商 霖，張海瑞，趙曉寧

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

慣組小系統(tǒng)是由慣組、基座和減振器等組成。飛行器飛行過程中，慣組小系統(tǒng)將經(jīng)歷長時(shí)大振動(dòng)、短時(shí)強(qiáng)沖擊和持續(xù)高過載及高溫等惡劣環(huán)境，嚴(yán)重影響了其測(cè)量精度和使用壽命。慣組陀螺信號(hào)受外界角振動(dòng)環(huán)境的影響會(huì)迭加基座和減振器的角振動(dòng)分量，導(dǎo)致陀螺測(cè)量出現(xiàn)誤差，直接影響到飛行穩(wěn)定性。慣組加表信號(hào)受外界線振動(dòng)環(huán)境的影響會(huì)疊加基座和減振器的高頻振動(dòng)分量、引入虛假的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致加表測(cè)量出現(xiàn)誤差，進(jìn)而影響到導(dǎo)航精度。工程上，通過將基座設(shè)計(jì)為剛性平臺(tái)以消除其負(fù)面影響，由此慣組小系統(tǒng)線/角傳遞特性主要取決于減振器環(huán)節(jié)的合理布局[1,2]和優(yōu)化設(shè)計(jì)[3-5]。

減振器作為一種彈性元件，主要用于降低慣組承受的振動(dòng)和沖擊等環(huán)境。當(dāng)前在減振器研究中，往往采用線性化模型進(jìn)行相關(guān)設(shè)計(jì)和分析[1-6]。實(shí)際的減振器是一個(gè)非線性的漸軟系統(tǒng)，忽略非線性效應(yīng)的線性化模型不能體現(xiàn)系統(tǒng)的非線性軟化特征，也就無法準(zhǔn)確地進(jìn)行非線性特性的研究，甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，因此有必要開展慣組小系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)建模和非線性特性分析工作。

非線性動(dòng)力學(xué)的研究最早可以追溯到Rosenberg[7]的工作，他提出了非線性模態(tài)的概念，奠定了相關(guān)理論。Shaw[8]和Nayfeh[9]等相繼拓展了非線性模態(tài)的定義，推動(dòng)了該領(lǐng)域的研究發(fā)展。Sun[10]等采用復(fù)化平均法得到了由簡諧外力和非線性能量阱組成的非線性振動(dòng)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的解析解，并通過數(shù)值模擬對(duì)解析模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的初步認(rèn)識(shí)。Mezghani[11]等提出了一種非線性參數(shù)識(shí)別方法用于識(shí)別非線性振動(dòng)系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)。No?l[12]則綜述了從2006年來近十年間非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域出現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)，通過討論實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诠こ探Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的核心作用，為這一領(lǐng)域的發(fā)展提供了一個(gè)更為廣闊的視角。王丹[13]等利用試驗(yàn)結(jié)果辨識(shí)得到非線性恢復(fù)力模型，并將其應(yīng)用于橡膠減振器的動(dòng)力學(xué)分析。杭超等[14]利用振動(dòng)臺(tái)掃頻測(cè)得了兩類橡膠減振器的動(dòng)剛度和阻尼比。唐安特等[15]采用Mooney-Rivlin 模型和Maxwell 模型疊加組成的非線性粘彈性本構(gòu)模型計(jì)算了橡膠減振器的高頻動(dòng)態(tài)特性。

為了研究高量級(jí)振動(dòng)環(huán)境對(duì)慣組小系統(tǒng)非線性特性的影響，本文將減振器簡化成具有立方剛度的三自由度非線性系統(tǒng)，建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)模型，方程中的物理參數(shù)取自于真實(shí)產(chǎn)品的慣組小系統(tǒng)。隨后，采用單自由度激勵(lì)方式進(jìn)行慣組小系統(tǒng)傳遞特性試驗(yàn)，利用仿真模擬結(jié)果驗(yàn)證本文非線性動(dòng)力學(xué)模型的正確性。最后，采用龍格-庫塔法對(duì)不同激勵(lì)幅值下減振器的非線性動(dòng)剛度特性進(jìn)行了數(shù)值模擬，采用虛弧長延拓方法給出了不同激勵(lì)幅值下慣組小系統(tǒng)的非線性頻響函數(shù)和傳遞特性及慣組減振器可以適應(yīng)的飛行振動(dòng)邊界。

