于道洋 寧連華

【摘 要】 “平衡”是中華傳統(tǒng)文化的重要觀點，也是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的更高境界.數(shù)學(xué)教學(xué)中的平衡主要包含了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)提示語、課堂處理方式、教學(xué)材料選取等方面，從以上幾個角度入手可以對數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中如何實現(xiàn)精妙的“平衡”展開論述，并結(jié)合具體課例詳細(xì)闡釋相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)策略、預(yù)期和實際的教學(xué)效果.通過教學(xué)中各個環(huán)節(jié)的設(shè)計，數(shù)學(xué)課堂能在動態(tài)平衡中引領(lǐng)學(xué)生走向更高的層次.

【關(guān)鍵詞】 平衡;啟發(fā)用語;教學(xué)材料

1 研究背景

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育工作者在優(yōu)化教學(xué)策略、完善教育教學(xué)理論、提高教學(xué)境界等方面可謂用心良苦.在傳統(tǒng)文化復(fù)興和數(shù)學(xué)文化日漸引起人們重視的時代背景下，具有中國特色和中國氣派的教學(xué)策略、教學(xué)風(fēng)格熱度漸升，逐步進(jìn)入了研究者的視線.其中，“平衡”這一概念引發(fā)了筆者的濃厚研究興趣，它既是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的要義，又符合我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的理念、目標(biāo)與追求：培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力與數(shù)學(xué)直覺并重，數(shù)學(xué)基本能力與數(shù)學(xué)興趣并重，這無疑都體現(xiàn)著一種平衡的意味.因此，筆者將結(jié)合個人的教學(xué)實踐，從以下幾個方面試圖對數(shù)學(xué)教學(xué)中“平衡”的運用和把握展開論述和探究.

2 數(shù)學(xué)教學(xué)“遠(yuǎn)與近”的平衡

2.1 教學(xué)內(nèi)容的“遠(yuǎn)與近”

著名教育家杜威在他的名著《思維與教學(xué)》中寫到：“在地理科里，兒童絕不喜歡研究鄉(xiāng)土的環(huán)境，卻神往于大海高山.在語文科里，他們很不愿意描寫切身的經(jīng)驗，而暢寫著深文奧義……相熟的和相近的本身并不能引起思維，只有拿它們來了解陌生的和相遠(yuǎn)的才有用處.”這啟發(fā)我們，在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，應(yīng)當(dāng)注意“遠(yuǎn)與近”的平衡，也即現(xiàn)實生活中頻繁接觸到的事物與抽象思辨話題的配置比例.為深入闡發(fā)這一分論題，特舉例如下.

筆者在為高中學(xué)生講解平面向量時，提到了“建立坐標(biāo)系”的解題策略.顯然，學(xué)生對于高中數(shù)學(xué)題目中的各類技巧并無太多興趣，因為這距離他們太“近”了.基于這樣的現(xiàn)實情況，筆者從“數(shù)學(xué)哲思”的角度進(jìn)行了新的教學(xué)設(shè)計.首先告訴學(xué)生，“坐標(biāo)系絕不僅僅是一種數(shù)學(xué)工具，事實上，它教會我們思考問題要從兩個維度出發(fā)：縱向看歷史，橫向看世界.時?；赝c，環(huán)顧不同象限，才能找準(zhǔn)人生的坐標(biāo)”.這番話一出，學(xué)生頓時來了興致，因為這距離他們比較“遠(yuǎn)”，在平素學(xué)習(xí)中也從未有過這樣的思索.筆者因勢利導(dǎo)，進(jìn)一步提出“高中數(shù)學(xué)的世界里，我們只見過平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系，其實這個大家族里的成員還有球坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系等等.你自然會問，不同的坐標(biāo)系之間可以相互轉(zhuǎn)換嗎，當(dāng)然可以.有時候，變換了坐標(biāo)系，也是變換了一種評價體系和衡量尺度.你無法改變社會的評價，但你可以控制自己內(nèi)心的標(biāo)準(zhǔn).我們的生命歷程，就是發(fā)掘、體會更多評價方式的歷程，當(dāng)我們真正學(xué)會了認(rèn)識自己，才能心安，心定，專注于真正重要的事情”.這引發(fā)了學(xué)生更加強(qiáng)烈的思考欲望，最后，筆者回到他們熟悉的“建系”技巧，只不過又將距離拉“遠(yuǎn)”了一些：“通過建立坐標(biāo)系，原來凌亂無序的事物被瞬間統(tǒng)一在了某個系統(tǒng)之內(nèi)，這一方法才因之成為解題的利器”.至此，學(xué)生對于建立坐標(biāo)系這樣一個平凡技巧的認(rèn)識煥然一新.

