王佩，陳崢，張玲

1. 廣東金融學(xué)院經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，廣東廣州510521

2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東廣州510275

出生率降低和壽命延長(zhǎng)使得大多數(shù)國(guó)家養(yǎng)老金制度面臨著越來(lái)越嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。Poterba 等［1］和Blake等［2］指出為應(yīng)對(duì)養(yǎng)老金支付危機(jī)，保證養(yǎng)老保障體系的可持續(xù)性，越來(lái)越多國(guó)家的養(yǎng)老金模式由確定收益型養(yǎng)老金計(jì)劃（以下簡(jiǎn)稱DB 型養(yǎng)老金計(jì)劃）轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定繳費(fèi)型養(yǎng)老金計(jì)劃（以下簡(jiǎn)稱DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃）。這是因?yàn)椋珼C 型養(yǎng)老金計(jì)劃的繳費(fèi)是預(yù)先確定的，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者退休后所能領(lǐng)取到的金額取決于積累期內(nèi)養(yǎng)老金賬戶的投資收益。相應(yīng)地，投資風(fēng)險(xiǎn)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)也從養(yǎng)老金計(jì)劃的發(fā)起人轉(zhuǎn)移到參與者身上。從這個(gè)意義上講，DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃有效的投資管理和風(fēng)險(xiǎn)控制對(duì)于參與者維持退休后的生活水平具有重要意義。近20 年來(lái)，也出現(xiàn)了大量關(guān)于DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資管理的研究。這些研究按照優(yōu)化準(zhǔn)則可劃分為兩大類：一類是以期望效用最大化為優(yōu)化準(zhǔn)則，如Battocchio等［3］得到了常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用（CARA）下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略；Cairns 等［4］研究了常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用（CRRA）下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略；Chen 等［5］研究了DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的預(yù)期S-型效用最大化問(wèn)題；另一類采用了均值-方差準(zhǔn)則，如Yao 等［6］、Guan 等［7］以及Zhang 等［8］研究了均值-方差準(zhǔn)則下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略。

上述關(guān)于DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題的研究有兩個(gè)方面值得拓展。一方面，以上文獻(xiàn)多采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型刻畫金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)為常數(shù)或關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)。然而許多實(shí)證研究表明股票價(jià)格的波動(dòng)率是隨機(jī)的而非確定的［9-10］。于是，Gao［11］、Guan 等［12］和鄧麗梅等［13］在效用最大化準(zhǔn)則下分別利用Constant Elasticity of Variance（CEV）模型、Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型和仿射平方根隨機(jī)模型研究了具有隨機(jī)波動(dòng)率的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略。另一方面，上述文獻(xiàn)中均值-方差準(zhǔn)則下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略是時(shí)間不一致的，即在初始時(shí)刻得到的最優(yōu)投資策略在未來(lái)時(shí)刻不再是最優(yōu)的。這是因?yàn)榫?方差目標(biāo)函數(shù)中的方差項(xiàng)不滿足期望迭代性質(zhì)，Bellman最優(yōu)性原則不再成立。因此，在均值-方差準(zhǔn)則下得到的最優(yōu)投資策略只在初始時(shí)刻是最優(yōu)的，也稱為預(yù)先承諾策略。然而，投資策略的時(shí)間一致性是理性決策者的基本要求。特別對(duì)于投資期限通常為三、四十年的DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃而言，如果投資策略缺乏時(shí)間一致性，DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的投資收益可能會(huì)遭受意想不到的損失。DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的決策者更偏好對(duì)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)都是最優(yōu)的時(shí)間一致策略，而不是僅在初始時(shí)間最優(yōu)的預(yù)先承諾策略。因此，在Bj?rk 等［14］提出的納什均衡分析框架下，許多學(xué)者試圖通過(guò)求解擴(kuò)展的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程系統(tǒng)研究均值-方差準(zhǔn)則下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的時(shí)間一致性投資策略（也稱均衡策略）［15-17］。

