趙俊淇 陳衛(wèi)東? 余本嵩，2

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實驗室，南京210016）

（2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實驗室，大連116024）

引言

空間繩系衛(wèi)星系統(tǒng)（Tethered Satellite System），簡稱TSS，是通過系繩將兩個或者多個衛(wèi)星連接起來，最初的設(shè)想是空間繩系衛(wèi)星系統(tǒng)由母星和子星以及系繩構(gòu)成，系繩兩端分別連接母星和子星，母星利用卷揚(yáng)機(jī)構(gòu)對子星進(jìn)行釋放或回收.根據(jù)系繩導(dǎo)電與否，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)可分為電動力系統(tǒng)和非電動力系統(tǒng)兩大類.多體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)是由兩體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)演化而來，通常由多個衛(wèi)星或航天器在空間范圍內(nèi)相對靜止地組成某種特定的構(gòu)形.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)具有低成本，高靈活性，高性能等優(yōu)勢，因此受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-7］.

三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，由三顆衛(wèi)星通過系繩首尾相連，通過自旋張緊系繩形成穩(wěn)定的空間姿態(tài)，可節(jié)省用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)姿態(tài)以及衛(wèi)星相對位置的燃料，因此具有很大的研究意義.Kumar等將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，忽略系繩質(zhì)量，通過拉格朗日法得到橢圓軌道中不包括衛(wèi)星質(zhì)量和系繩長度的系統(tǒng)運(yùn)動控制方程的一般形式，通過數(shù)值模擬驗證了三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的可行性［8］.Kim等對三角形繩系衛(wèi)星編隊進(jìn)行了研究，提出通過控制系繩長度降低整體所需的推理水平從而實現(xiàn)節(jié)省燃料的目的［9］.Nakaya等將航天器視為剛體，提出基于虛擬結(jié)構(gòu)方法，研究三體繩系衛(wèi)星編隊展開過程中通過角動量以及系繩張力實現(xiàn)控制方法實現(xiàn)系統(tǒng)展開［10］.Topal等將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，對等邊三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模，得到了低地球圓軌道上運(yùn)行的旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定方程［11］.Williams將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行動力學(xué)建模，基于系繩張力控制，對三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)自旋展開的問題進(jìn)行了研究［12］.陳志明針對三星編隊問題提出一種通過系繩連接的方法基于自選剛體衛(wèi)星的平衡分析，建立了兩種平衡構(gòu)型的繩系衛(wèi)星編隊方法，并分析了穩(wěn)定性［13］.Yu等忽略衛(wèi)星剛體姿態(tài)，研究了空間三體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定性并進(jìn)行了實驗驗證［14］.Cai等將航天器視為質(zhì)點(diǎn)，研究了釋放和回收階段平動點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性，并且討論了初始系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)速率與耦合軌道振幅對釋放回收階段的影響，并得到繩長對系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動影響不大作為對三角形繩系衛(wèi)星研究的基礎(chǔ)［15，16］.黃靜等人對于考慮剛體的欠驅(qū)動繩系衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制［17］.Bonzani等考慮剛體衛(wèi)星對經(jīng)典兩體繩系衛(wèi)星建模并分析了大氣阻力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響［18］.Huang等人對于輻形繩系衛(wèi)星進(jìn)行考慮剛體衛(wèi)星姿態(tài)的展開控制研究［19］.

本文考慮衛(wèi)星的剛體姿態(tài)的影響，對三體環(huán)形繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的動力學(xué)模型進(jìn)行研究.采用四元數(shù)法，避免方程奇異值，采用Newton-Euler法建立動力學(xué)模型，得到包含四元數(shù)的可求解的衛(wèi)星運(yùn)動方程.基于此動力學(xué)模型，分析三體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng).對于扭矩造成的衛(wèi)星姿態(tài)不穩(wěn)定，通過施加控制力進(jìn)行主動控制.