2.2 教學(xué)啟發(fā)用語的“遠(yuǎn)與近”

在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師常常需要根據(jù)學(xué)生掌握情況使用啟發(fā)式教學(xué)用語以推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程.每每談到啟發(fā)用語，數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究者們通常想到早在數(shù)千年前孔子的名句“不憤不啟，不悱不發(fā)”，它道出了啟發(fā)式教學(xué)的真諦.而筆者此處意在強(qiáng)調(diào)這句話的后半部分：舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.這句話的字面意思是十分容易理解的，然而，它也恰恰暗示了另外一層含義：不是所有的學(xué)生都能舉一反三，這是教學(xué)過程中客觀存在的現(xiàn)實情形.這一點應(yīng)當(dāng)引起數(shù)學(xué)教育工作者的注意，面對領(lǐng)悟能力不同的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)使用“遠(yuǎn)近高低各不同”的教學(xué)啟發(fā)用語.對于課堂中使用的提示語，筆者舉例如下：

設(shè)函數(shù)f（x）=x·2x+x，A0為坐標(biāo)原點，An為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N*）的點，向量an=∑nk=1Ak-1Ak，i=（1，0），設(shè)θn為an與i的夾角，則∑nk=1tanθk=.

在為高三學(xué)生講解上述題目時，筆者先提出了一個問題：“這道題的本質(zhì)是在求什么？”，這是較“遠(yuǎn)”的提示語，對于班上學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，意在啟發(fā)他們透過此題紛繁的符號表達(dá)直擊本質(zhì).而這對于學(xué)生的確難度不低，于是筆者進(jìn)一步給出稍“近”的提示語：“向量an的坐標(biāo)實際上只與誰有關(guān)？”，如此一來，絕大部分學(xué)生都能夠找到解題的切入點.在解題結(jié)束后，筆者又給出了一句較“遠(yuǎn)”的提示語：“解決這道題目，你們用了哪些提示語來幫助自己推進(jìn)解題過程？”，這一問法意在啟發(fā)學(xué)生做解題后的自我反思，強(qiáng)化元認(rèn)知，對自己的思維過程進(jìn)行回溯，從而提高其解題能力.

3 無意識處理與有意識處理的平衡

在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，教師往往習(xí)慣于有意識處理，即對題目與知識點進(jìn)行詳盡的講解.但某些情形下，適度采用無意識處理也許會收到事半功倍之效.例如，在為即將升入高中的學(xué)生講解因式分解一節(jié)時，筆者設(shè)置了這樣幾道習(xí)題：（1）x3-3x2+4;（2）x3-9x+8;（3）x9+x6+x3-3.面對中考成績接近滿分的幾名學(xué)生，筆者講解了上述題目的因式分解過程之后，并沒有立刻提出任何問題，而是繼續(xù)講解下一類因式分解方法.因為，筆者希望通過此處的無意識處理，讓學(xué)生自然產(chǎn)生好奇：一個多項式能夠進(jìn)行因式分解的判斷依據(jù)是什么.這比教師進(jìn)行有意識處理，也就是強(qiáng)行灌輸?shù)男Ч@然會好得多.為了讓這種無意識處理收到預(yù)期的效果，我在上述習(xí)題的選擇上做了“有意識處理”，即滿足因式分解定理的多項式和不滿足的均選入習(xí)題，如此一來，學(xué)生在尋找規(guī)律的過程中遭遇到挫折，便自然產(chǎn)生疑問.果然，該講解結(jié)束時，學(xué)生提問：“起初我找到的規(guī)律是滿足各項系數(shù)和為0的才可以因式分解，但是題目當(dāng)中出現(xiàn)了反例”.此時，教師再給出因式分解定理，然后進(jìn)行解釋：“滿足該定理的一定可以因式分解，不滿足的未必不能因式分解，但是有了該定理作為判斷依據(jù)，本身已經(jīng)對解題產(chǎn)生了重要的作用.”至此，無意識處理的作用得到了展現(xiàn)，學(xué)生對因式分解的理解也上升了一個臺階.

