茍興旺，李愛軍，羅拉全，王長青

（西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710072）

空間長系繩系統(tǒng)動力學(xué)與釋放方法研究

茍興旺，李愛軍，羅拉全，王長青

（西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710072）

針對繩系載荷遠(yuǎn)距離釋放問題，研究了長系繩系統(tǒng)釋放過程的動力學(xué)特性?？紤]系繩質(zhì)量及面外角，建立了長繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學(xué)模型。針對空間長系繩系統(tǒng)展開任務(wù)要求，提出了分段多次展開的思想，將系繩的展開過程多段化，多次應(yīng)用標(biāo)稱控制律，利用差分進(jìn)化算法優(yōu)化得到每段展開結(jié)束時的系繩長度。仿真結(jié)果表明，應(yīng)用多次展開標(biāo)稱控制律不僅可以精確完成系繩的展開，而且有效抑制了長系繩展開過程中速度過大的問題，可以滿足長系繩展開的速度要求。這為今后遠(yuǎn)距離系繩展開與控制提供理論參考。

空間長系繩系統(tǒng)；展開；動力學(xué)模型；標(biāo)稱控制律

空間系繩系統(tǒng)（TSS）［1］是指利用柔性系繩將2個或多個航天器連在一起飛行的組合體?？捎糜诤教炱鬈壍擂D(zhuǎn)移、高空大氣探測、繩系交會對接、空間捕獲、微重力產(chǎn)生等諸多場合［1-2］，已成為具有廣泛應(yīng)用前景的新興空間技術(shù)?？臻g系繩系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性，會給系統(tǒng)的在軌運行帶來強(qiáng)烈振動，特別是對柔性長系繩，由于系統(tǒng)包含有負(fù)阻尼的作用，動力學(xué)行為呈現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象［3］。近年來很多學(xué)者都在探討如何解決系繩的展開控制問題。Rupp C.C.最早提出了系繩張力控制方法［4］；于紹華討論了繩系衛(wèi)星系統(tǒng)二維平面運動，并提出了距離速率控制算法，基于非線性動態(tài)理論分析，實現(xiàn)方便且控制效果明顯，但文章只對平面動力學(xué)進(jìn)行了研究［5］；Pradeep利用KTC理論及其推廣得到了線性張力控制律，但由于該控制律只能針對簡化的線性系統(tǒng)，故實際控制意義不大［6］；金棟平等基于基數(shù)展開將空間系繩系統(tǒng)的控制轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃的最優(yōu)問題，但該方法中控制項的物理意義不明顯［7-8］；別列茲基提出了向垂直位置展開的單擺振蕩阻尼控制律［9］，該控制律效果明顯，實際物理意義明確；但他忽略了系繩的質(zhì)量，對于長系繩的展開具有很大的局限性。針對長系繩系統(tǒng)，本文在別列茲基的基礎(chǔ)上改進(jìn)了適合于長系繩展開的標(biāo)稱控制律。運用分段多次展開的思想，將系繩的展開過程分為多段，多次應(yīng)用標(biāo)稱控制律，并利用差分進(jìn)化算法對每段展開結(jié)束時的長度進(jìn)行了優(yōu)化，避免了展開速度過快對系統(tǒng)造成的不利影響。數(shù)值仿真時考慮了系繩質(zhì)量、初始面外角偏差等因素，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1　系繩系統(tǒng)動力學(xué)模型

空間系繩系統(tǒng)由2顆衛(wèi)星組成，建立軌道運動坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1　空間系繩系統(tǒng)示意圖（軌道運動坐標(biāo)系）

其中，Cx0y0z0為軌道運動坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點C位于母星質(zhì)心處，Cx0軸沿母星向徑方向，Cz0軸沿軌道平面法向并與其動量矩矢量平行，Cy0軸符合右手坐標(biāo)系；Cxtytzt為系繩坐標(biāo)系，Cxt軸沿著衛(wèi)星拉緊系繩的反方向，Cyt軸和Czt軸相對于Cx0y0z0系的夾角為θ和β。

系繩問題非常復(fù)雜，為簡化建模和分析過程，作如下假設(shè)：

1）除地球中心引力外，暫不考慮其他外部干擾力，如大氣阻力和系繩電動力等；

2）子星、母星都認(rèn)為質(zhì)點，且母星質(zhì)量遠(yuǎn)大于子星及系繩的質(zhì)量，所以忽略系繩在展開過程中母星質(zhì)量的變化；

