jié)合函數(shù)與方程、不等式等模型的關(guān)系來解決問題呢？本節(jié)課嘗試以問題驅(qū)動探究，從不同維度逐層深入地解讀一次函數(shù)圖像，從而幫助學(xué)生順利地解決函數(shù)類問題。

二、教學(xué)實錄

問題1某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時，洗衣機(jī)中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖1所示。根據(jù)圖像解答下列問題：

（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機(jī)中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升。

①求排水時水量y與x之間的表達(dá)式；

②如果排水時間為2分鐘，求排水結(jié)束時，洗衣機(jī)中剩下的水量。

圖1

師：讀圖，首先請根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生1：根據(jù)題意，x表示洗衣機(jī)工作的時間，y表示洗衣機(jī)中的水量，函數(shù)圖像表示工作時洗衣機(jī)中的水量與工作時間之間的關(guān)系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？水量隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生2：從變化過程來看，第一階段，洗衣機(jī)中的水量隨著時間的增加而增加，即進(jìn)水階段；接著一段時間內(nèi)，水量保持不變，即清洗階段；最后，水量隨著時間的增加而減少，即排水階段。

師：很好！下面我們從幾個具體的維度來解讀這個函數(shù)的圖像。

維度1圖中有哪些點是已知的？它們對應(yīng)的實際意義是什么？

生3：圖中已知的點有（0，0）、（4，40）、（15，40）。其中（0，0）表示洗衣機(jī)沒有開始工作時，水量為0；（4，40）表示洗衣機(jī)開始工作（進(jìn)水）4分鐘時，水量為40升；（15，40）表示洗衣機(jī)工作15分鐘（并不是清洗15分鐘）時，水量仍為40升。

維度2圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達(dá)式的？

生4：圖中第一階段的線段（0≤x≤4）上有兩個已知點（0，0）、（4，40），因此，我們可以用待定系數(shù)法直接求得其對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=10x；第二階段的線段（4＜x≤15）對應(yīng)的關(guān)系式為y=40；第三階段的線段（x＞15）因為只有一個已知點，所以我們無法用待定系數(shù)法直接求得其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。

維度3根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一階段水量變化的速度，然后具體地描述這次洗衣服的過程中，洗衣機(jī)水量的變化情況嗎？

生5：前4分鐘，水量均勻增加，洗衣機(jī)處于進(jìn)水狀態(tài)，4分鐘進(jìn)水40升，因此，進(jìn)水的速度為40÷4=10（升/分鐘）；4—15分鐘這11分鐘內(nèi)，洗衣機(jī)處于清洗狀態(tài)，水量保持40升不變；15分鐘后，水量均勻減少，洗衣機(jī)處于排水狀態(tài)，排水速度為每分鐘19升（已知）。

師：水能完全排空嗎？相應(yīng)的圖像有什么特征呢？

生6：水并不能完全排空，最后的水量要經(jīng)過脫水才能為0，因此，圖像到最后并沒有與x軸相交。

維度4根據(jù)維度3中描述的實際變化情況，你能設(shè)法求出洗衣機(jī)排水狀態(tài)所對應(yīng)的第三階段線段的函數(shù)表達(dá)式嗎？

生7：可以用待定系數(shù)法。但這里只有一個點，無法確定k、b啊，因此，我們還需要再知道一個點的坐標(biāo)。

師：再找哪一點呢？讀題，根據(jù)“排水速度為每分鐘19升”，你可以得到什么啟發(fā)呢？

生8：可以求得當(dāng)x=16（即排水1分鐘）時，水量為40-19×1=21（升），由此可得第二個點（16，21）。由點（16，21）、（15，40），可用待定系數(shù)法求得對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為y=-19x+325。

生9：或者求出排水2分鐘后的水量，同樣可求得函數(shù)表達(dá)式，同時完成第（2）②問。

生10：也可以用虛線延長線段與x軸相交，求得交點橫坐標(biāo)為，從而確定交點坐標(biāo)為，進(jìn)而用待定系數(shù)法求得函數(shù)表達(dá)式。

師：大家根據(jù)題中“排水速度為每分鐘19升”這一信息，找出了1分鐘后、2分鐘后、如果能排光等多個不同的點，這些點都可以用來求函數(shù)表達(dá)式，非常好！

生11：我覺得可以不用待定系數(shù)法，根據(jù)實際意義就可以直接列式。由題意，排水時的水量=排水前清洗時的水量-排出的水量，用式子表示即為y=40-19×（x-15），化簡得y=-19x+325。

師：特別地，每一段水量變化的速度，與對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式中的│k│完全一致。水量增加，k為正數(shù)；水量減少，k為負(fù)數(shù)。從第一階段圖像對應(yīng)水量變化速度為每分鐘10升，即可知道該段圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中的k=10；由排水階段的水量減少速度為19，即可知道該段圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中的k=-19。反之，已知k，也就知道了變化速度。

用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式是常規(guī)解法，而根據(jù)實際意義找到數(shù)量關(guān)系，再直接列式表示函數(shù)表達(dá)式顯得更簡便，在一次函數(shù)類問題中也非常實用。但這要求學(xué)生善于思考，能將函數(shù)問題回歸實際數(shù)量關(guān)系。

