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B-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)*

2021-05-11 14:08:00董瑛雪莫宏敏
關(guān)鍵詞:對(duì)角算例線性

董瑛雪,莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南吉首 416000)

線性互補(bǔ)問題LCP(M,q)在數(shù)學(xué)規(guī)劃、市場(chǎng)均衡、雙矩陣對(duì)策等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用[1-3].其數(shù)學(xué)模型為:求一向量x∈Rn,滿足

x≥0,Mx+q≥0,(Mx+q)Tx=0,

其中M=(mij)∈Rn×n為給定的實(shí)矩陣(Rn×n表示所有n階實(shí)矩陣構(gòu)成的集合),q∈Rn為給定的實(shí)向量.2006年,陳小君等[4]將P-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界計(jì)算問題轉(zhuǎn)換成P-矩陣線性區(qū)間系統(tǒng)問題,并給出了當(dāng)矩陣M是P-矩陣時(shí)線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:

其中:x*是LCP(M,q)的解;r(x)=min{x,Mx+q};D=diag(d1,…,dn)(0≤di≤1).近年來(lái),有學(xué)者得到矩陣M為某些特殊矩陣類時(shí)的誤差界估計(jì)式[5-7].筆者擬給出P-矩陣的子類B-矩陣線性互補(bǔ)問題的新的誤差界估計(jì)式.

1 預(yù)備知識(shí)

為了敘述方便,引入如下符號(hào):

fj=max{uj,1+uj(s(j)-lj)} .

定義2[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若對(duì)于?i,j∈N+,且j≠i,有

則稱A為B-矩陣.

引理1[8]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣,則A是P-矩陣.

引理2[9]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣,則A是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣.

引理3[9]若A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣,則A是P-矩陣.

2009年,García-Esnaola等[10]首次得到B-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,其中

(1)

(2)

2016年,李朝遷等[11]對(duì)(2)式進(jìn)行改進(jìn),得到B-矩陣線性互補(bǔ)問題的一個(gè)新的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,其中B+=(bij)形如(1)式,則

(3)

其中:

(4)

2016年,李朝遷等[9]證明了B-矩陣是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣,并首次給出了弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣線性互補(bǔ)問題的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則

(5)

其中:

(6)

引理5[10]若H∶=(h1,h2,…,hn)Te,e=(1,1,…,1),h1,h2,…,hn≥0,‖(I-H)-1‖∞≤n-1.

引理6[11]設(shè)γ>0和μ≥0,則對(duì)于?x∈[0,1],有

引理7[12]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則有

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有

(7)

證明令MD=I-D+DM,則

(8)

由引理7可得

(9)

由引理6可得

利用引理4和引理6對(duì)(9)式進(jìn)行不等式的放縮,可得

從而,

(10)

由(8),(10)式可知(7)式成立.證畢.

定理2設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有

(11)

證明由于B+是具有正對(duì)角元素的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,因此

0≤uj(B+)<1,0≤lj(B+)<1,0≤fj(B+)≤1,

(12)

(13)

(14)

由(12)~(14)式可知(11)式成立.證畢.

對(duì)P-矩陣M,有如下結(jié)果[1]:

其中:D=diag(di),0≤di≤1(?i∈N+);‖·‖p(p≥1)是向量誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).類似于文獻(xiàn)[10]中的定理2.4,運(yùn)用定理1可得如下結(jié)論:

推論1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有

3 數(shù)值算例

例1考慮B-矩陣

令M=B++C,其中

由(3)式可得

由(5)式可得

由(7)式可得

由此可知, (7)式優(yōu)于(3),(5)式.

例2考慮B-矩陣

由(2)式可得

當(dāng)t→+∞時(shí),30(t+1)→+∞,因此該數(shù)值結(jié)果會(huì)趨于正無(wú)窮.

由(3)式可得

當(dāng)t=1時(shí),

當(dāng)t=2時(shí),

當(dāng)t=10 000時(shí),

當(dāng)t=1 070時(shí),

由(5)式可得,對(duì)于?t∈N+,有

由(7)式可得

當(dāng)t=1時(shí),

當(dāng)t=2時(shí),

當(dāng)t=10 000時(shí),

當(dāng)t=1 070時(shí),

由此可知,(7)式優(yōu)于(2),(3),(5)式.

由數(shù)值算例的結(jié)果可知,定理1中的誤差界估計(jì)式改進(jìn)了文獻(xiàn)[9-11]中的結(jié)果.

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