3）考慮系繩既無彎曲剛度亦無扭轉(zhuǎn)剛度，且系繩質(zhì)量均勻分布。

根據(jù)以上假設(shè)，在軌道運動坐標(biāo)系中運用拉格朗日方程建立空間長系繩系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

拉格朗日方程

式中：Tc為系統(tǒng)動能；qi、q□i、Qi（i=1，2，3）是廣義坐標(biāo)、廣義速度和廣義力；面內(nèi)角θ、系繩長度l和面外角β作為廣義坐標(biāo)。

對于長系繩系統(tǒng)，建模時系繩的質(zhì)量不能忽略，將系繩劃分為N個質(zhì)量點如圖2所示。

圖2　長系繩模型

這樣“系繩-載荷”系統(tǒng)的動能和勢能為：

式中，k=0，1，2…N，m0=m為載荷質(zhì)量，mk為第k點系繩的質(zhì)量。

則第k點的運動方程為：

式中，mk=ρL/N（k=1，…，N），ρ為系繩的系密度，即單位長度上的質(zhì)量，Ω為母星的軌道角速度。

N+1個點的方程求和，并且當(dāng)N→∞時有：

那么考慮系繩質(zhì)量的空間系繩系統(tǒng)的運動方程為

2　長系繩展開控制律的設(shè)計

2.1一次展開標(biāo)稱控制律的設(shè)計

針對項目YES2中系繩系統(tǒng)展開的第一階段，文獻(xiàn)［10］中給出了一種張力控制律的表達(dá)形式：

式中，L（tk）為設(shè)定的展開長度，tk為系統(tǒng)展開結(jié)束的時間，m為子星的質(zhì)量，a、b為依據(jù)邊值條件及性能指標(biāo)確定的待優(yōu)化參數(shù)。

由于（6）式所示控制律設(shè)計時沒有考慮系繩質(zhì)量，而對長系繩系統(tǒng)，系繩質(zhì)量就不能忽略，設(shè)計張力控制律時就必須考慮系繩的質(zhì)量。因此在（6）式中加入系繩質(zhì)量的修正項，得到針對長系繩的標(biāo)稱控制律為

在上述控制律形式的基礎(chǔ)上，為使子星最終展開到平衡位置，即：L（tK）=LK，V（tK）=0，θ（tK）=0，θ□（tK）=0，需要尋求最優(yōu)a、b參數(shù)值，使如下性能指標(biāo)最小

式中，q1、q2、q3、q4為加權(quán)系數(shù)；

在性能指標(biāo)中，由于系繩長度的數(shù)量級遠(yuǎn)大于其他指標(biāo)，故取加權(quán)系數(shù)為q1=q2=q4=1，q3= 0.001，同時為防止系繩松弛，速度V的下限要稍大于零，故加入懲罰函數(shù)f，其值為：

利用下山單純形（Nelder-Mead）方法求解，可獲得參數(shù)a、b的優(yōu)化值。從而可獲得針對長系繩的標(biāo)稱展開控制律。

此外，考慮系繩上承受的張力的限制，取T的上下界分別為Tmax和Tmin，則可得：

2.2多次展開標(biāo)稱控制律的設(shè)計

一次展開控制律，在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，可以準(zhǔn)確的將系繩展開到指定的終端條件。然而若系繩太長即L（tk）很大，展開開始時系繩張力T很小，會導(dǎo)致系繩的最大釋放速度過大。而制動階段，則需要較大的張力使速度迅速減小為零，不利于實際系繩系統(tǒng)的展開。

針對上述問題，本文提出將系繩分N（N＞1）階段展開思想，將控制律（7）重復(fù)運用N次，其中L（tk）=L1，L2…LN，LN為每次展開結(jié)束后系繩的長度。這樣系繩在每個階段都有加速和制動兩階段，可以有效將系繩釋放的最大速度有效的限制在一定的范圍內(nèi)。

在上述控制律形式的基礎(chǔ)上，為使系統(tǒng)展開到終端狀態(tài)同時展開時間最短，需要對L1，L2…LN進(jìn)行優(yōu)化，可選取如下的性能指標(biāo)函數(shù)

性能指標(biāo)和懲罰函數(shù)q1，q2，q3，q4，f取值同（8）式，q5=1，在滿足約束T＞0和V＜Vmax的條件下，利用差分進(jìn)化算法可獲得L1，L2…LN的參數(shù)值。