問題2快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛。圖2中折線表示快、慢兩車之間的距離y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系。小欣同學(xué)結(jié)合圖像得出如下結(jié)論：①快車途中停留了0.5h；②快車速度比慢車速度快20km/h；③圖中a=340；④快車先到達(dá)目的地。其中正確的是（ ）。

圖2

師：讀圖，首先請根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生12：根據(jù)題意可知x表示兩車出發(fā)后行駛的時間，y表示兩車之間的距離，函數(shù)圖像表示兩車之間的距離與行駛時間之間的關(guān)系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？兩車之間的距離隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生（思考、討論、交流、陳述）：從變化過程來看，第一階段兩車之間的距離隨著時間的增加而減小，即相向而行直到相遇；接著的0.5h內(nèi)距離一直為0，即兩車相遇后停留休息；然后兩車距離隨著時間的增加而增大，但很顯然，變化的速度比兩車相向而行時慢得多，說明只有一輛車在行駛，另一輛車原地不動；接著兩車之間的距離隨著時間增加而增大，目測變化速度與相向而行時一致，可見兩車均以原速背向行駛；最后一小段圖像，兩車之間的距離變化速度再次變小，表明有一輛車到了，僅另一輛車在行駛，最終到達(dá)各自終點。

師：大家描述的運動過程很清晰，下面從幾個具體的維度來解讀這個函數(shù)的圖像。

維度1 圖中有哪些點是已知的？它們對應(yīng)的實際意義是什么？

生13：圖中已知的點有（0，360）、（2，0）、（2.5，0）、（3.6，88）、（5.2，360）。其中（0，360）表示準(zhǔn)備出發(fā)時兩車相距360km，說明兩地之間的距離為360km；（2，0）表示2h后兩車相遇；（2.5，0）表示2.5h起，其中一輛車準(zhǔn)備出發(fā)；（3.6，88）表示3.6h時，兩車之間距離為88km，此時另一輛車準(zhǔn)備出發(fā)；（5.2，360）表示5.2h時，兩車各自均已到達(dá)終點。另外，（5，a）表示自出發(fā)行駛到5h時，兩車相距akm，其中一輛車到達(dá)終點。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達(dá)式的？

生14：根據(jù)維度1讀出的已知點可知，0≤x≤2、2＜x≤2.5、2.5＜x≤3.6這三段圖像的函數(shù)表達(dá)式可以直接由待定系數(shù)法求得，后兩段圖像由于a未知，暫不能直接求得函數(shù)表達(dá)式。

維度3 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一段路程變化對應(yīng)的速度，然后具體地描述這段行程嗎？

生15：兩車開始相距360km，2h后相遇，由此可知兩車速度之和為360÷2=180（km/h）；2h—2.5h，兩車相遇后距離一直為0，兩車停住休息；2.5h—3.6h這1.1h，兩車間距均勻增大為88km，因此變化速度為88÷1.1=80（km/h），顯然是慢車的速度，由此可知快車的速度為180-80=100（km/h）；3.6h—5h，兩車間距變化的速度變大，變得和最初2h的速度相當(dāng)，即為180km/h，故而求得a=88+180×（5-3.6）=340（km）；5—5.2h，0.2h的間距變化為360-340=20（km），因此速度為20÷0.2=100（km/h），即只有快車在行駛，慢車已于5h時到達(dá)終點；5.2h時，快車也到達(dá)終點。

師：至此，本題所有答案都已解鎖。

維度4 根據(jù)維度3中描述的實際變化情況，你能設(shè)法求出3.6＜x≤5、5＜x≤5.2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式嗎？

生16：由維度3可知，3.6h—5h，兩車間距變化的速度為180km/h，因此本段函數(shù)式中的k=180，兩車間距離=3.6h時的間距+增加的距離，即y=88+180×（x-3.6）。當(dāng)x=5時，可得a=y=88+180×（5-3.6）=340。由待定系數(shù)法求得當(dāng)5＜x≤5.2時，函數(shù)表達(dá)式為y=100x-160；由實際意義可知，此時兩車之間的距離為5h時兩車間距離+快車單獨行駛的路程，即y=340+100（x-5）。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課，在探究兩個問題的解題過程中，4個維度的問題設(shè)計分別為：維度1，引導(dǎo)學(xué)生探究關(guān)鍵點；維度2，探究關(guān)鍵線段；維度3，定量地探究實際變化過程；維度4，用數(shù)學(xué)模型解決實際問題。教師通過這4個維度引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地讀取圖像中的有效信息：從整體看圖像的變化趨勢，定性地描述整個變化過程；從局部看關(guān)鍵點、線段的數(shù)量及實際意義，進(jìn)而定量地描述變化過程，順利解決問題?？傊?，我們要教會學(xué)生一些通法，即先通過圖像獲取信息，再從點、線、變化過程等多個維度去讀圖、識圖、用圖，充分挖掘有用信息，然后才能數(shù)形結(jié)合地破解一次函數(shù)應(yīng)用問題，以此推廣到以后學(xué)習(xí)的各類函數(shù)圖像問題。