現(xiàn)有DC型養(yǎng)老金計(jì)劃時(shí)間一致投資策略問(wèn)題的研究中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程一般由幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫，其瞬時(shí)收益率和波動(dòng)率設(shè)定為常數(shù)。然而，近年金融市場(chǎng)的現(xiàn)狀表明風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率會(huì)受到政治、經(jīng)濟(jì)、突發(fā)災(zāi)難事件等不確定因素的極大影響，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率是時(shí)變而非確定的。在長(zhǎng)達(dá)幾十年的投資期限中考慮波動(dòng)率隨機(jī)變化對(duì)DC型養(yǎng)老金計(jì)劃均衡投資策略的影響更貼近金融市場(chǎng)實(shí)際，一些學(xué)者也開始這方面的探索［18-19］。另外，作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的有力工具，衍生品在金融投資實(shí)踐中已是必備選項(xiàng)。然而DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃投資決策問(wèn)題還較少考慮此類資產(chǎn)。但是，由于衍生品在對(duì)沖金融風(fēng)險(xiǎn)方面的有效性，衍生品的投資已引起了廣泛關(guān)注。近10 年來(lái)，一些學(xué)者開始關(guān)注含有衍生品的最優(yōu)投資組合問(wèn)題［20-22］。根據(jù)新加坡交易所2015年1月6日發(fā)布報(bào)告，2014年證券交易量下降了25%，而衍生品交易量則升至歷史新高。過(guò)去10年來(lái)，養(yǎng)老金投資市場(chǎng)中衍生品的投資也越來(lái)越多。2012 年英國(guó)國(guó)家養(yǎng)老基金協(xié)會(huì)（NAPF）年度調(diào)查顯示，57%參與者的養(yǎng)老金計(jì)劃包含衍生品。此外，2016年全球養(yǎng)老金資產(chǎn)研究報(bào)告顯示，截至2015 年底，全球七大市場(chǎng)（澳大利亞、加拿大、日本、荷蘭、瑞士、英國(guó)和美國(guó)）的平均全球資產(chǎn)配置比例為44%股票、29%債券、3%現(xiàn)金和24%其他資產(chǎn)，其中其他資產(chǎn)主要為衍生品。衍生品在養(yǎng)老金投資市場(chǎng)上越來(lái)越流行，相關(guān)研究也正在逐步展開，Zeng等［23］研究了模型不確定下基于衍生品投資的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的穩(wěn)健最優(yōu)投資策略。

基于上述研究進(jìn)展，本文擬在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率隨機(jī)變化且包含衍生品的金融市場(chǎng)中，研究均值-方差準(zhǔn)則下DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的時(shí)間一致投資策略。金融市場(chǎng)中包含一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、一支股票和一個(gè)衍生品。股票的價(jià)格過(guò)程服從一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型。在Bj?rk 等［14］提出的納什均衡分析框架下，通過(guò)求解相應(yīng)擴(kuò)展的HJB 方程系統(tǒng)，得到有衍生品投資和無(wú)衍生品投資情形下DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡投資策略和均衡有效前沿。最后用數(shù)值算例分析了隨機(jī)波動(dòng)率和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對(duì)均衡有效前沿的影響。本文的主要貢獻(xiàn)：（i）在均值-方差準(zhǔn)則下構(gòu)建了具有衍生品投資的DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃投資組合模型；（ii）我們發(fā)現(xiàn)，衍生品可以顯著提高DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的投資績(jī)效，投資于衍生品、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票的均衡有效前沿遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票的均衡有效前沿，因此衍生品是DC型養(yǎng)老金計(jì)劃參與者提高投資收益的一種可行工具。

1 模型構(gòu)建與求解

我們考慮DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的代表性參與者，于0 時(shí)刻開始工作，T ＞0 時(shí)刻退休。在工作期間，他領(lǐng)取隨機(jī)的工資，并連續(xù)不斷地按照固定比例繳納工資的一部分到自己的養(yǎng)老金賬戶。為了維持退休后的生活水平，這個(gè)代表性參與者將其養(yǎng)老金賬戶中的財(cái)富投資到金融市場(chǎng)以增加自己養(yǎng)老金賬戶的金額。假設(shè)金融市場(chǎng)無(wú)摩擦，不考慮交易成本。

1.1 金融市場(chǎng)

金融市場(chǎng)上存在三種資產(chǎn)：一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（現(xiàn)金或銀行賬戶）、一支股票和一個(gè)衍生品。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程S0(t)滿足下面的微分方程

其中r ＞0表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。股票的價(jià)格過(guò)程S(t)服從下面的隨機(jī)微分方程

股票收益的方差v(t)滿足平方根過(guò)程

其中OS和Ov分別表示O(t，S(t)，v(t))關(guān)于S(t)和v(t)的偏導(dǎo)數(shù)，λ2是波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)Wv(t)的溢價(jià)。

1.2 財(cái)富過(guò)程

在DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃中，參與者連續(xù)不斷地向其養(yǎng)老金賬戶繳納固定比例ξ（8%或10%）的工資金額。假設(shè)參與者的工資L(t)滿足下面隨機(jī)微分方程

其中μL＞0為工資的預(yù)期增長(zhǎng)率，σL＞0為工資的波動(dòng)率。

為了使養(yǎng)老金保值增值，參與者將其養(yǎng)老金賬戶的財(cái)富投資到金融市場(chǎng)。令πS(t)和πO(t)分別表示t時(shí)刻投資在股票和衍生品上的財(cái)富比例，則1- πS(t) - πO(t)為t 時(shí)刻投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的財(cái)富比例。稱π：={π(t)：=(πS(t)，πO(t))}t∈[0，T]為一個(gè)投資策略，則在投資策略π 下參與者養(yǎng)老金賬戶的財(cái)富Xπ(t)滿足如下動(dòng)態(tài)方程

1.3 優(yōu)化問(wèn)題與驗(yàn)證定理

1.4 優(yōu)化問(wèn)題（8）求解過(guò)程

在求解優(yōu)化問(wèn)題（8）的均衡策略與相應(yīng)均衡值函數(shù)之前，先化簡(jiǎn)擴(kuò)展HJB 方程系統(tǒng)（10）。