1 系統(tǒng)動力學(xué)建模

三顆質(zhì)量相同的衛(wèi)星S1、S2、S3通過系繩兩兩相連組成三體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng).衛(wèi)星質(zhì)量相等為m，將衛(wèi)星視為半徑為rc的球體，相對各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J.由剛度為EA，原長為L的系繩連接.忽略J2攝動以及大氣阻力，引入三組坐標(biāo)參考系，設(shè)地球為均質(zhì)圓球體，建立固結(jié)于地球質(zhì)心O，X軸指向升交點(diǎn)，Z軸垂直于軌道平面的慣性坐標(biāo)系O-XYZ；同時以系統(tǒng)質(zhì)心o為原點(diǎn)，x軸為系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動的反方向，y軸由地球質(zhì)心指向系統(tǒng)質(zhì)心建立軌道坐標(biāo)系o-xyz；另外，對于衛(wèi)星Si，以衛(wèi)星質(zhì)心oi為原點(diǎn)，yi軸由系統(tǒng)質(zhì)心指向衛(wèi)星質(zhì)心，zi軸平行于慣性坐標(biāo)系Z軸建立本體坐標(biāo)系oi-xiyizi.本文在慣性坐標(biāo)系O-XYZ下建模.

系統(tǒng)為正三角形形狀，對一顆衛(wèi)星動力學(xué)建模，類推到另外兩衛(wèi)星.剛體衛(wèi)星Si共有6個自由度，即質(zhì)心運(yùn)動三個移動自由度和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動三個轉(zhuǎn)動自由度.在慣性系下，通過笛卡爾坐標(biāo)系Xi、Yi、Zi表示剛體的質(zhì)心位置，對于剛體姿態(tài)，采用四元數(shù)λi0、λi1、λi2、λi3代替歐拉角，未知變量增加為7個.根據(jù)Newton第二定律，列出慣性系下的質(zhì)心運(yùn)動方程：

其中，i，j，k=1，2，3，mi為衛(wèi)星Si的質(zhì)量，r?i=(X?i，Y?i，Z?i)表示慣性系下衛(wèi)星Si的位置矢量，F(xiàn)i為衛(wèi)星Si受到的萬有引力，Tij、Tik為衛(wèi)星Si受到的系繩拉力.慣性系下衛(wèi)星Si剛體動力學(xué)方程為：

其中，i，j，k=1，2，3，ωi為剛體的角速度，Ji為衛(wèi)星Si的慣量張量，Mi為衛(wèi)星Si的萬有引力主矩，Nij及Nik為系繩拉力產(chǎn)生的力矩.

考慮本體坐標(biāo)系下衛(wèi)星Si的萬有引力，系統(tǒng)質(zhì)心所在軌道高度為H，地球平均半徑為RE，為方便辨別，將本體坐標(biāo)系下變量右下角加(i)，α1，β1，γ1、α2，β2，γ2、α3，β3，γ3分別是本體坐標(biāo)系oi-xiyizi中xi軸、yi軸、zi軸與慣性系X，Y，Z軸的方向余弦.設(shè)地球質(zhì)心O相對于剛體任意位置的微元質(zhì)量dm的徑矢為ri′(i)，有：

其中r為地球質(zhì)心相對于剛體質(zhì)心的距離大小，作用于微元質(zhì)量dm的萬有引力主矢dF和對oi的主矩dM為：

其中，ρi(i)=(xi(i)，yi(i)，zi(i))，dm為相對于剛體質(zhì)心oi的徑矢，在剛體域內(nèi)積分，可得衛(wèi)星Si在本體坐標(biāo)系下的萬有引力主矢Fi和主矩Mi，可以通過轉(zhuǎn)換矩陣變換到慣性系下的萬有引力主矢和主矩.

考慮剛體受到的系繩拉力，認(rèn)為系繩質(zhì)量很小，忽略不計.衛(wèi)星上系繩連接處位置如圖1所示.假設(shè)系繩連接處位置位于軌道坐標(biāo)系的x，y平面，系繩連接處延長相交于衛(wèi)星表面，由此可以確定系繩連接處位置，在本體坐標(biāo)系下oi-xiyizi，衛(wèi)星Si的系繩連接處位置ai、bi，相應(yīng)另外兩顆衛(wèi)星的位置在各自的本體坐標(biāo)系下表示為aj、bj及ak、bk，轉(zhuǎn)換到慣性系下后可以進(jìn)行計算，得到系繩實際實時長度.記另兩顆衛(wèi)星分別為Sj、Sk，衛(wèi)星Si相連的兩根系繩拉力分別是：

圖1 軌道坐標(biāo)系下x，y平面系繩位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the position of the xy plane tether in the orbital coordinate system

其中，E為系繩的楊氏模量，A為系繩的橫截面積，rij及rik分別是衛(wèi)星Si與Sj、Sk之間系繩的實時長度，rij及rik分別為它們的模.