1 慣組小系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 模型簡化

慣組小系統(tǒng)基本組成如圖1所示。其中，將慣組視為剛體；基座處理為剛性基礎(chǔ)面；四個(gè)減振器（編號(hào)分別為1、2、3、4）采用平面四點(diǎn)布局的方式均布在慣組的四個(gè)邊角，構(gòu)成整個(gè)慣組小系統(tǒng)的減振系統(tǒng)。圖1 中，直角坐標(biāo)系oxyz的坐標(biāo)原點(diǎn)o位于慣組質(zhì)心處，慣組質(zhì)量為4m；坐標(biāo)軸xyz為過慣組質(zhì)心的主慣性軸以消除剛體慣性積，其相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為4Ix、4Iy和4Iz；四個(gè)減振器均簡化為無質(zhì)量的單向彈簧-阻尼元件，其安裝位置相對(duì)xy和xz面對(duì)稱，若選用同一規(guī)格的減振器，即可實(shí)現(xiàn)慣組質(zhì)心、形心和減振器彈性中心的“三心重合”設(shè)計(jì)，由此保證了對(duì)稱面內(nèi)線、角運(yùn)動(dòng)的線性解耦，從而獲得理想的減振系統(tǒng)。

圖1 慣組小系統(tǒng)模型Fig.1 The combined model of inertial navigation system

1.2 運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)飛行姿態(tài)需求，僅考慮慣組x垂向、Rz或α俯仰和Ry或β偏航等三個(gè)自由度/方向的剛體運(yùn)動(dòng)。由此，可令基座的基礎(chǔ)激勵(lì)輸入為xi、αi和βi，慣組的剛體響應(yīng)輸出為x、α和β。當(dāng)基座相對(duì)慣組運(yùn)動(dòng)時(shí)，減振器將阻止這樣的運(yùn)動(dòng)，按多體動(dòng)力學(xué)方法，則可得到慣組小系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

考慮小平移和小轉(zhuǎn)動(dòng)情況，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)是可交換的（即最終位置與轉(zhuǎn)動(dòng)分量的順序無關(guān)），由此基座和慣組在四個(gè)減振器位置的位移就是其平動(dòng)線位移加上轉(zhuǎn)動(dòng)角位移的切向分量，可分別表示為：

和

進(jìn)而，由式(2)和式(3)可以得到四個(gè)減振器的變形（且規(guī)定壓為正），即

1.3 非線性動(dòng)力學(xué)方程

振動(dòng)過程中，慣組小系統(tǒng)的減振系統(tǒng)通常選用同一規(guī)格的減振器，且嚴(yán)格要求其剛度和阻尼特性保持一致。

因此，這里令ci=c、ki1=k1和ki2=k2，其中i=1,2,3,4。將式(4)代入式(1)可得到如下運(yùn)動(dòng)方程：

若用xr=x-xi、αr=α-αi和βr=β-βi表示慣組相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)，則式(5)可表示為

由式(6)所示的含立方項(xiàng)非線性減振器的動(dòng)力學(xué)方程可知，慣組小系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和線性剛度項(xiàng)是解耦的，此時(shí)若非線性剛度系數(shù)k2=0則系統(tǒng)退化為三個(gè)單自由度系統(tǒng)，可以獨(dú)立求解，即實(shí)現(xiàn)了線、角振動(dòng)的分離。若k2≠0則非線性剛度項(xiàng)在線、角位移上引入了耦合關(guān)系，k2>0表征為漸硬特性系統(tǒng)，k2<0表征為漸軟特性系統(tǒng)。

2 慣組小系統(tǒng)傳遞特性試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)原理

圖2 慣組小系統(tǒng)基礎(chǔ)激勵(lì)原理性試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Basic excitation principle test system of inertial navigation system

針對(duì)某型慣組小系統(tǒng)，工程研制初期搭建了純線/角振動(dòng)的原理性試驗(yàn)系統(tǒng)，采用單自由度激勵(lì)的方式研究其傳遞特性。如圖2所示[16]，慣組通過橡膠減振器連接在振動(dòng)平臺(tái)上，電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)對(duì)振動(dòng)平臺(tái)施加正弦掃頻激勵(lì)。振動(dòng)控制點(diǎn)在振動(dòng)平臺(tái)上，通過控制加速度傳感器的安裝位置和響應(yīng)量級(jí)實(shí)現(xiàn)線/角振動(dòng)的常幅激勵(lì)。慣組上安裝加速度傳感器測(cè)量減振后信號(hào)，或直接采集慣組陀螺或加表的數(shù)據(jù)。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

