董瑛雪,莫宏敏
(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南吉首 416000)
線性互補(bǔ)問題LCP(M,q)在數(shù)學(xué)規(guī)劃、市場(chǎng)均衡、雙矩陣對(duì)策等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用[1-3].其數(shù)學(xué)模型為:求一向量x∈Rn,滿足
x≥0,Mx+q≥0,(Mx+q)Tx=0,
其中M=(mij)∈Rn×n為給定的實(shí)矩陣(Rn×n表示所有n階實(shí)矩陣構(gòu)成的集合),q∈Rn為給定的實(shí)向量.2006年,陳小君等[4]將P-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界計(jì)算問題轉(zhuǎn)換成P-矩陣線性區(qū)間系統(tǒng)問題,并給出了當(dāng)矩陣M是P-矩陣時(shí)線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:
其中:x*是LCP(M,q)的解;r(x)=min{x,Mx+q};D=diag(d1,…,dn)(0≤di≤1).近年來(lái),有學(xué)者得到矩陣M為某些特殊矩陣類時(shí)的誤差界估計(jì)式[5-7].筆者擬給出P-矩陣的子類B-矩陣線性互補(bǔ)問題的新的誤差界估計(jì)式.
為了敘述方便,引入如下符號(hào):
fj=max{uj,1+uj(s(j)-lj)} .
定義2[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若對(duì)于?i,j∈N+,且j≠i,有
則稱A為B-矩陣.
引理1[8]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣,則A是P-矩陣.
引理2[9]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣,則A是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣.
引理3[9]若A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣,則A是P-矩陣.
2009年,García-Esnaola等[10]首次得到B-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,其中
(1)
(2)
2016年,李朝遷等[11]對(duì)(2)式進(jìn)行改進(jìn),得到B-矩陣線性互補(bǔ)問題的一個(gè)新的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,其中B+=(bij)形如(1)式,則
(3)
其中:
(4)
2016年,李朝遷等[9]證明了B-矩陣是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣,并首次給出了弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則
(5)
其中:
(6)
引理5[10]若H∶=(h1,h2,…,hn)Te,e=(1,1,…,1),h1,h2,…,hn≥0,‖(I-H)-1‖∞≤n-1.
引理6[11]設(shè)γ>0和μ≥0,則對(duì)于?x∈[0,1],有
引理7[12]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則有
定理1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有
(7)
證明令MD=I-D+DM,則
(8)
由引理7可得
(9)
由引理6可得
利用引理4和引理6對(duì)(9)式進(jìn)行不等式的放縮,可得
從而,
(10)
由(8),(10)式可知(7)式成立.證畢.
定理2設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有
(11)
證明由于B+是具有正對(duì)角元素的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,因此
0≤uj(B+)<1,0≤lj(B+)<1,0≤fj(B+)≤1,
(12)
(13)
(14)
由(12)~(14)式可知(11)式成立.證畢.
對(duì)P-矩陣M,有如下結(jié)果[1]:
其中:D=diag(di),0≤di≤1(?i∈N+);‖·‖p(p≥1)是向量誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).類似于文獻(xiàn)[10]中的定理2.4,運(yùn)用定理1可得如下結(jié)論:
推論1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有
例1考慮B-矩陣
令M=B++C,其中
由(3)式可得
由(5)式可得
由(7)式可得
由此可知, (7)式優(yōu)于(3),(5)式.
例2考慮B-矩陣
由(2)式可得
當(dāng)t→+∞時(shí),30(t+1)→+∞,因此該數(shù)值結(jié)果會(huì)趨于正無(wú)窮.
由(3)式可得
當(dāng)t=1時(shí),
當(dāng)t=2時(shí),
當(dāng)t=10 000時(shí),
當(dāng)t=1 070時(shí),
由(5)式可得,對(duì)于?t∈N+,有
由(7)式可得
當(dāng)t=1時(shí),
當(dāng)t=2時(shí),
當(dāng)t=10 000時(shí),
當(dāng)t=1 070時(shí),
由此可知,(7)式優(yōu)于(2),(3),(5)式.
由數(shù)值算例的結(jié)果可知,定理1中的誤差界估計(jì)式改進(jìn)了文獻(xiàn)[9-11]中的結(jié)果.