通過本體坐標(biāo)系可以表示出系繩拉力對衛(wèi)星Si質(zhì)心的距離rTij及rTik，從而得到拉力力矩Nij及Nik：

將各個力與力矩通過轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的坐標(biāo)系下，代入公式（1），（2）中即可得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程.

2 系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)

取一組參數(shù)數(shù)值研究該動力學(xué)模型動力學(xué)響應(yīng)，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量相同，為100kg，記繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)質(zhì)心所在軌道距地高度為H=500km，地球平均半徑為RE=6378km，地球引力參數(shù)μE=3.9885×1014m3/s2［16］，則系統(tǒng)所在得軌道高度的繞地角速度為：

即軌道坐標(biāo)系o-xyz相對于慣性系O-XYZ的公轉(zhuǎn)角速度約為Ω=0.0011rad/s；根據(jù)坐標(biāo)系的建立得知，軌道坐標(biāo)系相對于系統(tǒng)質(zhì)心的角速度也為Ω，且旋轉(zhuǎn)方向以逆時針為正.記系繩初始長度皆為L=10km，且不計系繩質(zhì)量，剛體為rc=1m的球體.本文研究的三體環(huán)形繩系編隊系統(tǒng)繞軌道坐標(biāo)系z軸自旋運(yùn)動，在給定系統(tǒng)初始自旋角速度為ω=5Ω的情況下，進(jìn)行系繩連接處位置不同時的動力學(xué)響應(yīng)的討論.

2.1 系繩連接處延長線經(jīng)過質(zhì)心

取系繩剛度EA=5×104N，首先，對于系繩連接位置過質(zhì)心的簡單情況進(jìn)行數(shù)值模擬，此時沒有系繩拉力引起的扭矩，同時系繩位置及萬有引力位于x，y平面內(nèi)，因此，x，y平面內(nèi)剛體所受力矩為0，只有z方向的扭矩，且沒有z方向的位移.因此僅對x，y平面上的動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行展示.得到仿真結(jié)果如圖2所示，表示慣性系下系統(tǒng)運(yùn)行軌跡，圖2為軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1的運(yùn)行軌跡，得到完整規(guī)則圓形，對其進(jìn)行細(xì)節(jié)觀察，可以發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星圍繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)五個周期，而且周期之間距離相差較小.

圖2 慣性系下系統(tǒng)運(yùn)動軌跡圖Fig.2 Trajectory diagram of the system in the inertial coordinate system

圖3 軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1運(yùn)行軌跡Fig.3 Trajectory of satellite 1 in the orbit coordinate system

2.2 系繩連接處延長線不經(jīng)過衛(wèi)星質(zhì)心

初始時刻，取系統(tǒng)質(zhì)心及衛(wèi)星S1的質(zhì)心同時位于慣性坐標(biāo)系O-XYZ的X軸上，衛(wèi)星相對于各自本體坐標(biāo)系的偏轉(zhuǎn)角度都為0，數(shù)據(jù)模擬結(jié)果如圖4，圖5所示，圖4表示慣性系下系統(tǒng)運(yùn)行軌跡，圖5為軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1的運(yùn)行軌跡，都得到完整規(guī)則圓形，因此表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的.同時觀察軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡細(xì)節(jié)，可以發(fā)現(xiàn)在ω=5Ω的情況下，衛(wèi)星圍繞系統(tǒng)質(zhì)心轉(zhuǎn)動五個周期，因此，驗證了方法的正確性，但是相比于系繩位置穿過質(zhì)心的情況，周期之間距離更大，受到系繩位置影響.