圖3 慣組小系統(tǒng)傳遞特性Fig.3 Transfer characteristics of inertial navigation system

圖3 給出了利用正弦掃頻激勵(lì)法得到的慣組小系統(tǒng)線振動(dòng)傳遞特性。角振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)結(jié)果類同線振動(dòng)?？紤]篇幅所限，相關(guān)圖示略去。圖3(a)中，隨著激勵(lì)幅值的逐級(jí)增大，系統(tǒng)峰值頻率逐漸減小，這表明橡膠減振器呈現(xiàn)出含有漸軟剛度的非線性特征。通過對(duì)圖3(a)中不同激勵(lì)幅值傳遞曲線進(jìn)行歸一化處理，即頻率相對(duì)峰值頻率歸一化、幅值相對(duì)峰值幅值歸一化，可以得到圖3(b)。

圖3(b)中，不同激勵(lì)幅值下慣組小系統(tǒng)傳遞特性曲線完全重合，由此表明：1）圖3(a)中系統(tǒng)峰值頻率的變化，是由于激勵(lì)幅值的不同導(dǎo)致減振器動(dòng)剛度不同；2）不同激勵(lì)幅值下，減振器的阻尼比系數(shù)基本不變。

2.3 數(shù)值模擬

式中，ξ是阻尼比系數(shù)，是垂向線頻率，是俯仰角頻率，是偏航角頻率，是剛度系數(shù)比，x0是線激勵(lì)幅值，α0是俯仰角激勵(lì)幅值，β0是偏航角激勵(lì)幅值，ω是線/角激勵(lì)頻率。

若模擬純線運(yùn)動(dòng)的正弦激勵(lì)，則可令x0≠0，而α0=0和β0=0。若模擬純俯仰的正弦激勵(lì)，則可令α0≠0，而x0=0和β0=0。同理，也可模擬純偏航的正弦激勵(lì)。由此，式(7)中垂向線運(yùn)動(dòng)、俯仰和偏航角運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立表示可以統(tǒng)一采用如下單自由度非線性運(yùn)動(dòng)微分方程

式中，y可分別用于代替垂向線位移xr、俯仰角位移αr和偏航角位移βr。為節(jié)省篇幅，下文僅對(duì)慣組小系統(tǒng)純線振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行分析。純角振動(dòng)傳遞特性的分析可據(jù)此進(jìn)行。

本文研究中，橡膠減振器的基本參數(shù)：線性剛度系數(shù)k1=2.15 ×104N/m，非線性剛度系數(shù)k2=-3.2 ×107N/m3，阻尼系數(shù)c=18.9 N ·s/m ；慣組質(zhì)量特性參數(shù)m=0.16kg 。

圖4 慣組小系統(tǒng)試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的比對(duì)Fig.4 Comparison of test results of inertial navigation system with numerical results

圖4 給出了采用龍格-庫塔數(shù)值方法計(jì)算式(8)所得數(shù)值結(jié)果與圖3(b)正弦掃頻試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，二者吻合良好。利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析可得，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果均值偏差僅為1.73%，矢量偏差約1.95%，二者相關(guān)度達(dá)到了99.9%，吻合度為96.5%。由此表明，慣組小系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型和模型參數(shù)可以真實(shí)地表征系統(tǒng)傳遞特性。

3 非線性特性分析

上文試驗(yàn)結(jié)果表明橡膠減振器具有“軟彈簧”特性，但缺乏直觀的動(dòng)剛度曲線的驗(yàn)證，也并未真正地表現(xiàn)出非線性動(dòng)態(tài)特性。試驗(yàn)過程中橡膠減振器運(yùn)動(dòng)范圍在線性、小變形范圍內(nèi)，其力學(xué)特性仍是線性的。式(8)中表征橡膠減振器非線性特性的主要參數(shù)是剛度系數(shù)比K，而誘發(fā)這一非線性特性的最直接的因素則是激勵(lì)幅值y0。下文研究大激勵(lì)幅值下，橡膠減振器的非線性動(dòng)剛度特性和慣組小系統(tǒng)的非線性頻響函數(shù)及傳遞特性。

3.1 系統(tǒng)動(dòng)剛度與減振器動(dòng)剛度

文獻(xiàn)[13-15][17]從試驗(yàn)分析、理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算等多個(gè)方面研究了非線性系統(tǒng)的動(dòng)剛度，這些研究工作出發(fā)點(diǎn)各不相同，對(duì)動(dòng)剛度的理解和定義也不盡相同。

本文認(rèn)為慣組小系統(tǒng)包含著兩個(gè)層級(jí)的動(dòng)剛度，即系統(tǒng)層級(jí)的動(dòng)剛度和橡膠減振器層級(jí)的動(dòng)剛度。系統(tǒng)動(dòng)剛度包含了慣組質(zhì)量、減振器剛度和阻尼等，其可表示為

