□ 傅鑫星

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動溝通新舊知識，理解知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將新知納入自己原有的知識圖式中，結(jié)構(gòu)化建構(gòu)知識。這樣的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生將知識融會貫通，并在整體建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的同時提高思維能力，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率與能力。

一、縱觀全局建體系

“量與計量”是生活中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)知識之一，具有很強的現(xiàn)實意義。但因為這部分知識比較抽象，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來會有一定困難。同時，這部分內(nèi)容又是“散點式”分散在不同階段學(xué)習(xí)的，這就讓學(xué)生更不容易主動建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)。因此，教師要以這些知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)為基礎(chǔ)，在縱觀整個知識體系后再考慮具體的教學(xué)內(nèi)容，這是展開結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)。

（一）小學(xué)階段“量與計量”領(lǐng)域的知識圖譜

“量與計量”領(lǐng)域的知識點雖然不多，但是貫穿于整個小學(xué)階段（如圖1）。

圖1 人教版數(shù)學(xué)小學(xué)階段“量與計量”領(lǐng)域的知識圖譜

教材從一年級上冊開始編排“量與計量”的相關(guān)內(nèi)容，包括時間、質(zhì)量、長度、面積、體積等，整體編排呈現(xiàn)出內(nèi)容從少到多、知識由易入難、整體螺旋上升的特點。第一學(xué)段主要學(xué)習(xí)與數(shù)量運算有關(guān)的常見量，第二學(xué)段主要學(xué)習(xí)與圖形測量有關(guān)的常見量。

（二）小學(xué)階段“量與計量”領(lǐng)域的內(nèi)核把握

要真正理解“量與計量”，需要追本溯源。這里的核心問題可以是“為什么需要計量”“為什么要統(tǒng)一計量單位”“度量本質(zhì)是什么”，等等。想要解答這些問題，首先要尋找計量單位之間的關(guān)系（如表1）。

表1 各計量單位所用工具、計量對象及屬性

同一體系具有連續(xù)性。長度、面積和體積單位屬于同一體系，都可以看作對空間的計量。從計量對象及其屬性上看，“物體長度”到“物體表面大小”，再到“物體所占空間大小”，呈現(xiàn)出從一維到二維再到三維的遞進結(jié)構(gòu)。可以說，前者是后者的構(gòu)成因素，后者是前者的延伸，具有連續(xù)性。同時，對二維空間和三維空間的度量可以轉(zhuǎn)化為對一維長度的測量，因此所用的計量工具可以相同。

不同體系具有統(tǒng)一性。首先，計量源于人類的需求，計量單位都是人類為了交流方便而統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。其次，人類為了標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一發(fā)明了工具，這些工具雖然形態(tài)不同，但基本都包含“起點”“單位”和“數(shù)量”三個要素。一般情況下“0”注明度量起點，“刻度”明確度量單位的大小，“讀數(shù)”呈現(xiàn)度量結(jié)果，從而實現(xiàn)統(tǒng)一。

不同領(lǐng)域具有相融性。在數(shù)學(xué)中，計量與計數(shù)都是度量，前者是用計量單位測量，關(guān)注量感培養(yǎng)，屬于具象度量，后者是用計數(shù)單位去數(shù)數(shù)，關(guān)注數(shù)感培養(yǎng)，屬于抽象度量。把“量”進行抽象，符號化后就能用“數(shù)”表示；把“數(shù)”具體化，則可以用具象的“量”來表達。因此，計量單位和計數(shù)單位是相融相通的。

二、多元表征顯本質(zhì)

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)注重讓學(xué)生在圖示、文字、語言、操作或生活情境等多元表征的轉(zhuǎn)化中，理解概念本質(zhì)。從數(shù)學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)與形的科學(xué)。而計量以“數(shù)+單位”的形式呈現(xiàn)結(jié)果，比如1米、3千克等，正是以“數(shù)+形”的形式來定性和定量刻畫現(xiàn)實世界的。

（一）經(jīng)驗觸動，定性刻畫

人類先天就有感知事物多少、大小、遠近等的能力，可以說學(xué)生都能夠?qū)κ挛锪康摹按笮　薄岸嗌佟钡冗M行定性的描述。因此，教學(xué)中教師要注重激活學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗，促進學(xué)生在經(jīng)驗與新知之間建立聯(lián)系。

學(xué)習(xí)之前，喚起已有生活經(jīng)驗初步體會。比如，教學(xué)長度單位時，首先可以喚起學(xué)生定性描述物體長短并進行比較的生活經(jīng)驗，感性體會長度。然后，利用學(xué)生在生活中估計物體長度的經(jīng)驗進入學(xué)習(xí)，請學(xué)生走幾步估計一段路的長度。進而體會由于每個人走一步的長度不同，所以走的步數(shù)也是不同的，讓學(xué)生借助經(jīng)驗感知“長度單位不一樣，測量結(jié)果也會不同”，從而引出長度單位的教學(xué)。

學(xué)習(xí)之后，觸動已有知識經(jīng)驗再次體會。比如，有些教師認為計量工具只是操作性工具，學(xué)生只要學(xué)會正確使用即可，所以教學(xué)時教師僅僅演示使用方法，而未對其原理進行深入分析。這就導(dǎo)致學(xué)生只知道怎么使用工具，對其形成過程不曾探究，對其本質(zhì)也一無所知。其實，在教學(xué)后，教師可以布置自制測量長度工具的實踐活動，讓學(xué)生利用已學(xué)知識進行再創(chuàng)造，進一步感受工具的產(chǎn)生是源于統(tǒng)一長度單位的需求。

