□ 葛素兒

當前，數(shù)學教學依然存在著知識“碎片化”、教學“重復化”、學習“無序化”等低效現(xiàn)象，然而基于整體視角的結構化學習可以有效改變這一現(xiàn)狀。所謂結構化學習，是指按照“點→線→面→體”的方式，將數(shù)學學習中的知識、思維和策略進行整體關聯(lián)和融通，引導學生經(jīng)歷從“立結構”到“用結構”的建構過程，促進學生學習力的提升。在教學中，結構化學習可以采用以下路徑推進（見圖1），下面將從價值取向、基本路徑和核心要素三個方面做簡單闡述。

圖1 小學數(shù)學結構化學習的設計與實施

一、小學數(shù)學結構化學習的價值取向

小學數(shù)學結構化學習可以改變立足一個知識點的線性學習方式，在立足整體的基礎上推進，實現(xiàn)從“單一割裂的點狀思維”向“整體融合的結構化思維”的轉變。

（一）實現(xiàn)從“點狀”到“網(wǎng)狀”的知識結構化

小學數(shù)學結構化學習，可以充分把握知識體系內(nèi)各組成要素之間相互聯(lián)系、相互作用的方式，可以使“點狀”的單個知識點形成“網(wǎng)狀”的知識圖，進而形成大概念統(tǒng)攝下的數(shù)學知識結構。

例如，“萬以內(nèi)數(shù)的認識”是“數(shù)的認識”教學的第三階段。教學中可以基于位值原理，讓學生借助動手操作、畫圖表征、語言表達等方式，體驗十進位值制思想，整體融合數(shù)數(shù)、數(shù)的組成、大小比較、近似數(shù)等知識點，經(jīng)歷將知識點串聯(lián)成線，再由線連成網(wǎng)的過程，同時有機滲透其他位值制計數(shù)法，溝通不同進制計數(shù)法的聯(lián)系，初步建立“數(shù)的認識”的位值大概念，從而形成關于“數(shù)的認識”的結構化知識。

（二）實現(xiàn)從“單點”到“拓展”的思維結構化

根據(jù)可觀察的學習結果（SOLO 分類評價法），可以將數(shù)學理解層次進行梯狀刻畫，分別是前結構水平、單點結構水平、多點結構水平、關聯(lián)結構水平和拓展抽象水平。小學數(shù)學結構化學習能夠改變線性的學習路徑，基于整體視角推進，通過可視化的多元表征助力結構化的數(shù)學思維生成。多元表征是實際生活情境、操作模式、圖像、口語符號和文字符號這五種表征之間的自主轉化（見圖2），這是一種從“單點”到“拓展”的結構化思維方式。

圖2 Lesh提出的數(shù)學學習五種表征

通常在數(shù)學概念的學習中，教師會引導學生充分挖掘知識的核心元素，通過多元表征的思維方式對概念進行系統(tǒng)關聯(lián)、轉換與應用，在體現(xiàn)知識結構化的同時實現(xiàn)思維結構化。

（三）實現(xiàn)從“理解”到“遷移”的策略結構化

事實上，結構化學習是一個在情境問題中發(fā)現(xiàn)元素、在整體關聯(lián)中理解建構、在應用創(chuàng)新中結構遷移的整體推進過程。在這個過程中，學生在對知識核心元素進行系統(tǒng)關聯(lián)的基礎上，也對核心方法策略進行提煉、歸納與應用，實現(xiàn)從“理解”到“遷移”的策略結構化。策略的形成需要經(jīng)歷“日常滲透—整體感悟—反復體驗”的結構化過程。

例如，線段圖策略的運用過程是由問題“文字表征”向“圖形表征”再到“符號表征”的轉換過程，如在教學“求比一個數(shù)多幾或少幾”時，教師可以扶著學生經(jīng)歷從實物圖到符號圖再到線段圖的“立結構”過程。在教學“求一個數(shù)的幾倍是幾”時，教師可以放手讓學生經(jīng)歷“用結構”的自主遷移過程，在對實物圖、符號圖和線段圖不同抽象層次的思維圖式進行求同與求異的思辨過程中，讓線段圖表征策略結構化。

二、小學數(shù)學結構化學習設計的基本路徑

整體建構，意味著無論在學習的哪個環(huán)節(jié)，都需要教師以結構化的思維去引導學生進行結構化的學習。教學中，教師需要把一個個知識點、能力點、思維點放在單元結構、領域系統(tǒng)中進行整體把握，凸顯知識的本質(zhì)要素，挖掘知識間的關聯(lián)要素，關注策略性知識的學習，促進學生的理解與遷移。