命題1擴(kuò)展HJB 方程系統(tǒng)（10）可簡(jiǎn)化為

系統(tǒng)（45）～（47）的推導(dǎo)類似于命題1 的證明，此處省略。然后通過(guò)類似于定理2 中的推導(dǎo)過(guò)程，求解擴(kuò)展HJB方程系統(tǒng)（45）～（47），即得到（39）～（43）式。證畢

2 敏感性分析

上一節(jié)得到了DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡策略和均衡有效前沿，為進(jìn)一步清晰地展示隨機(jī)波動(dòng)率、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)以及衍生品對(duì)DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃均衡有效前沿的影響，本節(jié)將通過(guò)數(shù)值分析與數(shù)值算例進(jìn)行直觀呈現(xiàn)。參考Zeng 等［23］，模型參數(shù)的取值設(shè)定為：r = 0.05，κ = 5，δ = 0.132，ξ = 0.2，λ1= 2，λ2= -6，μL=0.08，σL= 0.5，σv= 0.25，γ = 0.5，ρv= -0.4，x0= 4，l0= 1，v0= 0.152，t = 0，T = 20。

總體而言，從圖1和圖2可明顯看出，投資于衍生品、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票情形的均衡有效前沿明顯優(yōu)于只投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票情形的均衡有效前沿。這意味著在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃投資決策中納入衍生品可以改善均衡有效前沿、降低DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的投資風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 參數(shù)κ和σv對(duì)均衡有效前沿的影響Fig.1 The effect of parameters κ and σv on the equilibrium efficient frontier

圖2 參數(shù)λ1和λ2對(duì)均衡有效前沿的影響Fig.2 The effect of parameters λ1 and λ2 on the equilibrium efficient frontier

圖1 顯示了v(t)的均值回復(fù)速率κ 和波動(dòng)率σv對(duì)DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃均衡有效前沿的影響。由圖1（a）可發(fā)現(xiàn)，隨著κ 的增長(zhǎng)，v(t)的不確定性越小，在退休時(shí)財(cái)富的期望水平相同時(shí)，退休時(shí)財(cái)富的方差越小，也就是說(shuō)投資風(fēng)險(xiǎn)降低。與之相反，當(dāng)σv變大時(shí)，v(t)的不確定性增大，當(dāng)退休時(shí)財(cái)富的期望水平相同時(shí)，退休時(shí)財(cái)富的方差變大，投資風(fēng)險(xiǎn)升高。

圖2 揭示了風(fēng)險(xiǎn)WS(t)的溢價(jià)λ1和風(fēng)險(xiǎn)Wv(t)的溢價(jià)λ2對(duì)均衡有效前沿的影響。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)方差固定時(shí)，對(duì)于有衍生品交易情形，均衡有效前沿隨著λ1的增大而上升、隨著λ2的增大而降低；而對(duì)于無(wú)衍生品交易情形，均衡有效前沿隨λ1的增大而上升，而λ2對(duì)均衡有效前沿?zé)o影響。由于λ1的值為正，λ2的值為負(fù)，我們分析|λ1|和|λ2|對(duì)均衡有效前沿的影響。隨著λ1增大，退休時(shí)財(cái)富的方差相同時(shí)，退休時(shí)財(cái)富的期望更大，均衡有效前沿上升。這主要是因?yàn)棣?越大，股票的預(yù)期收益率越大，這有助于參與者通過(guò)承擔(dān)相同的風(fēng)險(xiǎn)水平而獲得更高的收益。|λ2|越大，意味著來(lái)自Wv(t)的風(fēng)險(xiǎn)越大，這種風(fēng)險(xiǎn)可以由衍生品對(duì)沖，而不能由股票對(duì)沖。因此，在無(wú)衍生品情形中，λ2的變化對(duì)均衡有效前沿沒(méi)有影響，因此圖2（b）中無(wú)衍生品情形下，λ1= -4 與λ2= -6 對(duì)應(yīng)的均衡有效前沿重合。相反，來(lái)自Wv(t)風(fēng)險(xiǎn)越大，作為對(duì)沖工具的衍生品就越有用。因此，|λ2|越大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)減低，從而提升均衡有效前沿。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了均值-方差準(zhǔn)則下可投資衍生品的DC 型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡投資策略。根據(jù)Bj?rk 等［14］提出的博弈論思想，得到優(yōu)化問(wèn)題滿足的擴(kuò)展HJB 方程系統(tǒng)。通過(guò)求解擴(kuò)展HJB 方程系統(tǒng)得到均衡投資策略和相應(yīng)均衡值函數(shù)的解析表達(dá)式。并進(jìn)一步得到了無(wú)衍生品投資情形的均衡投資策略和相應(yīng)均衡值函數(shù)的解析式。最后，本文分析了隨機(jī)波動(dòng)率和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對(duì)均衡有效前沿的影響，投資于衍生品、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票情形的均衡有效前沿明顯優(yōu)于只投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票情形的均衡有效前沿，說(shuō)明投資衍生品可以有效地提高投資效率、降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)。