（二）多維體驗，定量刻畫

“量與計量”屬于具象度量，更多的時候是以具體數(shù)據(jù)來進行定量刻畫。這里的定量刻畫包括使用工具精準(zhǔn)測量，以及運用合適的方法進行估量。這些都離不開豐富的活動體驗，學(xué)生只有調(diào)動全身器官參與，通過可視化的多元表征，挖掘知識的核心要素，才能理解知識本質(zhì)。如教學(xué)“質(zhì)量單位”時，教師可以設(shè)計以下活動。

（1）掂一掂幾種常見物品的質(zhì)量：一個蘋果（200克左右）、兩袋鹽（1千克）、一袋米（3千克）等。

（2）想象一下自己的書包有多重，并說一說你是怎么想的，稱量驗證。

（3）仔細觀察老師表示這些物品質(zhì)量的方法，有什么共同的地方？缺少一個能知道這個物體的質(zhì)量嗎？

（4）舉例說說生活中的一些測量結(jié)果，也是這樣表示的嗎？

以上一連串的活動設(shè)計由淺入深，逐漸指向度量本質(zhì)。首先通過動手操作，初步感受重量，建立參照物。然后估計書包重量時，學(xué)生會選擇不同的參照物，通過想象進行比較，比如一些學(xué)生認為和一袋米差不多重，一些學(xué)生則以1千克的鹽為標(biāo)準(zhǔn)想象書包的重量，以“有幾個1 千克”來估量，又通過稱量驗證，加深體會。接著，學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)只有以“數(shù)+單位”的形式，才能知道這個物品的具體重量。再通過舉例，進一步感受只有以“數(shù)+單位”的形式，才能夠定量刻畫測量結(jié)果，而單位其實就是標(biāo)準(zhǔn)，指向要測量的物體的形態(tài)，也就是“數(shù)+形”。

三、類比遷移促關(guān)聯(lián)

類比遷移是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中的重要方法，不僅能夠幫助學(xué)生完善知識體系，也能促使學(xué)生在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，提煉出核心的方法策略，遷移應(yīng)用到之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

（一）構(gòu)造關(guān)系，關(guān)聯(lián)內(nèi)在結(jié)構(gòu)

同一體系中的計量單位本身具有連續(xù)性，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)時是零散獲取這些知識的，教師要幫助學(xué)生把知識連點成線，建構(gòu)完整的知識體系。比如，學(xué)生在換算長度單位時常常會出現(xiàn)問題，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造關(guān)系圖（如圖2）。

圖2 長度單位進率關(guān)系圖

學(xué)生先認識厘米和米，再學(xué)習(xí)毫米、分米和千米，這樣的編排導(dǎo)致他們對幾個長度單位的進率混淆不清。通過構(gòu)造長度單位的關(guān)系圖，直觀呈現(xiàn)出它們的關(guān)系，便于學(xué)生關(guān)聯(lián)其內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

（二）彌補缺漏，關(guān)聯(lián)相鄰結(jié)構(gòu)

同一體系中相鄰單位之間往往具有一定關(guān)聯(lián)，編者出于對教材實用性的考慮，會刪去一部分計量單位，這會導(dǎo)致學(xué)生知識體系的建構(gòu)不完整。比如，學(xué)習(xí)面積單位時，學(xué)生對公頃的認識往往會比較困難。

圖3 長度單位和面積單位結(jié)構(gòu)圖

如圖3 所示，學(xué)生看到長度單位“厘米、分米、米、千米”，自然就會想到它們所對應(yīng)的面積單位，從而形成相鄰結(jié)構(gòu)。但是學(xué)生卻沒有辦法在已有結(jié)構(gòu)中找一個合適的位置給“公頃”，所以遇到相關(guān)問題時就常常出錯。如果教師能引導(dǎo)學(xué)生把“百米”放到長度單位中，讓他們理解邊長1 百米的正方形的面積就是1公頃，那么就能幫助他們順利地將“公頃”與相鄰結(jié)構(gòu)進行關(guān)聯(lián)。

（三）遷移方法，關(guān)聯(lián)整體結(jié)構(gòu)

“量與計量”中雖然有各種不同的計量單位，但是每種計量單位的學(xué)習(xí)都會包括概念理解、單位換算、實際問題解決等，因此，學(xué)習(xí)路徑也基本一致，可以進行整體關(guān)聯(lián)。比如，“厘米和米”作為度量的種子課，教學(xué)往往經(jīng)歷以下幾個步驟：首先，在現(xiàn)實情境中體會單位統(tǒng)一的必要性；其次，在多元表征中理解概念本質(zhì)；最后，在解決問題中深化單位價值。學(xué)生在這節(jié)課中獲得的思想方法、活動經(jīng)驗可以遷移到后續(xù)其他計量單位的學(xué)習(xí)中。

總之，數(shù)學(xué)知識本身就有結(jié)構(gòu)。學(xué)生在結(jié)構(gòu)化視角下，通過多元表征、類比遷移等方式，關(guān)聯(lián)起“量與計量”中的各個知識點，完善知識體系，在實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化的同時發(fā)展了思維能力，積累了思想方法，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。