（一）基于課時視角，凸顯本質(zhì)元素

課時是數(shù)學學習的基本單位，是知識的基本元素，學習是基于一個又一個的課時進行日積月累的過程?；谡n時的結構化學習，教師需要將知識點放置于單元整體之中，用整體的知識結構、思想方法來理解知識點，把握知識的本質(zhì)要素，凸顯意義建構，為知識關聯(lián)建立認知通道。這些本質(zhì)要素正如一顆顆具備可持續(xù)生長力的知識種子，在整個知識大廈建立過程中起著奠基的作用。

組長小齊整理大伙交的作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)少了小馬的，就到其座位上去索要，誰知小馬起身一路小跑躲到了教室旁邊的女廁所里，廁所里面的女生驚恐地跑了出來。小馬自鳴得意地在女廁所里沖著門外的小齊做鬼臉。小齊鐵定了心不肯離去，小馬就將廁所里的水龍頭擰開，找準角度擠壓著水對著外面的小齊打起了水仗。

例如，“長方形、正方形面積的計算”這一內(nèi)容涉及的概念有這樣三組：面積和周長、面積單位和長度單位、面積計算公式和周長計算公式。這兩種圖形的三組概念，與實際情境結合，本身就比較復雜。皮亞杰把用這種長度乘寬度求面積的能力劃分為智慧水平或“運算”水平，這種發(fā)展水平要到十一二歲才能出現(xiàn)。因此，要讓三年級的學生真正理解面積公式并非易事。教學中，教師可以運用方格圖載體，突出面積測量本質(zhì)，讓學生充分經(jīng)歷用面積單位度量長、正方形面積的過程，避免過早地進入形式化計算階段，借助“選方格→擺方格→算方格→說方格”等活動體現(xiàn)具象到抽象的過程，充分體悟最原始、最簡單的度量面積的方法“面積=每行單位面積的個數(shù)×行數(shù)”，建立面積測量和計算的基本模型，為后面學習平面圖形的面積計算作鋪墊。

（二）基于單元視角，挖掘關聯(lián)元素

所謂“單元”，是指“有組織、有意義的一組知識的集合”。通常我們所說的學習單元，是指教材中所編排的學習章節(jié)，如“周長”“面積”等板塊。這些單元之間的壁壘是可以打通的，從“小單元”結構走向“大單元”結構。關聯(lián)指的是用整體關聯(lián)的思維開展數(shù)學學習，包括數(shù)學知識點、線、面、體不斷累積的縱向關聯(lián)和不同領域知識、思維和策略相互融通的橫向關聯(lián)。

例如，“圓”單元的結構化學習可以分成三個部分（見表1），一是“圓”的個體知識，包括圓的特征、周長和面積；二是“圓”的組合知識，包括圓與圓的組合、圓與方的組合；三是圓的應用，包括圓與生活、圓與扇形、圓的文化，等等。

表1 “圓”單元結構化學習設計

從表1可以看出，“圓”單元的結構化學習基于設計型、實驗型、調(diào)查型和綜合型任務展開，不同的任務對應不同的知識要點和思維指向。在這個過程中，教師應充分挖掘各個知識點背后的關聯(lián)元素進行整體設計，幫助學生形成“圓”單元交錯聯(lián)系的立體式知識結構。

（三）基于整體視角，注重體系建構

結構化學習是對數(shù)學知識的通盤考慮，旨在融通知識點、線、面、體之間的關系，將知識點串成知識鏈，將知識鏈織成知識網(wǎng)，使知識呈現(xiàn)出整體的“結構態(tài)”，也使思想、方法與策略呈現(xiàn)出立體的“結構態(tài)”。這些結構具有很強的遷移力，可以遷移到有關聯(lián)性的其他學習中去。例如在小學“量與計量”知識領域中，無論是同一體系還是不同體系的計量單位，都有一定的關聯(lián)。

在“長度單位”的教學中，教師要把握度量的本質(zhì)進行整體教學，抓住“經(jīng)驗觸動”“活動體驗”和“類比遷移”這三個教學要素，讓學生經(jīng)歷“認識度量、建立度量標準、認識度量單位、掌握度量方法、測量與計算”的“立結構”過程。在后續(xù)度量類知識教學中，教師應讓學生將度量學習的知識與方法結構進行自覺遷移與應用，充分發(fā)揮結構的生長力量，構筑起度量學習的完善認知結構。