4 教學(xué)材料“新與舊”的平衡

在數(shù)學(xué)教學(xué)的新課引入環(huán)節(jié)，如何巧妙地利用學(xué)生已有的知識引導(dǎo)學(xué)生接受新知，是對每一位數(shù)學(xué)教育工作者的考驗.在此過程中，新材料與舊知識的取舍和使用比例，無疑決定著引入的效果，因此，教師需要找尋其中的平衡.談到教學(xué)材料新與舊的選擇，不能不提到維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，才能把握好新舊知識之間的平衡.

例如，在為幾名準(zhǔn)高一學(xué)生講解初升高銜接課當(dāng)中的乘法公式部分時，筆者事先了解到，他們的中考成績十分優(yōu)異，且已經(jīng)學(xué)習(xí)過完全立方公式和基本的排列組合知識.因此，筆者做了如下設(shè)計：首先請他們寫出（a+b）n，n=2，3，4的各項展開式，并尋找規(guī)律.隨后，將學(xué)生找到的各項系數(shù)規(guī)律加以總結(jié)規(guī)范，寫出楊輝三角，再以楊輝三角作為新舊知識的交匯點引出二項式定理.對于學(xué)生而言，排列組合與完全平方（立方）公式均是舊知識，但他們從未想過兩者之間有何種聯(lián)系.因此，筆者給出這種教學(xué)設(shè)計的意圖恰恰在于，向?qū)W生揭示“二項式定理的本質(zhì)是用排列組合的方式在各項當(dāng)中選擇因式參與運算”，從而在學(xué)生的新舊知識之間建立聯(lián)系，拓寬他們思考的維度，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更為整體化的認(rèn)識.

5 結(jié)語

正所謂“致廣大而盡精微，極高明而道中庸”，中庸一詞的核心恰恰在于不偏不倚的平衡.平衡，不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)中值得深思的關(guān)鍵點，更是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化所強(qiáng)調(diào)的核心思想，在傳統(tǒng)文化的語境中，平衡，是動態(tài)的，是處于不斷發(fā)展變化當(dāng)中的.正因如此，平衡是一種難以言傳、難以把握、難以到達(dá)的至高境界，也是一種難以量化、難以測評的數(shù)學(xué)教學(xué)的高水準(zhǔn)、高品位.為了縮短與這樣的高境界、高水準(zhǔn)之間的距離，筆者認(rèn)為既應(yīng)當(dāng)從傳統(tǒng)文化的養(yǎng)料中挖掘教育智慧為數(shù)學(xué)課堂所用，又應(yīng)當(dāng)對大量的講課、聽課、評課的課堂案例進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，從課堂引入、教學(xué)用語等方面將“平衡”落實為具體的教學(xué)設(shè)計，以服務(wù)于此后的課堂教學(xué).因為從某種層面而言，數(shù)學(xué)教學(xué)既是一門科學(xué)，又可以稱作一門藝術(shù)，其分寸、火候的拿捏，是教學(xué)工作者經(jīng)驗、智慧、知識面等多個因素的綜合作用.教無定法，貴在得法，只有在長期的教學(xué)實踐中不斷摸索總結(jié)，方能達(dá)到“運用之妙，存乎一心”的教學(xué)境界，也方能在多種教學(xué)策略的動態(tài)平衡中引領(lǐng)學(xué)生走向更高的層次.

作者簡介 于道洋（1996—），男，山東濟(jì)南人，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)教育.

寧連華（1966—），男，江蘇豐縣人，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)學(xué)教育.