吳 莉，楊紅莉

（南京工程學(xué)院 數(shù)理部，江蘇 南京 211167）

在Ishikawa 引入了Ishikawa 型迭代序列研究非擴(kuò)張映射不動點(diǎn)的逼近問題之后，Hilbert 空間或Banach 空間乃至距離空間中Lipschitzian 映射的不動點(diǎn)逼近收斂問題被廣泛研究[1-6]，如：Tan 等[1]、Khan等[7]在具有Opial 條件或具有可微范數(shù)的一致凸Banach 空間中對非擴(kuò)張映射分別研究了Ishikawa迭代序列和帶誤差的Ishikawa 迭代序列的收斂性；Chidume 等[8]對漸近非擴(kuò)張非自身映射研究了Mann型迭代序列的強(qiáng)弱收斂性；Thianwan[9]在Banach 空間中對漸近非擴(kuò)張非自身映射引進(jìn)了兩重迭代序列，并證明了該迭代序列收斂到映射的公共不動點(diǎn)；Guo 等[10]人在一致凸Banach 空間中得到了滿足Browder-Petryshyn（BP）條件的漸近非擴(kuò)張非自身映射的迭代序列強(qiáng)收斂定理。

本文主要在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，對具有中間意義的漸近非擴(kuò)張型非自身映射引入一類新的帶誤差的二重迭代序列，并研究該迭代序列的收斂問題。本文的主要結(jié)果不僅將相關(guān)成果推廣至非Lipschitzian 非自身映射情形，而且弱化了迭代序列的系數(shù)條件。

1 預(yù)備知識

設(shè)X 為Banach 空間。若點(diǎn)列{xn}?X，xn‖xn‖→‖x‖，有xn→x 成立，則稱X 具有Kadec-Klee 性質(zhì)（簡稱KK 性質(zhì)）。若點(diǎn)列{xn}?X，xnx≠y，有成立，則稱X 滿足Opial 條件。

設(shè)C 為X 的非空有界閉凸子集，P :X →C 為X 到C 上的非擴(kuò)張壓縮，即P2=P，且對任何x，y∈X，有‖Px-Py‖≤‖x-y‖。若非自身映射T:C →X 是連續(xù)的，且

記映射T 的不動點(diǎn)集為F（T），即F（T）={x∈C，Tx=x}。為證明主要結(jié)果，我們需要下列引理：

引理2[12]（半閉原理）設(shè)X 為一致凸Banach空間，C 為X 的非空閉凸子集，T :C →X 是連續(xù)的具有中間意義的漸近非擴(kuò)張型非自身映射。若{xn}?C 滿足則x∈F（T）。

引理3[13]設(shè)X 為一致凸Banach 空間，其共軛空間X*具有KK 性質(zhì)，{xn}?X 有界，f，g 為{xn}的弱極限點(diǎn)。若對于任意λ∈[0，1]，h（λ）=（1 -λ）f -g‖存在，則f=g。

若非自身映射T :C →X 對C 的任意有界子集G?C，集{z=x -Tx，x∈G}為X 的閉子集，則稱映射T 滿足BP 條件。

易見，全連續(xù)映射滿足BP 條件，但反之未必成立[2]。

則對于C 的任意有界閉子集G，{z :z=x -Tx，x∈G}無聚點(diǎn)，因此{(lán)z :z=x -Tx，x∈G}為X 的閉子集。從而映射T 滿足BP 條件，但集T（C）是無界的，所以T 不完全連續(xù)。

2 主要結(jié)果

對任何x1∈C，定義C 中帶誤差的迭代序列{xn}為

任意固定m∈N，關(guān)于n 對式（5）取上極限，得到

這樣可以得到下列引理：

引理6若f∈F（T），則

根據(jù)引理6，類似于文獻(xiàn)[14]中的引理3.3，我們可以證明如下引理。

引理7設(shè)0≤λ≤1，f，g∈F（T），則下列極限存在：

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理1設(shè)X 為一致凸Banach 空間，C 為X 的非空閉凸子集，P :X →C 為X 到C 上的非擴(kuò)張壓縮，T :C →X 為具有中間意義的漸近非擴(kuò)張型非自身映射，設(shè)T 滿足

下證{xn}弱收斂，由于空間是一致凸的，只需要證明{xn}的弱極限點(diǎn)唯一。

1）當(dāng)X 的共軛空間X*具有KK 性質(zhì)時，設(shè)f，g為{xn}的弱極限點(diǎn)，則由引理3 知，f，g 為T 的不動點(diǎn)，再根據(jù)引理7 知

存在，由引理3 知f=g。

2）當(dāng)X 具有Opial 條件時，設(shè)

矛盾，所以f=g。

證畢。

下面給出迭代序列的強(qiáng)收斂定理：

定理2設(shè)X 為一致凸Banach 空間，C 為X 的非空閉凸子集，P：X →C 為X 到C 上的非擴(kuò)張壓縮，T：C →X 為具有中間意義的漸近非擴(kuò)張型非自身映射，若T 和{xn}同定理1，則{xn}強(qiáng)收斂于T 的某一不動點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

因此，對n ＞n0，存在T 的不動點(diǎn)f，使得‖xn-f‖ ＜。從而，對m∈N，根據(jù)式（3），

即{xn}為C 中的Cauchy 列，則{xn}收斂于C 上的某一點(diǎn)。令=p，根據(jù)d（xn，F(xiàn)（T））=0 和F（T）是閉的，可以得出p∈F（T）。

證畢。

定理3在定理2 的條件下，若T 一致連續(xù)，滿足BP 條件，則式（1）定義的{xn}強(qiáng)收斂到T 的某一不動點(diǎn)。

證明：記G 為{xn}的極限點(diǎn)集，則G 為閉集。事實(shí)上，若點(diǎn)p?G，則p 不是{xn}的極限點(diǎn)，從而存在p的鄰域U（p），U（p）中僅含{xn}的有限項(xiàng)，則U（p）中無{xn}的極限點(diǎn)，故U（p）∩G=，即G 的余集為開集，從而G 為閉集。若T 滿足BP 條件，則M={z=x -Tx，x∈G}是閉的。由{xn-Txn}?M、T 一致連續(xù)知，xn-Txn‖=0，0∈M，因此存在f∈G，使得f=Tf，這說明f 是T 的不動點(diǎn)。又f∈G，則存在{xn}的子列{xnk}，使得xnk→f。根據(jù)引理4，存在‖xn-f‖，且‖xnk-f‖=0，則xn→f。

證畢。

由于漸近非擴(kuò)張非自身映射是一致連續(xù)的，所以有以下推論成立：

推論1在定理3 的條件下，若T 是完全連續(xù)的漸近非擴(kuò)張非自身映射，則式（1）定義的{xn}強(qiáng)收斂到T 的某一不動點(diǎn)。

注2當(dāng)=0 時，根據(jù)推論1 即可得到文獻(xiàn)[1]中的推論4.2。