三、小學數(shù)學結構化學習設計的核心要素

結構化學習嘗試打破課時結構與單元結構進行整體推進，讓學生經(jīng)歷從碎片化到結構化的“理解與建構、聯(lián)結與拓展、遷移與應用”的學習過程。

（一）理解與建構，助結構形成

《追求理解的教學設計》一書中提到，“理解”是多維和復雜的，可以從六個側面來認識它，即解釋、闡明、應用、洞察、神入和自知，這六個側面為“理解”提供了多元化的指標。在教學中，教師要結合這六個側面幫助學生展開結構化學習，建構完善的認知結構。

（1）結合生活情境“丁丁媽媽把一個月餅平均分成2份，丁丁和弟弟每人吃1份；可可媽媽把4個月餅平均分成2 份，可可和妹妹每人吃1 份”，讓學生畫圖表征兩次分月餅的結果，嘗試用“一半”表示兩次分月餅的共性。

（3）讀寫分數(shù)，認識分數(shù)各部分名稱及意義。

（2）歸納小結，內(nèi)化分數(shù)的意義。

“量”“率”對應是分數(shù)認識的重點，也是難點。本節(jié)課將兩者整合，結合多元表征的方式，讓學生經(jīng)歷動手操作、畫圖說明、語言表達、生活實例與分數(shù)符號之間來回溝通與轉化的過程。在這個過程中，我們可以看到一個清晰的理解過程，如解釋、闡明與應用。經(jīng)歷這樣的結構化學習過程，學生能建立起“行為”“圖示”“符號”之間的一一對應關系，逐步理解分數(shù)的內(nèi)涵，初步建立量率對應思想，建構起關于分數(shù)的認知結構，如分數(shù)意義的不同維度理解，分數(shù)學習的方法策略等。

（二）聯(lián)結與拓展，助結構完善

所謂聯(lián)結，是指學生在概念的各種表征中建立聯(lián)系。全美數(shù)學教師理事會（NCTM）在2000 年頒布的《學校數(shù)學的原則和標準》中提出5 項數(shù)學能力，數(shù)學聯(lián)結能力就是其中之一。數(shù)學知識體系中點、線、面、體本身是相互聯(lián)結的，通過溝通、轉換與融合，將有聯(lián)系的知識聯(lián)結起來是數(shù)學學習的一種核心能力。

【案例2】基于面積模型的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”拓展

（1）借助核心問題“欣欣農(nóng)場蔬菜種植區(qū)的長和寬是1、2、6、8 四個數(shù)字組成的兩個兩位數(shù)且乘積最小，請幫忙找到種植區(qū)的長和寬”來驅(qū)動，引導學生基于運算意義，將最小的數(shù)字1和2放在十位，得到兩種可能16×28 和18×26。

（2）借助核心問題“16×28 和18×26 的乘積誰大誰小，不通過豎式計算，你能否在格子圖中表示出來”引發(fā)圖式思辨，讓學生先在格子圖中表示出兩個長方形的相同部分“16×26”，再在格子圖中比較不同部分“16×2”和“2×26”，接著引導學生將格子圖的表征與算式的分解一一對應，讓算理與算法融合，并初步得到結論“兩數(shù)的和若相等，它們的差越小，積就越大”。

（3）借助核心問題“方案1：長71 米、寬34 米，方案2：長78 米、寬31 米，哪種方案面積大”來驅(qū)動，引導學生進一步體會圖與式的對應關系，經(jīng)歷方法策略結構從“立”到“破”再“立”的過程。

這個思維進階的過程有效地打通了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與“面積”之間的壁壘，借助運算意義與面積模型建立新的聯(lián)結，從一般化的結構建立到變式問題的解決，學生的認知結構進一步完善。

（三）實踐與應用，助結構遷移

實踐與應用，是從“學結構”到“用結構”的遷移過程，學習者將學習經(jīng)驗遷移到新的情境中，類比學習新知、解決新的問題，通常可以借助項目式的方式結構化推進。例如“玩轉圓柱”項目學習，以“卷、切、削、比”四個項目活動為抓手，從“課”到“類”，引導學生充分經(jīng)歷“用結構”的過程。

基于整體視角的“玩轉圓柱”項目，借助結構性材料進行結構化的學習，在更高層面上實現(xiàn)理解與遷移，提升學生融會貫通的綜合素養(yǎng)。

總之，數(shù)學是一門有結構的學科，“學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯(lián)的（布魯納）”。數(shù)學教學需要發(fā)揮結構的力量，借助結構化思維設計學習材料，讓學生經(jīng)歷有結構的學習活動，促進知識、思想和策略的整體建構。