式中，ks為減振器靜剛度。橡膠減振器動(dòng)剛度則由彈性回復(fù)力-位移曲線表征，其可表示為

式中，F(xiàn)(t)是減振器的彈性回復(fù)力，u(t)是減振器的位移。

采用龍格-庫塔積分算法得到式(8)的數(shù)值解，并對(duì)系統(tǒng)動(dòng)剛度和減振器動(dòng)剛度進(jìn)行分析。計(jì)算中，激勵(lì)幅值y0分別取為0.75 mm、1.5 mm、3 mm、4.5 mm、6 mm 和10 mm 等6 個(gè)量級(jí)，激勵(lì)頻率ω取值范圍為0.1 Hz～120 Hz，掃頻速率2 Oct/min。

圖5 系統(tǒng)動(dòng)剛度和減振器動(dòng)剛度的比對(duì)Fig.5 Comparison of dynamic stiffness of inertial navigation system and rubber damper

考慮篇幅所限，文中僅從眾多計(jì)算結(jié)果中選出激勵(lì)幅值3 mm 時(shí)系統(tǒng)動(dòng)剛度幅值與減振器動(dòng)剛度的比對(duì)，如圖5所示。從圖5 中可看出，相同振幅下系統(tǒng)動(dòng)剛度隨激勵(lì)頻率的變化比較明顯，在共振頻率點(diǎn)達(dá)到最小，表明共振頻率附近系統(tǒng)特性主要由阻尼項(xiàng)控制；在低頻段動(dòng)剛度基本等于靜剛度，表明共振頻率以下系統(tǒng)特性主要由占主導(dǎo)地位的剛度項(xiàng)來描述；在高頻段動(dòng)剛度隨激勵(lì)頻率的增加持續(xù)變大，表明共振頻率以上系統(tǒng)特性主要由占主導(dǎo)地位的質(zhì)量項(xiàng)來描述。同一振幅下減振器動(dòng)剛度幾乎不受激勵(lì)頻率的影響，在低頻段其動(dòng)剛度接近靜剛度，在系統(tǒng)共振頻率附近波動(dòng)明顯、相對(duì)量較小。已有計(jì)算結(jié)果還表明，激勵(lì)幅值越大、波動(dòng)越明顯，但波動(dòng)規(guī)律性不強(qiáng)。

圖6 不同激勵(lì)幅值下減振器回復(fù)力-位移曲線Fig.6 Restoring force-displacement curve of rubber damper under different excitation amplitudes

圖6 給出了不同激勵(lì)幅值下減振器回復(fù)力-位移曲線的比對(duì)。為便于觀察，圖6 曲線在位移軸方向作了人為的整體移動(dòng)，即人為改變不同激勵(lì)幅值下位移零點(diǎn)，簡單來說，0.75 mm 激勵(lì)時(shí)位移零點(diǎn)調(diào)整為0.001 m，1.5 mm 激勵(lì)時(shí)，位移零點(diǎn)調(diào)整為0.002 mm，以此類推。若不作移動(dòng)，6 個(gè)激勵(lì)幅值下的回復(fù)力-位移曲線將完全重合。由圖6 可見，激勵(lì)幅值小于3.0 mm時(shí)，載荷-位移曲線近似呈一條直線，表明減振器處于彈性范圍內(nèi)；激勵(lì)幅值大于3.0 mm 時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增加，減振器表現(xiàn)出漸進(jìn)軟化的非線性特性。

3.2 頻響函數(shù)與傳遞特性

實(shí)際飛行過程中，橡膠減振器不可能僅停留在小變形工況下，大變形工況也是不可避免的。為了探究橡膠減振器在更為嚴(yán)酷飛行環(huán)境下的使用能力，了解其特性的穩(wěn)定性，是否會(huì)出現(xiàn)分岔的現(xiàn)象[10,18,19]。本節(jié)重點(diǎn)研究不同激勵(lì)幅值下橡膠減振器的非線性傳遞特性和頻響函數(shù)。

針對(duì)橡膠減振器這類具有較強(qiáng)非線性特性的系統(tǒng)，傳統(tǒng)打靶法在求解其周期解時(shí)往往會(huì)遇到在分岔點(diǎn)處雅克比矩陣奇異的情況，此時(shí)就需要用到延拓算法。本文利用虛弧長延拓方法編制計(jì)算程序?qū)κ?8)進(jìn)行求解，獲得慣組小系統(tǒng)的傳遞特性和頻響函數(shù)，分別見圖7 和圖8。