圖4 慣性系下系統(tǒng)運(yùn)動軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the system in the inertial coordinate system

圖5 軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1運(yùn)行軌跡Fig.5 Trajectory of satellite 1 in the orbit coordinate system

3 衛(wèi)星姿態(tài)控制

3.1 基于單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制

首先通過轉(zhuǎn)換矩陣，將衛(wèi)星角度從四元數(shù)轉(zhuǎn)化為歐拉角的形式，根據(jù)前文受力可知，衛(wèi)星只受z方向的扭矩，因此只有繞z軸的轉(zhuǎn)動，即α角的變化.單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示 .圖 中 ，x1(k)=e(k)-e(k-1)；x2(k)=e(k)；x3(k)=Δ2e(k)=e(k)-2e(k-1)+e(k-2)；初始角度為0，即理想角度為0，e(k)為衛(wèi)星瞬時角度αd(t)與理想角度α(t)的差值.則控制律u(k)為：

圖6 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Single neuron adaptive PID control structure block diagram

權(quán)值wi(k)的學(xué)習(xí)算法為：

其中，z(k)=e(k)；ηP、ηI、ηD分別為比例、積分、微分的學(xué)習(xí)速率；K為神經(jīng)元的比例系數(shù)，K>0.對比例P、積分I、微分D的調(diào)節(jié)，可以通過ηP、ηI、ηD分別進(jìn)行調(diào)節(jié)，取ηP、ηI、ηD分別為10、1、10進(jìn)行計算，得到最佳比例、積分、微分系數(shù).

3.2 滑?？刂?/h3>

通過滑?？刂瓶刂菩l(wèi)星角度α變化，考慮被控對象

取滑模函數(shù)為

其中，e(k)仍為衛(wèi)星瞬時角度αd(t)與理想角度α(t)的差值，e?(t)為衛(wèi)星瞬時角速度α?d(t)與理想角速度α?(t)的差值，則：

采用等速趨近律，有

結(jié)合式（16）和式（17），得基于趨近律得滑?？刂坡蔀椋?/p>

取b，c，ε分別為1，100，0.01進(jìn)行滑?？刂?

3.3 算例研究

取前文的各數(shù)值進(jìn)行控制仿真，如表1所示.

表1 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of tethered satellite system

對衛(wèi)星1的姿態(tài)控制進(jìn)行仿真，其他兩衛(wèi)星姿態(tài)控制方法類似.系繩連接處所在位置如圖7所示，系繩延長線不經(jīng)過衛(wèi)星質(zhì)心，首先通過普通PID控制，檢驗控制方法可行性，如圖7所示.

由圖7可以看出，在簡單的PID控制下，衛(wèi)星的姿態(tài)得到了良好的控制，說明控制方法的有效性，但是對于PID控制，控制參數(shù)需要通過經(jīng)驗以及多次實驗得出，增加工作量，同時效率較低，因此通過改進(jìn)方法，采用基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制進(jìn)行衛(wèi)星的姿態(tài)控制.得到基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制與PID控制結(jié)果對比圖如圖8所示.圖中虛線為普通PID控制，實線為單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制，可以看出，單神經(jīng)元自適應(yīng)得到的PID的參數(shù)進(jìn)行控制后，控制曲線超調(diào)量更小，控制效果更好，穩(wěn)定速度更快.普通PID控制可以使衛(wèi)星角度轉(zhuǎn)動控制在10-2的數(shù)量級，而單神經(jīng)元PID將其控制在0左右.

圖7 有無控制衛(wèi)星姿態(tài)對比Fig.7 Satellite attitude comparison：with vs.without control

圖8 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制與PID控制結(jié)果對比圖Fig.8 Comparison of single neuron adaptive PID control and PID control results

對于滑模控制，控制結(jié)果與基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制的對比圖如圖9所示.圖9中實線代表單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制結(jié)果，虛線代表滑模控制結(jié)果.從圖中可知，二者超調(diào)量基本相同，都可以達(dá)到10-4數(shù)量級，滑?？刂祈憫?yīng)更快，更加平穩(wěn)，控制時間在10s左右，三種控制結(jié)果對比如表2所示.

圖9 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制與滑?？刂平Y(jié)果對比圖Fig.9 Comparison of results of single neuron adaptive PID control and sliding mode control

表2 控制結(jié)果對比Table 2 Comparison of control results

4 結(jié)論

對于三體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)，通過采用考慮剛體姿態(tài)的模型進(jìn)行動力學(xué)建模，獲得更符合實際情況的動力學(xué)模型，得到不同系繩連接位置的動力學(xué)響應(yīng)，驗證模型有效性；對于系繩拉力引起的姿態(tài)不穩(wěn)定，通過基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制以及滑?？刂七M(jìn)行姿態(tài)控制，并取得良好的控制效果.