3　仿真分析

3.1仿真條件

假設(shè)TSS運行在1 000 km高度的軌道上，同時子星的釋放不影響母星的軌道高度。TSS的各項參數(shù)如表1所示。

表1　TSS參數(shù)

仿真的初始條件為

3.2仿真結(jié)果與分析

一次展開控制律的參數(shù)，通過優(yōu)化可獲得：a= 4，b=3.7。

多次展開控制律，取分段數(shù)N=9，通過優(yōu)化得每段展開結(jié)束時系繩的長度為：（L1，L2…L9）=（15，50，90，140，200，270，350，450，500）km。

圖中角度單位為度，長度單位為千米，時間單位為秒。將一次展開控制律和多次展開控制律帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程（5）中，在MATLAB平臺用Runger Kutta法積分得仿真結(jié)果如圖3～10所示。

從圖3～10中不難發(fā)現(xiàn)：一次展開控制律和多次展開控制律均可以將子星展開到指定的平衡位置，初始的面外角擾動也都迅速為降為零（如圖7所示）。由圖10子星的運動軌跡可以看出：一次展開橫向最大偏移量為124.355 km，是多次展開最大偏移量的5倍。如圖6所示，展開結(jié)束時2種控制律下系繩速度都為零，然而，一次展開控制律的最大速度為：Vmax1=96.446 m/s遠(yuǎn)超出了速度限制25 m/s，系繩很容易被拉斷。這主要是整個展開過程只有加速和制動2個階段，最終導(dǎo)致系繩的最大速度過大，多次展開控制律的最大速度為：Vmax2= 22.048 m/s，遠(yuǎn)小于一次展開控制律的最大速度，并滿足速度限制。多次展開控制律中，每段展開過程都有加速和制動階段，有效的克服了一次展開的加速段太長導(dǎo)致速度過大的缺點。圖3表明，多次展開控制律的最大面內(nèi)角是一次展開控制律的0.8，這主要是由其展開軌跡特性決定的。

需要說明的是，分段數(shù)N的取值理論上取得越大，每段展開長度相對越短，這樣運用多次展開控制律，其最大展開速度就越小，但是，這樣系繩的展開時間就會越長（篇幅所限，仿真結(jié)果沒有列出）。在實際工程中需考慮系繩特性時，多次展開控制律易于操作，優(yōu)于一次展開控制律。

4　結(jié) 論

本文研究了空間系繩系統(tǒng)長系繩的展開問題，考慮系繩質(zhì)量與面外運動。針對長系繩系統(tǒng)改進(jìn)了標(biāo)稱展開控制律，在此基礎(chǔ)上運用多段展開的思想，并提出了多次展開標(biāo)稱控制律。仿真結(jié)果表明，多次展開標(biāo)稱控制律不僅可以精確地完成系繩的展開，而且有效的抑制了長系繩展開過程中速度過大的問題，可以滿足長系繩展開的速度要求。對于空間系繩系統(tǒng)多階段展開任務(wù)，當(dāng)系繩長度改變時，分為多少次展開，需根據(jù)實際工程要求來調(diào)節(jié)N的值。

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Zablotnov Yuriy.Introduction to Dynamics and Control in Space Tether System［M］.Wang Changqing Translator.Beijing，Science Press，2013（in Chinese）

Research on Dynamics and Deployment Method for Long Space Tether System

Gou Xingwang，Li Aijun，Luo Laquan，Wang Changqing
（Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

This paper studies the control strategy of the deployment for long space tether system.Dynamic characteristic of the long tethered satellite is researched and analyzed in the deployment process.The mathematical model is established through Lagrange Equation，considering the mass of the tether and the out-plane angle of the sub-satellite.Multi-deployment method is proposed according to the requirements of the deployment of the long space tether system.The deployment process is divided into several sections，and the length of tether in each section is optimized with differential evolution algorithm.The nominal control low is applied in every section.Numerical simulation results prove that the proposed control law could not only deploy the sub-satellite to the right location，but also reduce the maximum velocity of deployment of sub-satellite effectively.Multi-deployment method can satisfy the requirement of long tethered satellite deployment.It has theoretical value and can be used in the further research.

long space tether system；deployment；dynamic model；nominal control low

V448.2

A

1000-2758（2015）06-0966-05

2015-03-17

2011年度國家國際科技合作專項資助與陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計劃項目（2013KW09-02）資助

茍興旺（1979—），西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器控制與仿真的研究。