計(jì)算中，激勵(lì)幅值y0取值同3.1 節(jié)，激勵(lì)頻率ω取值范圍為5 Hz～300 Hz。為了區(qū)別于傳統(tǒng)意義上的掃頻試驗(yàn)，這種沿頻率范圍延拓的方法，可稱為數(shù)值上的“掃頻法”。

圖7 慣組小系統(tǒng)非線性傳遞特性Fig.7 Nonlinear transfer characteristics of inertial navigation system

圖7 計(jì)算結(jié)果表明，激勵(lì)幅值3.0 mm 時(shí)減振器開始表現(xiàn)出輕微的非線性特性，在非線性范圍內(nèi)激勵(lì)幅值越大，系統(tǒng)損耗越大、峰值變尖，半功率帶寬變小。激勵(lì)幅值10 mm 時(shí)，傳遞曲線發(fā)生了扭曲、變形，形成了一個(gè)回路轉(zhuǎn)折點(diǎn)，表明系統(tǒng)特性不太穩(wěn)定。

圖8 中，激勵(lì)幅值3.0 mm 時(shí)，頻響曲線的共振峰出現(xiàn)了明顯的偏左彎曲，在非線性范圍內(nèi)激勵(lì)幅值越大，系統(tǒng)的軟化特性越明顯。對(duì)于激勵(lì)幅值10 mm的情況，當(dāng)激勵(lì)頻率ω緩慢增加時(shí)，振幅沿著曲線上點(diǎn)1、2、3、4、5 變化，并且振幅在曲線上由點(diǎn)3 跳躍到點(diǎn)4，出現(xiàn)了一個(gè)激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)兩個(gè)位移數(shù)值解的情況。當(dāng)激勵(lì)頻率ω緩慢減少時(shí)，振幅沿著曲線上點(diǎn)5、4、6、2、1 變化，并且振幅在曲線上由點(diǎn)6 跳躍到點(diǎn)2，此時(shí)真實(shí)的位移解將依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。兩種情況下均發(fā)生了系統(tǒng)特性跳躍的現(xiàn)象，即任何微小的擾動(dòng)都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)在兩個(gè)位移解之間跳躍，說明系統(tǒng)特性已經(jīng)失穩(wěn)了。通過數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析可知，慣組減振器適應(yīng)的飛行環(huán)境振動(dòng)位移不應(yīng)超過3 mm。

圖8 慣組小系統(tǒng)非線性頻響函數(shù)Fig.8 Nonlinear frequency-response functions of inertial navigation system

4 結(jié)論

研究了不同激勵(lì)幅值對(duì)慣組小系統(tǒng)非線性動(dòng)剛度特性和頻響函數(shù)及傳遞特性的影響?；凇叭闹睾稀钡脑O(shè)計(jì)思想和飛行器的姿態(tài)需求，構(gòu)建了含立方項(xiàng)非線性剛度的慣組小系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程。采用正弦掃頻激勵(lì)的方式獲取慣組小系統(tǒng)傳遞特性，得到了橡膠減振器動(dòng)剛度受振幅影響的結(jié)論，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其具有漸軟剛度的非線性特性。掃頻法計(jì)算結(jié)果與正弦掃頻試驗(yàn)結(jié)果的吻合度達(dá)到了96.5%，檢驗(yàn)了非線性動(dòng)力學(xué)模型的正確性?；跇?gòu)建模型，采用龍格-庫塔法計(jì)算得到的動(dòng)剛度曲線直觀地表征了減振器的漸進(jìn)軟化的非線性特性，發(fā)現(xiàn)了減振器動(dòng)剛度存在對(duì)激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率的敏感區(qū)域。采用虛弧長延拓法通過頻響函數(shù)和傳遞特性的非線性分析預(yù)示了高量級(jí)振動(dòng)環(huán)境下慣組小系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力失穩(wěn)的現(xiàn)象。

本文模型工程應(yīng)用簡便，對(duì)慣組小系統(tǒng)非線性特性的預(yù)示具有較高的精度，供飛行器姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)參考。針對(duì)大過載飛行環(huán)境，建議采用預(yù)壓縮設(shè)計(jì)合理調(diào)整減振器預(yù)壓縮量。預(yù)壓縮設(shè)計(jì)會(huì)影響系統(tǒng)的靜平衡位置，通過將坐標(biāo)系原點(diǎn)選在靜平衡位置就可以簡化系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，適當(dāng)調(diào)整本文模型參數(shù)即可用于相關(guān)環(huán)境下非線性特性的預(yù)示。

飛行器實(shí)際飛行時(shí)處于一個(gè)多自由度激勵(lì)的環(huán)境，后續(xù)建議開展多自由度激勵(lì)下慣組小系統(tǒng)非線性特性的研究。